- \ Editorial - Nacional O GEN | Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, Forense, Método, LTC, E.P.U. e Forense Universitária, que publicam nas áreas científica, técnica e profissional. Essas empresas, respeitadas no mercado editorial, construíram catálogos inigualáveis, com obras que têm sido decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração, Direito, Enferma¬ gem, Engenharia, Fisioterapia, Medicina, Odontologia, Educação Física e muitas outras ciências, tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito. Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuí-lo de maneira flexível e conveniente, a preços justos, gerando benefícios e servindo a autores, docentes, livrei¬ ros, funcionários, colaboradores e acionistas. Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade, sem comprometer o cres¬ cimento contínuo e a rentabilidade do grupo. UM CURSO DE CÁLCULO Vol. 2 HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo 5 g edição LTC O autor e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida. Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação. Apesar dos melhores esforços do autor, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail ltc@grupogen.com.br. Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 1986, 1988, 1999, 2000, 2001 by Hamilton Luiz Guidorizzi LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GENI Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ — CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 ltc@grupogen.com.br www.ltceditora.com.br Arte-final dos gráficos tridimensionais: Ciro Ghellere Guimarães Ciroghellere@hotmail.com Capa: Dan Palatnik l.“ edição: 1986 — Reimpressões: 1987, 1989, 1991, 1992 (duas), 1994, 1995 e 1997 3. " edição: 1998 3/ edição revista: 1999 4. “ edição: 2000 5. “edição: 2001 — Reimpressões: 2002, 2004, 2006, 2007 (duas), 2008, 2009, 2010 (duas), 2011,2012 e 2013 CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ. G972c 5.ed. Guidorizzi, Hamilton Luiz Um curso de cálculo, volume 2 / Hamilton Luiz Guidorizzi. - 5.ed. - [Reimpr.] - Rio de Janeiro : LTC, 2013. Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 978-85-216-1280-3 1. Cálculo. I. Título. 08-1749 CDD: 515 CDU: 517 Aos meus filhos Maristela e Hamilton PREFACIO Este volume é continuação do Volume 1. No Capítulo 1, destacamos as funções integráveis (de uma variável) que aparecem com mais freqüência nas aplicações. Este capítulo poderá ser omitido pelo leitor que já tenha estudado o Apêndice 4 do Volume 1. No Capítulo 2, estudamos, com relação a continuidade e derivabilidade, as funções dadas por integral, e, no atual Capítulo 3, as integrais impróprias. No Capítulo 4, que é novo, são feitas várias apli¬ cações das integrais impróprias à Estatística. No Capítulo 5, estudamos as equações dife¬ renciais lineares de 2. a ordem e com coeficientes constantes, e no Capítulo 7, as funções de uma variável real com valores em IR" com relação a continuidade, derivabilidade e integrabilidade. Os Capítulos 8 a 16 são destinados ao estudo, com relação a continuidade e diferenciabilidade, das funções de várias variáveis reais a valores reais. No Capítulo 17, novo, introduzimos o conceito de solução LSQ (ou solução dos mínimos quadrados) de um sistema linear, e são feitas algumas aplicações desse conceito à geometria, bem como ao ajuste, por uma função linear ou polinomial, a um diagrama de dispersão. Nesta 5. a Edição, além dos capítulos novos (4 e 17) e do novo visual das figuras, foi in¬ cluído, também, o Apêndice 2, que trata do uso da calculadora HP-48G, do EXCEL e do MATHCAD em tópicos tratados neste volume. Observamos que, por sugestão de vários colegas, o antigo Capítulo 3 (Mais algumas aplicações da integral. Coordenadas polares) foi deslocado para o Volume 1 (4. a Edição). Todas essas modificações têm sido feitas com um único objetivo: tomar o texto mais dinâmico, mais prático e mais atual. É claro que muitas outras modificações ainda terão que ser feitas, e para isso contamos com sugestões, idéias e críticas construtivas de professores, colegas e alunos, aos quais ficaremos muito gratos. Quanto aos exemplos e exercícios, pensamos tê-los colocado em número suficiente para compreensão da matéria. Como no Volume 1, procuramos dispor os exercícios em ordem crescente de dificuldade. Com relação aos exercícios mais difíceis, vale aqui a mesma reco¬ mendação que fizemos no prefácio do Volume 1: não se aborreça caso não consiga resolver alguns deles; tudo que você terá que fazer nessas horas é seguir em frente e retomar a eles quando se sentir mais senhor de si. Mais uma vez agradecemos, pela leitura cuidadosa do manuscrito, às colegas Élvia Mureb Sallum e Zara Issa Abud. Agradecemos também à colega Lisbeth Kaiserliam Cordani, pela leitura e pelas várias sugestões do novo Capítulo 4, e a Marcelo Pereira da Cunha pela revi¬ são cuidadosa do texto. É, ainda, com grande satisfação que agradecemos à colega Elza Fur¬ tado Gomide pela leitura, pelos comentários e sugestões de manuscritos que deram origem às primeiras apostilas precursoras deste livro. Finalmente agradecemos à colega Myriam Sertã Costa pela revisão cuidadosa do texto e pela inestimável ajuda na elaboração do Ma¬ nual do Professor. Hamilton Luiz Guidorizzi Material Suplementar Este livro conta com o seguinte material suplementar: ■ Manual de Soluções (restrito a docentes) O acesso ao material suplementar é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen-io.grupogen.com.br. GEN-IO (GEN | Informação Online) é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN | Grupo Editorial Nacional, maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científico-técnico-prpfissional, composto por Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, Forense, Método, LTC, E.P.U. e Forense Universitária. Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem. SUMARIO 1 Funções integráveis, 1 1.1 Alguns exemplos de funções integráveis e de funções não-integráveis, 1 1.2 Funções integráveis, 6 2 Função dada por integral, 8 2.1 Cálculo de integral de função limitada e descontínua em um número finito de pontos, 8 2.2 Função dada por uma integral, 12 2.3 Teorema do valor médio para integral, 16 2.4 Teorema fundamental do cálculo. Existência de primitivas, 19 2.5 Função dada por uma integral: continuidade e derivabilidade, 25 3 Extensões do conceito de integral, 28 3.1 Integrais impróprias, 28 3.2 Função dada por uma integral imprópria, 33 3.3 Integrais impróprias: continuação, 36 3.4 Convergência e divergência de integrais impróprias: critério de comparação, 38 4 Aplicações à estatística, 45 4.1 Função densidade de probabilidade. Probabilidade de variável aleatória contínua, 45 4.2 Função de distribuição, 50 4.3 Valor esperado e variância de variável aleatória, 51 4.4 Distribuição normal, 55 4.5 Função de variável aleatória, 60 4.6 A função gama, 64 4.7 Algumas distribuições importantes, 67 5 Equações diferenciais lineares de l s e2 s ordens, com coeficientes constantes, 71 5.1 Equação diferencial linear, de 1 2 ordem, com coeficiente constante, 71 5.2 Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2. 2 ordem, com coeficientes constantes, 74 5.3 Números complexos, 78 5.4 Solução geral da equação homogênea no caso em que as raízes da equação característica são números complexos, 83 5.5 Equações diferenciais lineares, não-homogêneas, de 2. a ordem, com coeficientes constantes, 92 6 Os espaços IR", 101 6.1 Introdução, 101 6.2 O espaço vetorial IR 2 , 101 X Sumário 6.3 Produto escalar. Perpendicularismo, 102 6.4 Norma de um vetor. Propriedades, 108 6.5 Conjunto aberto. Ponto de acumulação, 112 7 Função de uma variável real a valores em IR". Curvas, 116 7.1 Função de uma variável real a valores em (R 2 , 116 7.2 Função de uma variável real a valores em (R 3 , 119 7.3 Operações com funções de uma variável real a valores em IR", 121 7.4 Limite e continuidade, 123 7.5 Derivada, 127 7.6 Integral, 136 7.7 Comprimento de curva, 139 8 Funções de várias variáveis reais a valores reais, 147 8.1 Funções de duas variáveis reais a valores reais, 147 8.2 Gráfico e curvas de nível, 152 8.3 Funções de três variáveis reais a valores reais. Superfícies de nível, 161 9 Limite e continuidade, 163 9.1 Limite, 163 9.2 Continuidade, 169 10 Derivadas parciais, 173 10.1 Derivadas parciais, 173 10.2 Derivadas parciais de funções de três ou mais variáveis reais, 186 11 Funções diferenciáveis, 189 11.1 Função diferenciável: definição, 189 11.2 Uma condição suficiente para diferenciabilidade, 195 11.3 Plano tangente e reta normal, 200 11.4 Diferencial, 205 11.5 O vetor gradiente, 207 12 Regra da cadeia, 211 ~~ 12.1 Regra da cadeia, 211 12.2 Derivação de funções definidas implicitamente. Teorema das funções implícitas, 226 13 Gradiente e derivada direcional, 245 13.1 Gradiente de uma função de duas variáveis: interpretação geométrica, 245 13.2 Gradiente de função de três variáveis: interpretação geométrica, 252 13.3 Derivada direcional, 257 13.4 Derivada direcional e gradiente, 262 14 Derivadas parciais de ordens superiores, 274 14.1 Derivadas parciais de ordens superiores, 274 14.2 Aplicações da regra da cadeia envolvendo derivadas parciais de ordens superiores, 278 Sumário XI 15 Teorema do valor médio. Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, 288 15.1 Teorema do valor médio, 288 15.2 Funções com gradiente nulo, 290 15.3 Relação entre funções com mesmo gradiente, 292 15.4 Polinómio de Taylor de ordem 1,298 15.5 Polinómio de Taylor de ordem 2, 302 15.6 Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, 305 16 Máximos e mínimos, 307 16.1 Pontos de máximo e pontos de mínimo, 307 16.2 Condições necessárias para que um ponto interior ao domínio de/seja um extremante local de/, 309 16.3 Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local, 312 16.4 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto, 317 16.5 O método dos multiplicadores de Lagrange para determinação de candidatos a extremantes locais condicionados, 322 16.6 Exemplos complementares, 333 17 Mínimos quadrados, solução LSQ de um sistema linear. Aplicações ao ajuste de curvas, 340 17.1 Teorema de Pitágoras, 340 17.2 Solução LSQ de um sistema linear com uma incógnita, 341 17.3 Solução LSQ de um sistema linear com duas ou mais incógnitas, 345 17.4 Ajuste de curva: a reta dos mínimos quadrados, 351 17.5 Coeficiente de determinação. Correlação, 359 17.6 Plano dos mínimos quadrados. Ajuste polinomial, 363 Apêndice 1 Funções de uma variável real a valores complexos, 365 A1.1 Funções de uma variável real a valores complexos, 365 A 1.2 Definição de e A \ com À complexo, 367 A 1.3 Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2. a ordem, com coeficientes constantes, 374 A 1.4 Equações diferenciais lineares, de 3, a ordem, com coeficientes constantes, 376 Apêndice 2 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad, 378 A2.1 As funções UTPN, NMVX e NMVA, 378 A2.2 As funções UTPC, C2NX e C2NA , 383 A2.3 As funções UTPT, TNX e TN A, 384 A2.4 As funções UTPF, FNNX e FNNA, 385 A2.5 Menu personalizado, 385 A2.6 Resolvendo sistema linear no Solve System, 386 A2.7 Resolvendo sistema linear no ambiente Home. As funções LSQ, RREF e COL+, 389 A2.8 Programa para construir matriz: a variável MATR, 395 A2.9 Utilizando o aplicativo FIT DATA para ajuste de curva pelo método dos mínimos quadrados. As funções PREDX e PREDY, 396 A2.10 Ajuste linear com duas ou mais variáveis independentes. Ajuste polinomial, 398 Xll Sumário A2.11 A função RSD. Distância de ponto a plano. Distância de ponto a reta, 400 A2.12 Cálculo do coeficiente de determinação R 2 , 404 A2.13 Programa que retoma os coeficientes do ajuste e o R 2 , 406 A2.14 Definindo função na HP-48G, 407 A2.15 Ajuste de curva, pelo método dos mínimos quadrados, no Excel 97, 409 A2.16 Máximos e mínimos no Excel, 412 A2.17 Brincando no Mathcad, 416 Respostas, Sugestões ou Soluções, 422 Bibliografia, 473 índice, 474 Assuntos abordados nos demais volumes Volume 1 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 1 1 CAPÍTULO 1 2 CAPÍTULO 13 CAPÍTULO 14 CAPÍTULO 1 5 CAPÍTULO 16 CAPÍTULO 1 7 APÊNDICE 1 APÊNDICE 2 Números reais Funções Limite e continuidade Extensões do conceito de limite Teoremas do anulamento, do valor intermediário e de Weierstrass Funções exponencial e logarítmica Derivadas Funções inversas Estudo da variação das funções Primitivas Integral de Riemann Técnicas de primitivação Mais algumas aplicações da integral. Coordenadas polares Equações diferenciais de 1- ordem de variáveis separáveis e lineares Teoremas de Rolle, do valor médio e de Cauchy Fórmula de Taylor Arquimedes, Pascal, Fermat e o cálculo de áreas Propriedade do supremo Demonstrações dos teoremas do Capítulo 5 APÊNDICE 3 APÊNDICE 4 APÊNDICE 5 APÊNDICE 6 Demonstrações do teorema da Seção 6.1 e da Propriedade (7) da Seção 2.2 Funções integráveis segundo Riemann Demonstração do teorema da Seção 13.4 Construção do corpo ordenado dos números reais Volume 3 capítulo 1 Funções de várias variáveis reais a valores vetoriais capítulo 2 Integrais duplas capítulo 3 Cálculo de integral dupla. Teorema de Fubini capítulo 4 Mudança de variáveis na integral dupla capítulo 5 Integrais triplas capítulo 6 Integrais de linha capítulo 7 Campos conservativos capítulo 8 Teorema de Green capítulo 9 Área e integral de superfície CAPÍTULO 10 Fluxo de um campo vetorial. Teorema da divergência ou de Gauss capítulo 1 1 Teorema de Stokes no espaço apêndice 1 Teorema de Fubini apêndice 2 Existência de integral dupla apêndice 3 Equação da continuidade apêndice 4 Teoremas da função inversa e da função implícita apêndice 5 Brincando no Mathcad Volume 4 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 1 1 CAPÍTULO 1 2 CAPÍTULO 13 CAPÍTULO 14 CAPÍTULO 1 5 APÊNDICE 1 APÊNDICE 2 APÊNDICE 3 Seqüências numéricas Séries numéricas Critérios de convergência e divergência para séries de termos positivos Séries absolutamente convergentes. Critério da razão para séries de termos quaisquer Critérios de Cauchy e de Dirichlet Seqüências de funções Série de funções Série de potências Introdução às séries de Fourier Equações diferenciais de 1 9 ordem Equações diferenciais lineares de ordem n, com coeficientes constantes Sistemas de duas e três equações diferenciais lineares de 1 9 ordem e com coeficientes constantes Equações diferenciais lineares de 2- ordem, com coeficientes variáveis Teoremas de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de 1 9 e 2 9 ordens Tipos especiais de equações Teorema de existência e unicidade para equação diferencial de l 9 ordem do tipo y'= f (x, y) Sobre séries de Fourier O incrível critério de Kummer 1 Funções Integráveis O objetivo deste capítulo é destacar as funções integráveis que vão interessar ao curso. Este capítulo poderá ser omitido pelo leitor que já tenha estudado o Apêndice 4 do Vol. 1. 1.1. Alguns Exemplos de Funções Integráveis e de Funções Não-integráveis Nesta seção, apresentaremos alguns exemplos de funções integráveis e de funções não- integráveis, trabalhando diretamente com a definição de integral de Riemann. Antes de começar a estudar os exemplos que apresentaremos a seguir, sugerimos ao lei¬ tor rever a definição de integral de Riemann apresentada na Seção 11.3 do Vol. 1. EXEMPLO 1. Prove, pela definição, que a função constante/(x) = k, x E [a, b], é integrável em [a, b] e que ^f(x)dx = k(b - a). Solução Para toda partição P: a = xq < x\ < x 2 < ... < x, _ j < x, < ... < x n = b de [a, b\ tem- se, independentemente da escolha de c, em [x l _ j, xj\, i variando de 1 a n. ^ /(c,) Ax, = ^ k Ax, = k ^ Ax; = k(b - a). Segue que dado e > 0 e tomando-se um 8 > 0 qualquer tem-se, independentemente da escolha dos c ( -, n ^ f(Cj) A Xj - k(b~ a) = 0 < e i=l 2 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 para toda partição de [a, b ], com máx Ax, < 5. Logo, n lim y /(c,) Ax, = k(b - a) máxAx, -» 0 ou seja,/é integrável em [a, b\ e f(x)dx = k(b - a). Antes de passarmos ao próximo exemplo faremos a seguinte observação. Observação. De acordo com a definição de integral, sendo /integrável em [a, b], dado e > 0 existirá 8 > 0 que só depende de e, mas não da escolha dos c,, tal que ^ /( Cí)Axí f(x)dx < — 2 para toda partição P de [a, b\, com máx Ax, < 8. Segue que se P for uma partição de [a, b\, com máx Ax ( < 5, e se c ( e c, (i = 1,2forem escolhidos arbitrariamente em [x ( _ j, x,], teremos e e, portanto, n . ^ f(Ci) Ax, — (x)dx ! = 1 < — 2 " j, ^ /(c ( ) Ax, -J /(x)íZx Z = 1 < ^ /(Cf) Ax,- - j? /(Cf) Ax,-) 1=1 1=1 < e para toda partição P de [a, èj, com máx Ax, < 5, independentemente da escolha de c, e c,. Deste modo, se/for integrável em [a, b ], duas somas de Riemann quaisquer relativas a uma mesma partição P, com máx Ax, suficientemente pequeno, devem diferir muito pouco uma da outra, e o módulo da diferença entre elas deverá ser tanto menor quanto menor for máx Ax,. EXEMPLO 2. (Exemplo de função não-integrável.) Prove que /(*) = não é integrável em [0, 1]. Funções Integráveis 3 Solução Seja P: 0 = xq < x i [R dada por f(x) Í0 se x * 1 1 1 se x = 1. Prove que fé integrável em [0, 2] e que f /(x) dx = 0. J 0 Solução Seja P uma partição qualquer de [0, 2] e suponhamos que 1 E [xj _ j, x,-]. Cj c 2 0_l_ I 2 - 4—1 - 1 X 0 X l X 2 Xj _, Xj Se 1 E ]x ; - _ j,x;[. x n -1 r 0 se Cy =£ 1 ^ /(q) Ax,- - Jax^ se Cj = 1. i = i Se 1 = Xj _ , e Cj _ j = Cj = 1, ^ /(q) Ax,- = Axy _ , + A xj. i=l Fica a seu cargo concluir que, em qualquer caso n ^ /(q) Ax, - 0 « 2 máx Ax, i=l independentemente da escolha dos q. Portanto, lim máx Ax ■ _ —, 1 i = l " J y /(q) Ax, = 0 = r f(x) dx. 0 M J o 4 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Observe que a função do exemplo anterior não é contínua em [0,2], entretanto, é integrável em [0, 2]. EXEMPLO 4. Seja 1 se 0 =£ x =£ 1 2 se 1 < x =£ 2. Prove que fé integrável em [0, 2] e que j^f(x)dx — 3. Solução Consideremos a partição 0 = x 0 < Xj < ... < Xj _ j < Xj < ... */]• X , X 7-1 7 Temos: 2 /ta) Xj _ ! + (Xj - Xj _ j) + 2(2 - Xj) se Xj _ ! « Cj « 1 X: _ [ + 2 (X: — X: _ ]) + 2(2 ~ X:) SC 1 < Cj =£ X: Segue que 2 /(c ' )Axi_3= i 1 — Xj se Xj _ [ ^ Cj ^ 1 - Xj _ j se 1 < Cj =£ Xj (Interprete geometricamente.) Logo, /(c, ) Ax, - 3 =£ máx Ax ( - independentemente da escolha dos c,. Portanto, lim y /(C/J Axi =3= f f(x) dx. íáxAj:. — 0 J 0 EXEMPLO 5. Prove que 1 se x = 0 ^ X) ~ ‘ - se 0 < x =£ 1 não é integrável em [0, 1]. Funções Integráveis 5 Solução n Seja P uma partição qualquer de [0, 1 ] e 2 f( c i ) At,- uma soma de Riemann de /rela- i = l tiva a esta partição. Tomemos c i em ]0, jcj[. Se mantivermos fixos c 2 , c 3 , c n , teremos n lim V f(cj) to, =+ co, (Por quê?) c, — o + Logo, não existe número L tal que lim máxA*, —* 0 n ^ fiÇi) Ax, = l i^i ou seja,/não é integrável em [0, 1]. ■ Observe que a função do exemplo anterior não é limitada em [0, 1], (Lembramos que/ limitada em [a, b ] significa que existem reais a e (3 tais que, para todo x E [a, b], a =£/(jc) =s fi.) O próximo teorema, cuja demonstração encontra-se no Apêndice 4 do Vol. 1, conta-nos que uma condição necessária para /ser integrável em [a, b\ é que / seja limitada neste inter¬ valo. Tal condição não é suficiente, pois, ,, , _ Í1 se x £Q nx) {O sex^Q é limitada em [0, 1], mas não é integrável neste intervalo. Teorema. Se/for integrável em [a, b], então/será limitada em [a, b]. Exercí cios 1.1 1. Seja /: [0, 1 ] —»■ IR dada por /(*) 0 se i í 1 se x £ Prove que fé integrável em [0, 1] e que f(x)dx = 0. 6 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 { x se x 0 se X ÇÉQ " 1 á) Verifique que se os c i forem racionais 2 /(c,) Acc,- tende a —, quando máx Ax, -» 0. i=i 2 b ) Prove que/não é integrável em [0, 1]. 3. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta. a) b) c) d) £ £ £ L f(x)d c onde f{x) = f(x)dx onde f(x) = f(x)dx onde f(x) = f{x)dx onde f(x) = 1 se 0 =£ x < 1 4 se x = 1 2 se 1 < x =£ 2. íl se 0 =£ x < 2 [3 se2«xs3 [ —— se 0 < x « 1 [2 se x = 0 í x se x EQ |-jc se x ÇÊQ 1.2. Funções Integráveis Os teoremas que enunciaremos a seguir, e cujas demonstrações encontram-se no Apên¬ dice 4 do Vol. 1, destacam as funções integráveis que vão interessar ao curso. O teorema 1 conta-nos que toda função contínua em [a, b ] é integrável em [a, b ] e, o teorema 2, que toda função limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [a, b] é integrável em [a, b\. Teorema 1. Se/for contínua em [a, b], então/será integrável em [a, b]. Teorema 2. Se/for limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [a, b], então/será integrável em [a, b], EXEMPLO 1./(jc) = cos 3 jc é contínua em [—1,5], logo integrável neste intervalo. ■ EXEMPLO 2. Verifique se /« = se — 1 =s x < 1 se 1 =£ x =£ 3 é integrável em [—1, 3], Funções Integráveis 7 Solução fé limitada em [— 1, 3], pois, para todo x em [ — 1, 3], 0 =£/(*)*£ 2; além disso, fé des¬ contínua apenas emr= 1. Pelo teorema 2, fé integrável em [— 1, 3], ■ EXEMPLO 3. Verifique se /M = 1 * - 1 2 se — 1 =£ x < 1 se 1 =£ x =£ 3 é integrável em [ — 1, 3]. Solução Não, pois /não é limitada em [— 1, 3]. ■ Exercícios 1.2 . 1. A função dada é integrável? Justifique. a) f(x)= X ,-l*g*g2 1 + x 2 b) f{x) = e~* 2 ,0 =£ x =s 4 c ) f(x) = X se -2 =£ x < 1 se 1 *£ x « 2 d) f(x) = e) f(x) = f) /(■*) = i 1 se x = 0 sen x ■ se 0 < x « 1 0 se x = 0 sen — se 0 < x 1 x 0 se x = 0 1 1 ^ 2 — sen — se 0 < r s — XX 7 T íx 2 se - 1 =£ x < 0 g) f(x) = 1 5 se a: =0 12 se 0 < x ^ 1 h) f(x) = — se I x I 1, x x 0 x 2 3 se x = 0 2 Função Dada por Integral 2 . 1 . Cálculo de Integral de Função Limitada e Descontínua em um Número Finito de Pontos O teorema que vamos enunciar e demonstrar a seguir conta-nos que se/e g forem inte¬ gráveis em [a, b] e se f(x) for diferente de g(x) em apenas um número finito de pontos, en¬ tão suas integrais serão iguais. Teorema. Sejam/e g integráveis em [a, b ] e tais que f(x) + g(x) em apenas um número finito de pontos. Então f(x) dx = / g(x) dx. Demonstração h{x) = g(x) —fix) é integrável em [a, b ] e h(x) = 0, exceto em um número finito de pontos. Como n lim y h (cj ) Ax, máx Ax . -» 0 x-J 1 i = l independe da escolha dos c ( , resulta que tal limite é zero, pois, para cada partição P de [a, b], podemos escolher c, em [x t _ j, Jt ( ] i = 1, 2, ..., n de modo que /t(c,) = 0. Assim h(x) dx lim máx Ax. - i = l h(Cj)Axj = 0 ou seja, J^(g(x)-f(x))dx = 0 Função Dada por Integral 9 e, portanto, Solução fé integrável em [0, 2], pois é limitada e descontínua em apenas x = 1. Temos dx = J^f( x ) dx+ /W dx - Em [0, 1 ],/(*) = x 2 \ logo, ( f{x)dx= f J 0 J 0 f(x)dx= I x z dx = —. Em [1, 2 ],/(jc) difere de — em apenas x = 1; daí J* 2 f(x) dx = J* 2 — dx - [ 2 lnx J = 2 ln 2. Portanto, £■ f(x) dx = y + 2 ln 2. EXEMPLO 2. Calcule J^/(í) dí, jc > 0, onde /« = t se 0 =£ t < 1 t 2 — 1 se í 2= 1. 10 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução Para todo x ^ 0,/é integrável em [0, x], pois, neste intervalo, fé limitada e descontínua no máximo em um ponto. Temos Como segue que ou seja, se 0 « x =£ 1 se x > 1 í f(0 dt = l se 0 — x H— se x > 1. 6 Função Dada por Integral 11 Sejam X], x 2 ,. ■., x p , p pontos do intervalo [a, b] e seja/uma função definida e m todos os pontos de [a, b], exceto em X], x 2 . x p . Suponhamos /limitada e contínua em todos os pontos de seu domínio. Pela definição de integral, não tem sentido falar na integral de/em [a, b], pois/não está definida em todos os pontos de [a, b]. Entretanto, a função g definida em [a, b ] e dada por í/(x) se x ^{xj, x 2 . x p } g(x) = \m, se x = x j ,i = l,2. p onde iH], m 2 , ..., m p são números escolhidos arbitrariamente, é integrável em [a, b] e o va¬ lor da integral independe da escolha dos wí,-. Nada mais natural, então, do que definir a inte¬ gral de fem [a, b ] por /(x) dx = / g(x) dx. EXEMPLO 3. Calcule \ f(x) J o dx onde x 3 se 0’| ‘ " c,J^/(„* onde /„) = {' ! d) dt onde se 0 =£ t < 1 se 1 « t < 2 se 132 2.2. Função Dada por uma Integral Seja/uma função definida num intervalo I e integrável em todo intervalo [c, d] contido em I. Seja a um número fixo pertencente a I. Para todo x em I, a integral Ç f (t) dt existe; podemos, então, considerar a função F definida em / e dada por © F(x)=£ f ( t ) dt. Nosso objetivo é estudar a F com relação à continuidade e derivabilidade. Na Seção 2.4, estudaremos © supondo f contínua em /; provaremos que, neste caso, F é derivável eml e que F' (x) = f(x) para todo x E I. Na Seção 2.5, estudaremos © supondo apenas que/seja integrável em todo intervalo [c, d\ C / e, portanto, não necessariamente contínua em I. Pro¬ varemos, então, que mesmo neste caso F será contínua em /; provaremos, ainda, que F será derivável em todos os pontos em que ffor contínua e se pfor um ponto de continuidade de / então F' (p) =f(p). Observe que, tendo em vista o que dissemos acima, o gráfico de F não pode apresentar salto. Portanto, se você estiver esboçando o gráfico de uma função dada por uma integral e se o seu gráfico apresentar salto, apague e comece de novo! Função Dada por Integral 13 EXEMPLO 1. Esboce o gráfico de F(x) = J** f(t) dt onde TI se 0«/<2 m = (2 se t 2. Solução F está definida para todo x 5= 0. Temos (**1 dt se F(x) = ° Observe que F é contínua e que F' (x) = f(x ) em todo x i= 2. 2 1 Função Dada por Integral 15 EXEMPLO 3. Considere a função F (x) = f(t ) dt onde/(?)-, t =f= 0. a) Determine o domínio de F. b) Verifique que F' (x) = f(x) para todo x > 0. Solução a) Se x > 0,/será contínua no intervalo de extremidades 1 e x; logo, f (?) dt existe para todox>0. Se x =£ 0, a integral f(t) dt não existe, pois/não é limitada em ]0, lJ.Odomí- nio de Fé, então, o intervalo ]Õ, +°°[. b) F (x) = f -dt,x> 0; J 1 t assim F (x) = [ ln t ]* = ln x. Segue que F' (x) = — =/(x), x > 0. x Exercícios 2.2 1. Esboce o gráfico da função F dada por 2 se 0 =£ t < 1 à) F(x) =J^ f(t) dt onde /(f) = b) F(x) =ftdt c) F(x) = f f(t) dt onde f(t) = J *' 1 |0 se t > 0 J j. Í0 se t =£ 1 /(?) dt onde /(?) = ] 1 [l se t > 1 e) F(x) =J^ f(t) dt onde f{t) = j — se t 1 t <2 se t ss 0 t se — 2 =£ t =£ 0 f) F(x) = f /(/) dt onde f (t) g) F(x) =£ e~ M dt e ' se t > 0 0 se \t\ 2* 1 lí 2 se líl < 1 16 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2. Seja F (x) = f(t)dt onde f(t) = a) Esboce o gráfico de F. b) Calcule F' (*). 3. Determine o domínio da função F c)FM -f» Tr t se (#1 2 se t = 1 b) F(x) = f — 1 — Jo t - 1 t 2 se t < 1 4. Seja F(x) = f f(t) dt onde f(t) = \ 2 Jo y se t & 1. á) Verifique que F' (x) = f(x) em todo x em que/for contínua. b) F é derivável em x = 1 ? 5. Seja F(x)=J X f{t)dt onde }(t) = 1 se (#1 2 se t = 1. a) Verifique que F' (x) = f(x) em todo x em que/for contínua. b) F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo, calcule F' (1) e compare com/(l). t 2 se t < 1 6. Seja F(x) = f* f(t) dt onde /(/) — J 1 Jo - se t^l. Verifique que F' (x) = /(x) para todo x. 2.3. Teorema do Valor Médio para Integral No próximo parágrafo, vamos enunciar e demonstrar o 2.° teorema fundamental do cálcu¬ lo. Para tal, vamos precisar do teorema do valor médio ou teorema da média para integral. Teorema (do valor médio para integral). Se/for contínua em [a, b\, então existirá pelo menos um c em [a, b ] tal que f(x) dx = f(c) (b - à) Função Dada por Integral 17 Demonstração Como fé contínua em [a, b], pelo teorema de Weierstrass,/assume em [a, b] valor mᬠximo e valor mínimo. Sejam Mo valor máximo em o valor mínimo de/em [a, b\. Assim, para todo x em [a, b]. m ^f(x) =£ M e daí m dx í f(x) dx ou seja, e, portanto, m(b - a) =£ f f(x)dx^M(b-a) la m / l y fjx) dx\ V b — a / I =£ M- Deste modo, f(x) dx é um número entre o menor e o maior valor de/em [a, b]; pelo b — a teorema do valor intermediário, existe c em [a, b] tal que /(c) = ^ f( x ) dx b — a ou seja, f{x) dx = /(c) ( b - a). Interpretação Geométrica do Teorema do Valor Médio para Integral Suponhamos /contínua em [a, b] e f(x) 3= 0 em [a, b]. Assim, J f(x) dx é a área do conjunto A limitado pelas retas x= a, x= b, pelo eixo x e pelo gráfico d ey = f(x). O teorema do valor médio conta-nos, então, que existe c em [a, b] tal que a área do retângulo de base b — ae altura/(c) é igual à área de A. 18 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 i i i H-1-h a c b Antes de encerrar a seção, vamos destacar uma outra propriedade que será utilizada na demonstração do 2.° teorema fundamental do cálculo. Seja /integrável em [a, b ] e seja c E ]a, b[. Vimos na Seção 11.4 (Vol. 1) que se/for integrável em [a, c] e em [c, b], então f f{x) dx= f f(x) dx + f f(x) dx. Ja Ja Jc Pois bem, na próxima seção, vamos precisar da seguinte propriedade, cuja demonstra¬ ção deixamos a seu cargo: “Se/for integrável em todo intervalo fechado contido em /, então ff(x) dx = (f{x) dx+ff{x) dx Ja Ja Jy quaisquer que sejam a, (3 e y no intervalo /.” Exercícios 2 3 ,, 1. Suponha/(x) > 0 e contínua em [a, b]. Prove que f f(x)dx> 0. 2. Suponha/(*) & 0 e contínua em [a, b\. Prove que se j f(x)dx= 0, então f(x) = 0, para todo Ja x E [a, b], 3. Suponha f(x) & 0 e integrável em [a, b], A afirmação f(x)dx = 0=> f(x) = 0 em [a, 6]” é falsa ou verdadeira? Justifique. 4. Suponha/contínua em [a, b]. Prove [/(*)] 2 dx = 0 ■» f{x) = 0 em [a, b]. Função Dada por Integral 19 2.4. Teorema Fundamental do Cálculo. Existência de Primitivas Seja f contínua no intervalo I e seja a um ponto em I. Como estamos supondo/contínua em /, para todo xem/, a integral _/> dt existe; podemos, então, considerar a função F definida em / e dada por F(x) = Ía f(t) dU Provaremos a seguir que a F acima é uma primitiva de/em /, isto é, F' (x) = f(x) para todo x em /. No que segue, referir-nos-emos a este resultado como 2. ° teorema fundamental do cálculo ou, simplesmente, teorema fundamental do cálculo. Teorema (fundamental do cálculo). Seja/definida e contínua no intervalo /e seja a G /. Nestas condições, a função F dada por = f m dt. é uma primitiva de /em /, isto é, F' (x) = /(x) para todo x em /, Demonstração Precisamos provar que, para todo x em /, F<*)- lim F(* + *)-FU) A —o h Temos F(x + A) - F(x) h J ,x + h jc jc + h f(t) dt- [ f(t) dt f f(t) a _ J_a __ Jx _ Pelo teorema do valor médio para integrais existe c entre x e x + h tal que Ç f(t) dt = f(c) h. 20 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Assim, F(x + h)~ F(x) = h Tendo em vista a continuidade de/em / e observando que c tende a x quando h tende a zero resulta F'(x) lim A —0 F(x + h)~ F(x) h = /(*)■ Observe que o teorema fundamental do cálculo garante-nos que toda função contínua em um intervalo admite, neste intervalo, uma primitiva e, além disso, exibe-nos, ainda, uma primitiva. EXEMPLO 1. Seja F (x) = r 3 j + ( 4 dt. Calcule F' (*). Solução 3 Observe que o domínio de F é R, pois,/(í) = j + ^ é contínua em R. Pelo teorema fundamental do cálculo ou seja, F' (x) = = /(*) F'(x) = 3 1 + x 4 ' Na notação de Leibniz EXEMPLO 2. Calcule sen t 2 dt Solução Seja f(t) = sen t 2 . Temos: Função Dada por Integral 21 ou seja, — í f 14 sen t 2 dt \ = sen u 2 . du [Jo ) EXEMPLO 3. Calcule G' (x) sendo G (jc) = Solução 3 tt? dt. G(x) = F (x 2 ) onde F(x) = jf JT7 4 dt. De resulta G' (x) = F' (x 2 ) 2x e F' (x) = j^4 G' (x) = 6x 1 + X 8 ' Podemos, também, calcular G' (x) da seguinte forma: 3 G (x) = I —— dt onde u = x"\ ’ TT7 dG_ = d_ l f 3 dx du \ Ji 1 + t dt du 3 dx 1 + íT 2x. Portanto, G' (x) = 6x 1 + x' 8 ■ /S J 3 EXEMPLO 4. Calcule H' (x) sendo H (x) = f , , , dt. J sen x 1 + / Solução Como f(t) 1 + t A pio 1, tem-se, para todo x, é contínua em IR, tomando-se um número real qualquer, por exem- H{x)= f J se 3 1 + t 4 3 1 + t 4 dt 22 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou daí J S 3 ^ en x 3 , — d, ~íi 7TF* tf' (x) = -(x 3 )' - ---- 3 - (sen x)' l + (x 3 ) 4 l + (senx) 4 ou seja, H' (x) = 9x 2 3 cos x 1 + x 12 1 + sen 4 x Uma outra forma para se obter tf' (x) é a seguinte: como f(t) = ——— é contínua em 2,/admite uma primitiva F; assim 1 + ? 4 tf(x)= f —^—rdt = fF(í)F Jsen x 1 + f 4 L WJse ou seja, tf (x) = F (x 3 ) - F(senx) daí tf' (x) = F' (x 3 ) 3x 2 — F' (sen x) cos x. Como F'(/) = 3 1 + ? 4 segue ui i x 9x 2 3 cos x tf (x) = —■—— —--—. 1 + x 12 1 + sen 4 x EXEMPLO 5. Suponha f(t) contínua em [— r, r] (r > 0) e considere a função F (x) = x £ [— r, r]. Prove que se /for uma função par, então F será ímpar. Função Dada por Integral 23 Solução A nossa hipótese é de que fé contínua em [— r, r ] e/(?) = f(—t) em [— r, r]. Queremos provar que F (- x) = -F (*) em [—r, r]. Como F (x) dt e fé contínua em[-r, r], pelo teorema fundamental do cálculo Temos, também, F(x)=f(x) em [~r, r]. [F (-*)]' =F'(-*)(-*)' = -F(-x) ou seja, [F (-*)]' = —f(—x), pois F' =/. Segue que, para todo xem [—r, r], [FW + F(-x)]' = F (x) - F (-x) =f(x) -f(-x) ou seja, [FW + F(-x)]'=0. Logo, existe uma constante k tal que, para todo x em [—r, r], F (x) + F (— x) = k. Mas ,0 F(0) = f f(t) dt = 0 e, assim, k = F (0) + F(—0) = 0. Portanto, F(x) + F(-x) = 0 ou J 0 F(— x) = — F (x), para todo x E [—r, r], m Exercícios 2.4 Calcule F' (x) sendo F dada por jc 3 1 a) F(x) = f , dt J- 2 1 + t 6 b) F(x) = J sen f 2 dt c) F(x) = J^ cos f 4 dt <0 FU) = J r 2 1 sen í 2 df e) F(x) = | cos f 2 df Jo 7 ) F(xj = J f 1 4 * * 2 5 + f 4 g) F(x) = x 3 f* e _j2 dí « FW = i f x 2 e _j2 dí J1 Jo 24 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 i ) F(x) = J"* arc tg r 3 dt j) F(x) = (x - t) e ’ 2 dt 2 . Suponha/(<) » 0 « em R. Eh.ud. . fn.çlo f + '' M * rela- ção a crescimento e decrescimento. 3 . Determine uma função

0) e considere a função F(x)= Jo nt)dL Prove que se /for uma função ímpar, então F será uma função par. 5. Suponha / contínua em IR e periódica com período p , isto é, / (x) = f (x + p ) para todo x Prove que a função r + P fit) dtxGR é constante. Interprete graficamente. 6. Calcule \ F(x) dx onde F(x) = \ e~’ 2 dt. ( Sugestão: integre por partes.) J 0 Jl 7 . Calcule J" G(x) dx onde G(x) = Ç sen t ^ dí. 8 . As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, que se indicam, respectivamente, por ch e s/i, são dadas por ch t e> + e~ t - e 2 sh t 2 a) Verifique que para todo r, {ch t)’ = sh t. b) Verifique que, para todo /, o ponto (ch t, sh t) pertence ao ramo da hipérbole x 2 - y 2 = 1 contido no semiplano x > 0. c) Sendo F (t) a área da região hachurada mostre que F (t) = — (ch t) ■ (sh t) 2 - 1 dx para t & 0 . Calcule F' (t). Função Dada por Integral 25 d) Prove que F (t) = —, / 2® 0 . 2 e ) Qual é, então, a interpretação para o parâmetro t que ocorre em ch /? Compare com o par⬠metro t que ocorre em cos t. 2.5. Função Dada por uma Integral: Continuidade e Derivabilidade Nesta seção vamos estudar, com relação a continuidade e derivabilidade, a função F(x) = fa /(t) dU XeI ’ onde fé suposta integrável em todo intervalo fechado contido em /e, portanto, não neces¬ sariamente contínua em /. Teorema 1. Seja/integrável em qualquer intervalo fechado contido no intervalo I e seja a um ponto fixo de I. Então a função dada por xEI ’ é contínua em I. Demonstração Seja p£7; existe um intervalo [a, /3] C / tal que a,p£ [a, /3] e se p não for extremo de I, podemos tomar a e /3 de modo que p £ ]a, /3[. Como fé limitada em [a, j8], pois é integrável neste intervalo, existe M > 0 tal que I f(t) I =£ M em [a, /3], Para todo jt em [a, /3] temos F(x) - F(p) = f f(t) dt-f f{t) dt=f f(t) dt. Ja Ja Jp 26 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 De — M =£/(r) =£ M, para todo t E [a, /3], segue que, para todo x E [a, j3], - M(x~p ) =£ f* f(t)dt^M(x-p),sex^p, Jp - x) /(r) dr =£ M (p — x), se x =s p. Pelo teorema do confronto, I lim F(x) = F(p). *— P Teorema 2. Sejam/e F (x) = dt como no teorema 1. Nestas condições, se / for contínua emp El, então F será derivável em p e F' (p) = f(p). Demonstração Seja p E I e suponhamos que p não seja extremo de /. Vamos provar que se / for contí¬ nua em p então hm F(x) - F(p) - f(p) (x - p) _ Q que equivale a r,, \ F(x) — F(p) x F (p) = hm -= /(/>). Temos © F (x) — F (p) — f(p) (x — p) = (f{t)dt-f f{p)dt= f{p)]dt. Jp Jp Jp Sendo/contínua em p, dado e > 0 existe 8 > 0, com ]p — 8,p+ <5[ C /, tal que p - 8 - e F(x) - F(p) - f(p) (x - p) x - P e, portanto, li m F (*> ~ f (p'> ~ lÍFl (f ~ £) _ Q *— p x - p Analise você o caso em que p é extremo de /. 3 Extensões do Conceito de Integral 3.1. Integrais Impróprias Estamos interessados, nesta seção, em dar um significado para os símbolos + 0C Q -1-00 f f(x)dx, f f(x)dx e f f{x)dx. Ja J -oo J-oc Definição 1. Seja/ integrável em [a, t], para todo t > a. Definimos + °0 / f f(x)dx = lim f f(x)dx Ja f-» + ooJa desde que o limite exista e seja finito. Tal limite denomina-se integral imprópria de/ estendida ao intervalo [a, +°°[. J j r + 00 / (x) dx for + 00 ou — oo continuaremos a nos referir a I f(x)dx a Ja como uma integral imprópria e escreveremos + 00 +00 f f(x)dx = +°° ou f f(x)dx = — o°. Ja Ja Se ocorrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópria é divergente. Se o limite for finito, diremos que a integral imprópria é convergente. Suponhamos f(x) 3= 0 em [a, +oo[ e que/seja integrável em [a, t] para toda t > a. Seja A o conjunto de todos (x, y) tais que 0 y =S/(jc) e x 3= a. Definimos a área de A por + 0C área A = J f(x)dx. Extensões do Conceito de Integral 29 EXEMPLO 1. Calcule Jj + * \ dx Solução _+ oo J 7 2 f , = lim (-y f-*+cc J 1 X L dx. Como Í 7 dx = r i X = - - +1, 1 t resulta f , ,+ 00 J dx = lim 1 X L !-* + oo i + i t r +co 1 Como f —dx = 1, a integral imprópria é convergente. ■ Jl jr r + 00 1 EXEMPLO 2. A integral imprópria J — dx é convergente ou divergente? Justifique. Solução Assim, / I t — dx = [ln x\ = ln t. lim ln t = +oo. -» + oo Logo, a integral imprópria é divergente. 30 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 J í 1 r + “ 1 — dx = ln t área = f — dx = + 00 1 jc J lx J .+ 00 e cos t dt. o Solução 0° W e _íí cos t dt = lim f e _ií cos í dt. 0 «-»+ooJ0 J e cos t dt = [e st sen t ]“ — f — se sen t dt = e su sen u + s T e st sen t dt. 0 | t 0 Jo J 0 / s Assim Por outro lado, e st cos t dt = e su sen u + s \ e st sen t dt Jo ( e st sen t dt = [e st (— cos r)]íí — se st (— cos t) dt Jo t t ( Jo / * I e st sen t dt = —e su cos u + 1 — s \ e st cos t c Jo Jo Substituindo © em © vem st cos t dt = e su sen u — se su cos u + s — s 2 \ e st cos t dt. Jo (1 + s 2 )/ e st cos t dt = e su sen u — se su cos u + s r e st cos t dt = —-—r- fe su sen u — se su cos u + sl. 1 + s 2 e, portanto, Extensões do Conceito de Integral 31 Sendo sen u e cos u limitadas e resulta lim «-• + 00 0 (lembre-se de que estamos supondo s > 0 ) lim e su sen u = 0 e lim se su cos u = 0 U —* + 00 U~* + 00 e, portanto, + 00 /o e st cos t dt = lim - y «-*+ 00 1 + S 2 [e su sen u - se su cos u + s] 1 + s 2 ' Assim, fo e sl cos t dt ■ 1 + s 2 Definição 2. Seja /integrável em [í, a] para todo t < a. Definimos (^ f(x)dx= lim Cf ( x ) dx. J oc í -»-oc Definição 3. Seja /integrável em [— t, t], para todo t > 0. Definimos Í- x f(x)dx= Í-J (x)dx ^Í ü f (x) dx desde que ambas as integrais do 2 .° membro sejam convergentes. Observação. Com relação à definição 3, se as duas integrais que ocorrem no 2.° membro forem iguais a + °° (ou — ac), ou se uma delas for convergente e a outra + o° (ou — °°), poremos f f(x)dx= + 00 resp. f f(x)dx J- 00 \ J-cc Exercícios 3.1 1. Calcule: e sx dx (s > 0 ) te~ 1 dt xe~ x2 dx - 5 ——y dx (í > 0 ) s 2 + x 2 b) d) f) h) j ) f, + 00 e x dx te st dt (s > 0 ) 1 1 + x 2 dx 32 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 r + x 1 /) f - dx ’ J 2 x-l .+ 00 x "> /« r + 00 P) J e ' sen f ^ -+ 00 1 2 . Calcule I -dx.onde a é um real dado. Jl x a 3 . Calcule c > f--W* „+ 00 í 1 se UI sS 1 «> /__ 0seW>1 » /- e u dx 30 dr onde f(x) = J 1 1 se UI =£ 1 se UI > 1 4 . Determine m para que / + 00 /« - 00 dr = 1,sendo + oc J m) k ^ 2 —f * -+ 00 1 r + V- 'i x 3 +* r ~ 1 1 b) f —d* J- 00 r 3 d) f xe xl dx + 00 1 r ——2 f(x) = m se UI =£ 3 0 seUI >3 -+■ 00 5 . Determine k para que se tenha J* ^ dt = 1 . r + 00 6 . Determine m para que J / (*) dt = 1 onde f(x) = \ mx 2 se 1^:1 =s 1 0 se UI > 1 7 . Sejam dados um real s> 0 e um natural n # 0 . a) Verifique que + 00 n + 00 f e~ s, t n dt = -Ç t n ~ l e~ st dt. J 0 s J 0 + 00 _ n! fc) Mostre que e sí i 1 dt = n + 1 . 8 . Sejam aes,s>0, reais dados. Verifique que J .+ =0 _ e sl sen at dt = a 0 s 2 + a 2 (a =£ 0) Extensões do Conceito de Integral 33 b) f e sl cos at dt = J 0 _+ 00 s 2 + a 2 c) f e sl e a, dt = —!—(í> a) J 0 s — a + 00 1 d) f e sr dt = — X r J 0 e) | e sl tdt = -L s z ;o + 00 te at dt = -!—^-(s > a) (í - a) 2 .+ 00 9. Utilizando o Exercício 8, calcule i e sl f(t) dt sendo: J 0 °) /(O = sen r + 3 cos 2t b) f(t) = 3r + 2e 3í + te' 10. Suponha que, para todo t > 0,/seja integrável em [— t, í]; suponha, ainda, que f(x) s 0 para todo x. Prove que + oo f f(x)dx= lim C f (x) dx. J— 00 I— » + ooJ— t 3.2. Função Dada por Uma Integral Imprópria Suponhamos/definida em R e tal que, para todo x, j f(t) dt seja convergente. Pode- J 00 mos, então, considerar a função F definida em R dada por F(X) = Í-J (t) dt Fixado o real a, para todo real u, ff{t)dt=f f(t)dt+ (f(t)dr, Ju Ju Ja fazendo u —* — 00 resulta e, portanto, f f(t) dt = í /(r) dt + f /(r) dt J- oo J- 00 j a onde F(x) =f_ x f (t) dt + H H (x) =£ f (?) dt. (x) 34 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Já vimos que H (x) é contínua e que H é derivável em todo x em que/for contínua; além do mais, H' (jc) = f(x) em todo * em que /for contínua. Como | / (?) dt é constante, resulta J— 00 que F é contínua e que F (x) = f(x) em todo x em que / for contínua. EXEMPLO 1. Esboce o gráfico de F (x) =J_ ,J d) dt onde f(t) Solução í 1 se líl ^ 1 |o se Irl > 1. f f(t)dt=f 0 dt ( f{t)dt= f ' Odt + J— 00 J — 00 J— 00 J— 00 % 0 dt + J* 1 dt + Ç 0 dt Extensões do Conceito de Integral 35 í 0 se UI > 1 Observe: F é contínua e F' (x) = j j se | x | < j EXEMPLO 2. Esboce o gráfico da função F (x) =Ç f(t) dt onde f(t) í-y se líl s= 1 11 se Irl < 1 Solução 36 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou seja, F(x) = x x + 2 - — + 4 x se x — 1 se — 1 < x 1 se x > 1. Como/é contínua, F é derivável em todos os pontos; assim, o gráfico de F não apresenta “bico”. Exercícios 3.2 Esboce o gráfico de F (x) dt onde i. m Í2 se 1 1 1 =s 1 [0 se 1 1 1 > 1 3. f(t) I — se rs* 1 0 se Kl 5. f(t) Í0 se 1 1 1 > 1 jl — t 2 se 1 1 1 =£ 1 7. f(t) 1 1 + r 2 9. m 1 (t - 2 f / t se t ^ 1 se t > 1 2 . m t se — 1 =£ / =£ 1 0 se I t I > 1 4. f{t) 6. f(t) t se 0«K1 — se t > 1 t 0 se t < 0 8. /(í) f 0 se t ss 0 je -í se t > 0 10. f(t) 0 se t ss 0 1 se 0 < t ss 1 1 — se t > 1 t 3.3. Integrais Impróprias: Continuação O objetivo deste parágrafo é estender o conceito de integral para função definida e não- limitada num intervalo de extremos a e b, com a e b reais. Extensões do Conceito de Integral 37 Definição 1 . Seja/não-limitada em \a, b] e integrável em [t, b] para todo t em ]a, b[. Defi¬ nimos ÍJ f(x) dx = dx desde que o limite exista e seja finito. O número / (x) dx denomina-se integral imprópria (/«/em [a, b\. Se o limite for +oo ou —oo, continuaremos a nos referir a / (x) dx como uma integral imprópria e escreveremos f(x)dx= +oo ou f/(x) dx = —oo, conforme o caso. Se ocorrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópria é divergente. Se o limite for finito, diremos que a integral imprópria é convergente. Já observamos que uma condição necessária para uma função / admitir integral de Riemann num intervalo [a, b] é que/seja limitada em [a, b\. Deste modo, se/não for limi¬ tada em [a, b],/não poderá admitir, neste intervalo, integral de Riemann; entretanto, pode¬ rá admitir integral imprópria. EXEMPLO. Calcule Solução /(x) = —— é não-limitada em ]0, 1] e integrável (segundo Riemann) em [t, 1] para Vx 0 < t < 1; de acordo com a definição anterior, ou seja, lim j — dx = Jt Vx ■ 0 *. r*_L J 0 a/x dx = 2. lim [2 — 2s[t] = 2 -> 0 + 38 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Exercícios 3.3 1. Calcule 2 . 3. Suponha /não-limitada em [a, b[ e integrável em [a, t ] para a < t < b. Defina Calcule f(x) dx. à) c) 4. 5. Suponha/ não-limitada e contínua nos intervalos [a, c[ e Calcule ]c, b\. Defina j f(x) dx. a) &7 dx b) f 1 — dx J- 1 Ixl 6. Suponha/contínua em ]a, b[ e não-limitada em ]a, c] e em [c, b[. Defina J /( x) dx. 3.4. Convergência e Divergência de Integrais Impróprias: Critério de Comparação Em muitas ocasiões estaremos interessados não em saber qual o valor de uma integral imprópria, mas sim em saber se tal integral imprópria é convergente ou divergente. Para tal fim, vamos estabelecer, nesta seção, o critério de comparação que nos permite concluir a convergência ou a divergência de uma integral imprópria comparando-a com outra que se sabe ser convergente ou divergente. Observamos, inicialmente, que se/for integrável em [a, í], para todo t>a,e se f(x) 3= 0 em [a, +°°[, então a função F (x) =/ t f(t)dt,x^a será crescente em [a, +°°[. De fato, se jq e x 2 são dois reais quaisquer, com a ^ X| < x 2 , então F (x 2 ) - F (x,) = f 2 f(t) dt - f* 1 f(t) dt = f 2 f(t) dt & 0. Ja Ja Jxi Extensões do Conceito de Integral 39 Assim, quaisquer que sejam x\, x 2 em [a, + °°[, x\ < x 2 =>F(x l ) =S F(x 2 ). Logo, F é crescente em [a, +°°[. Segue que lim í f(t) dt ou será finito ou +°°; jc—* + o° Ja finito se existir M > 0 tal quej^ /(í) dt ^ M para todo x 3= a (veja Exercício 9). Critério de comparação. Sejam/e g duas funções integráveis em [a, /], para todo t > a, e tais que, para todo x 5* a, 0 =£/(;c) =£ g (x). Então sera + 00 +00 à) f g(x) dx convergente => | f (x) dx convergente. Ja Ja + 00 +00 b) f / (jc) dx divergente => f g(x) dx divergente. Ja Ja Demonstração + 00 a) lim r g(x) dxé finito, pois, por hipótese, f g(x) dx é convergente. De ;-»+ooJa Ja 0 =s/(x) 5S g(x), para todo x 2* a, resulta ( / (x) dx « f g (x) dx « f g(x)dx. Ja Ja Ja Sendo F (t) = i f(x) dx crescente e limitada, resulta que lim | f(x)dx será finito e, Ja /-» + ccJa /• +0 ° portanto, J / (x) dx será convergente. b) Fica a seu cargo. ■ g (x) dx convergente f{x) dx divergente r ■ J f(x) dx convergente -+ 00 > j g(x) dx divergente 40 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 1. Verifique que f e x sen 2 xdxê convergente. J 0 Solução 0 =s e x sen 2 x =s e x , para todo x 0. 00 / _ _ J e~ x dx = lim f e x dx = lim [—e r +l] = l,logo, 0 /-* + ooj0 /-» + 00 + oo J e x dxé convergente. Segue do critério de comparação que f e x sen 2 xdxé con- 0 J 0 J .+ “ 2 e x sen x dx =£ 1. o + °° x 3 EXEMPLO 2. Verifique que a integral imprópria J 4 dx é divergente. Solução x 3 _ 1 1 x 4 + 3 x i . 3 a: 4 Para todo x s* 1, 1 1 - 5 — s* —,e, portanto, i+4 4 * x 3 _ 1 1 x 4 + 3 4 x > 0 . J +oo 1 +00 X J - dx = + 00 , segue, pelo critério de comparação, que f —j- dx é divergen 1 4x Ji x 4 + 3 te. O exemplo que daremos a seguir será bastante útil no estudo de convergência de inte¬ grais impróprias cujo integrando não seja sempre positivo. Tal exemplo conta-nos que se + 00 f I f(x )I dx for convergente , então f f{x)dx também será (não vale a recíproca). Ja Já Extensões do Conceito de Integral 41 EXEMPLO 3. Suponha /integrável em [a, í], para todo t 5* a. Prove + 00 +00 J l f(x )I dx convergente => f f(x)dx convergente. a Ja Solução Para todo x S 5 a. O^I/WI +/(*)« 2 !/(*)!. J .+ °° I/(jc)I dx convergente, resulta, do critério de comparação, que o J .+ °° [[/" (jc)I + f (x)\ dx é, também, convergente. Temos a ( f(x)dx=( {[!/(*)! + /(*)] - \f(x)\}dx = ( [\f(x)\+f{x)]dx-( \f(x)\dx. Ja Ja Ja Ja + 00 + 00 + 00 Como f [I/(jt)l + f (x)] dx e C l/(jt)l dx são convergentes, resulta que f f(x)dx Ja Ja Ja também é convergente. ■ r +c ° - 3 EXEMPLO 4. A integral imprópria f e x sen xdxé convergente ou divergente? Justi- J o fique. Solução 0 =£ I e sen x I e . J * - r -x 3 e x dxé convergente, então f I e sen * I dx também será convergente; 0 J 0 + 00 3 pelo Exemplo 3, f e x sen x dx é convergente. ■ J 0 EXEMPLO 5. É convergente ou divergente? Justifique. Solução a) ( — sen x dx = — (— cos x) — f— —(— cos x) dx ■ Jl X X 1 Jl x z :-fr± Jl x l COSÍ , , J COS X , -+ COS 1 — I - 3 — dx. t Jl X 1 42 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Para todo x 2 * 1, 0 cos x 1 +“> | ~2 ■ Como f — dx é convergente, f %/1 X Jl + 00 COS X 00 COS X — y-dx é convergente. Como 1 x l 0 limitada lim 22LL = ü m y i cos f| = 0 t -» + 00 t t — + 00 't resulta ■+ 00 sen x . , r + 00 cos x . -dx = cos 1 — J —^— dx ou seja, • r +GO sen x dx é convergente. b) Para todo x , Isen xl ^ 1 e, portanto, sen x =£ Isen xl. Segue que, para todo x > 1, © Temos: sen x sen 2 x C- Jl x sen 2 x dx = 1 /i 1 - \1 r? 1 — — x - — sen 2 x — I — — x l2 4 I, Jl x 2 sen 2 í sen 2 + f 1 sen 2 x 4 1 I-Jf /12x 4x 2 1 1 — x — — sen 2 x 2 4 00 sen 2 x 00 1 -dx é convergente (por quê?), f — dx 1 4x z Jl 2x sen 2 1 hm -= 0 , resulta /-» + 00 4í lim f 1 f-» + OO Jl sen 2 x : dt = + 0 ° ou seja, f, -+ 00 sen 2 x dt = +oo. dc tam- + oo e x Extensões do Conceito de Integral 43 Pelo critério de comparação (veja ©)»J* . + °°|sen x dx é divergente. Tendo em vista o item a), conclui-se que a recíproca da afirmação do Exemplo 3 não é verdadeira. ■ O teorema seguinte, cuja demonstração é deixada para exercício, estabelece a conver¬ gência ou divergência de certas integrais impróprias e que serão úteis no estudo de diver¬ gência e convergência de integrais impróprias. Teorema r +°° 1 a) J —^-<íx é convergente para a > 1 e divergente para a =£ 1. b) f Jo + 00 e “* dx é convergente para todo a > 0. Exercícios 3.4 1. É convergente ou divergente? Justifique. CO J a) c ) X x 5 + 3x + 1 ,+ 30 1 dx ' X 1 + 1 X 3 +1 dx h lJx A + 2x + 1 e) X -+ « 2x — 3 g) J4 X 3 - 3x 2 + 1 + 00 dx dx “ e* dx b) X * f, „ r + “ cos 2x , » X -* * X. *> X* h) e x cos -fx dx X » X X .+ oo J 2 x 2 ln x dx sjx + 1 i dx m) x b + x + 1 X ^X 2 + X + 1 .+ 00 J dx -°° x 4 + + 1 2. Suponha /integrável em [a, f], para todo f & a, com f(x) 3» 0 em [a, + °°[. Suponha que exis¬ tem um a real e uma função g tais que, para todo x 3* a,f(x) =- g (x). Suponha, além disso, x a que lim g (x) = L > 0 (L real). Prove: X-»+°c J .+ “ / (x) dx convergente a J .+ “ / (x) dx divergente a 3. Utilizando o Exercício 2, estude a convergência ou divergência de cada uma das integrais a seguir. x 5 -3 , f + 00 x 6 - x + l j a) I — ---- dx J2 x 1 - 2x 2 + 3 b) X. -1 dx 44 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 + » 2;t 3 + x 2 + 1 C) Í —5 - — * Ji X 5 + X+ 2 .+ 00 ln x J » 1 111 1 x ln ( 4. Seja/contínua em [0, t], para todo r > 0, e suponha que existem constantes Aí > 0 e y > 0 tais que, para todo t 2= 0, © 1/(0 I =s Me 71 . Prove que f e st f(t) dt é convergente para s > y. J o Observação. Uma função /se diz de ordem exponencial y se existem constantes M > 0 e y > 0 tais que © se verifica. 5. Seja/uma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial y. Verifique que, para j .+« e st f' (t) dt é convergente e que o f + V*7' (t)dt = s f +0 °e~ s, f(t) dt -/(0). J o J o 6 . Suponha que/seja de ordem exponencial y e que, para todo t real, © /' (0 + 3/(0 = t. Mostre que, para todo s > y, r e -» mdl =ia» + ■ Jo s + 3 s 2 (s (s + 3) Conclua que existem constantes A, B, C tais que r +0 ° , /(0) ABC j e s, f(t)dt = ^—!- + — + —+ - Jo s + 3 ss 2 s + 3 Agora, utilizando o Exercício 8 da Seção 3.1 e supondo/(0) = 1, determine/que verifique © e mostre, em seguida, que esta/satisfaz ®. Observação. A função g dada por - +0 ° g C0 =J o e st /(0 I denomina-se transformada de Laplace de f 7. Procedendo como no exercício anterior, determine / tal que a) }' (0 - 2/(0 = cos re/(0) = 2. b) f (0 +/(0 = í 2í e/(0) = -1. 8. Suponha que fef sejam de ordens exponencial y t e y 2 , respectivamente. Suponha, ainda, que /" seja contínua. Verifique que e ~ St f" W dt = s 2 j + Je~ st f (0 dt - 5/(0) -/' (0) 9. Suponha F (x) crescente em [a, + °°[. Prove que lim F (x) será finito ou +°°. Será finito e igual x-*+°° a sup {F (x) I x & a} se existir M > 0 tal que, para todo x s a, F (x) =£ Aí. 4 Aplicações à Estatística 4.1. Função Densidade de Probabilidade. Probabilidade de Variável Aleatória Contínua Definição. Seja/uma função definida para todo x real e integrável em todo intervalo [a, b], com ae b reais ea < b. Dizemos que fé uma função densidade de probabili¬ dade se as seguintes condições estiverem satisfeitas: i) /(*) 3= 0 para todo jc; +OC ii) J ^ f(x)dx = 1. EXEMPLO 1 . Sejam a < b dois reais quaisquer e/a função dada por f(x) 1 se a ^ x ^ b b — a 0 se x < a ou x > b. Verifique que fé uma função densidade de probabilidade. Solução D eb > a segue que f(x) 0 para todo x. Por outro lado, b \ f f(x)dx= | -- dx= 1. Ja b - a Logo, a função dada é uma função densidade de probabilidade. 46 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 2. Sendo j3 > 0, verifique que a função/dada por /(*) = e ~ x/ P P 0 se x > 0 se x < 0 é uma função densidade de probabilidade. Solução De/3 > 0 segue que f(x) >0 para todo x real. Por outro lado, + 00 +00 L mdx ~5o lim f* e xl P dx = 1 — *■ +00 J 0 pois jC e~ x 'P dx = e s,p + /3 e lim e s/ ^ = 0. 5 —» +00 Assim, a função dada é uma função densidade de probabilidade. Consideremos um experimento qualquer, e seja S o espaço amostrai associado a tal ex¬ perimento, ou seja, Sé o conjunto de todos os possíveis resultados de tal experimento. Su¬ ponhamos, agora, que a cada resultado possível de tal experimento seja associado um nú¬ mero X. Pois bem, a variável X obtida dessa forma denomina-se variável aleatória. Se o conjunto de todos os valores de X for finito ou enumerável, dizemos que X é uma variável aleatória discreta. Quando a variável aleatória X é discreta, é possível associar a cada valor de X uma probabilidade. Consideremos, por exemplo, o experimento que consiste em lançar uma moeda. Neste caso, o espaço amostrai é o conjunto {cara, coroa}\ se ao resultado cara associarmos o número 0 e ao coroa o 1, a variável aleatória X poderá assumir qualquer valor do conjunto finito {0, 1}, e X será então uma variável aleatória discreta. Supondo a moeda honesta, a probabilidade p (x) de cada valor x de X é ~ > ou seja, p(0) = e p (1) = y; é usual a notação P (X = x) para representar a probabilidade de a variável aleatória X ser igual ax: P (X = x) = p (x). Observe que p (0) + p (1) = 1. Consideremos, agora, um experimento em que o espaço amostrai consiste em n resultados possíveis, s |, í 2 , ...,í„, cacada resultado í, associamos um número x,; então (x, I i =1,2,...,«} é o conjunto dos valores possíveis da variável aleatória discreta X\ a cada valor possível x t de X podemos atribuir uma probabilidade p (*,) = P (X = x t ), com p (x,) ^ 0 e ^ p(xj) — 1. Se o conjunto dos possíveis valores assumidos por X for enumerável, ou i = l seja, da forma {x, I i natural}, as duas condições acima deverão ser substituídas, respectiva- Aplicações à Estatística 47 mente, por p (*,) 3 = 0 , para todo i natural, e ^ p( *, ) = 1 , onde i = 1 +°° n y Pu,-) = Hm y p(jci). n —• +oo i=l i=l A seguir, definimos probabilidade de uma variável aleatória que não é discreta mas que admite uma função densidade de probabilidade. Definição. Sejam X uma variável aleatória e/uma função densidade de probabi¬ lidade. Dizemos que a variável aleatória X tem densidade de probabilidade/se a probabilidade de X pertencer ao intervalo ]a, b[, com a< b quaisquer (a = — °° ou b = -l-oo), for dada por P (a < X < b) = \ f(x)dx respectivamente, P(-oo f(x)dx P(a < X < +°o)= P(X > a) = J f(x)dx). área hachurada = P (a =£ X « b) Desse modo, a probabilidade de X estar entre a e b nada mais é do que a área da região limitada pelo gráfico de y = f(x), pelas retas x = a,x = be pelo eixo x. De r +0 ° I f(x) dx = 1 e f(x) 3 0 para todo x, resulta que a probabilidade de a variável aleatória J- 00 48 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 X pertencer ao intervalo ]a, b[é tal que 0 =£ P (a =£ X 6) 1. Observe que/(x) dx é um valor aproximado para a probabilidade de a variável aleatória X estar compreendida entre x e x + dx. Pelo que sabemos sobre as funções integráveis, nada muda nas definições acima se um dos sinais < (ou ambos) for trocado por =S; assim, P (a *£ X < b) = P (a < X < b) = P (a « X =£ b) etc. Dizemos que uma variável aleatória X é contínua se, para todo a real, a probabilida¬ de de X = a for zero. Pois bem, se X é uma variável aleatória que admite função densi¬ dade de probabilidade /, então X será uma variável aleatória contínua, pois para todo a real P (X = a) = Ç /(x) dx = 0. EXEMPLO 3. Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria (diga¬ mos, bateria de relógio) seja uma variável aleatória X contínua com função densidade de probabilidade dada por /(*)= \\ e ^ se |o se x < 0 sendo o tempo medido em anos. à) É razoável tomar/como função densidade de probabilidade para a variável aleatória XI b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano? c) Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos? d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos? Solução Pelo Exemplo 2, tal fé uma função densidade de probabilidade (/3 = 3). a) Inicialmente, observamos que teoricamente X poderá assumir qualquer valor real positivo. É razoável supor que a probabilidade de X pertencer ao intervalo [x, x + A_r], com Ax > 0 e constante ex^O, decresce à medida quex cresce, e, como a probabilidade de X ser menor que zero é zero, é então razoável esperar que a /seja nula para x menor que zero e descrescente no intervalo [0, +«:[. Como a/dada acima satisfaz tais condições, é então razoável tomar tal função como função densidade de probabilidade da variável aleatória X. É claro que essa /não é a única função que satisfaz tais condições. Aplicações à Estatística 49 b) A probabilidade de que a bateria dure no máximo um ano é a probabilidade de a variável aleatória X pertencer ao intervalo [0, 1]: P(0 - H e ~‘ a - i -é? 1/3 = 0,28. Em termos percentuais, a probabilidade de a bateria durar menos de um ano é de apro¬ ximadamente 28%, ou seja, em cada 100 baterias, espera-se que 28 deixem de funcio¬ nar com menos de um ano de uso. c) P (1 =s X =s 3) = e~ x/3 dx = [-e“-* /3 f = - e ~ 1 + e~ 1/3 - 0,35. Assim, a pro¬ babilidade de que a bateria dure de um a três anos é de 35%. d) P(3 1 [o se x < 1. Que valor da constante k toma/uma função densidade de probabilidade? Solução r +°° r +cc r +0 ° k Como J f(x) dx= \ f(x) dx, precisamos determinar k de modo que [ — dx = 1. r+°° k De Jj — dx = — (verifique), segue k = 2. Assim, para k = 2 a/é uma função densida¬ de de probabilidade. ■ Exercícios 4.1 1. Determine k para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade. d) f (x) = fag-x 2 para x 3= 0 e/(x) =0 para x < 0. b ) / (x) = ke ljr 11 para todo x. c) /(x) = fcx (x - 5), 0 =s x =£ 5 e/(x) = 0 parax < 0 ou x > 5. k d) /(x) = j + Ax 2 para todo x. 2. Suponha que o salário R$X de um funcionário de uma fábrica seja uma variável aleatória com f unção densidade de probabilidade f(x) = kx 2 para x & 400 e/(x) = 0parax< 400. a) Determine k para que /seja uma função densidade de probabilidade. b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que R$1.000,00? c) Qual a probabilidade de o salário estar compreendido entre R$2.000,00 e R$5.000,00? d) Se a fábrica tem 3.200 funcionários, qual o número esperado de funcionários com salários entre R$2.000,00 e R$5.000,00? 50 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 4.2. Função de Distribuição Seja X uma variável aleatória. A função F dada por F (jc) = P (X =s jc), com x real, é denominada função de distribuição da variável aleatória X. Se X for uma variável aleató¬ ria contínua, com densidade de probabilidade f teremos F (x) = P (X « x) dt para todo x real. Observe que, se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabi¬ lidade f então a sua função de distribuição F é uma função contí nua e F' (x) = f(x) em todo x em que ffor contínua. Observe, ainda, que a probabilidade de a variável aleatória X per¬ tencer ao intervalo [a, b] é P(a^X^b) = F(b) F(a) = dx. Observe que, se F for uma função de distribuição, deveremos ter necessariamente lim F (jc) = 1 e lim F(x) = 0. Você concorda? x -» +°° x -» -o» EXEMPLO 1. Considere a função densidade de probabilidade dada por f(x) = sex 1 x z e/(x) = 0 se x < 1. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição F. Solução DeF(x) = J* f(x)dx, segue que F(x) = 0 se x=£ 1 eF(x) = Ç -y dt se x > 1, ou se ja, íO se rí 1 l-I se x> 1. (Observe que lim F (x) = 1.) x -» +oo EXEMPLO 2. Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir qualquer valor do conjunto (0, 1} e com probabilidades P (X = 0) = p (0) = y e P (X = 1) = p (1) = y. Esboce o gráfico da função de distribuição da variável aleatória X. Aplicações à Estatística 51 Solução Temos P (X < 0) = 0, pois X não pode assumir valor negativo; para 0 x < 1, P (X *£ x) = P (X = 0) = y , pois X = 0 é o único valor que X poderá assumir no intervalo [0, 1[; para* S 5 1, P(X =£ x) = P (X = 0 ou X = 1) = P(X = 0) + P (X = 1) = 1. Assim, 0 se x < 0 F (x) = P (X ss x) = .1 se 0 * < 1 2 1 se x 2 * 1 . Observe que F é descontínua nos pontos x = 0 e x = 1. Observe, ainda, que lim F (x) = 1. x -» +oo Exercícios 4.2 ~tv : ^ ~~ ■ t~- ■ - 1. Determine a função de distribuição da variável aleatória X, sendo sua função densidade de pro¬ babilidade dada a seguir. a) f(x) = — para 0 =£ x =s 5 e/ (x) = 0 para ;c < 0 ou x > 5. b) f(x) = — e xl " para x s= 0 e f(x) = 0 para x < 0. 2 c) f(x) = — e W para todo x real. 2 1 2 * 1 2. Sabendo que a função de distribuição da variável aleatória Xé dada por F(x) = — f -— dt, 7 T J 1 + t 2 determine sua função densidade de probabilidade. 3. Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir qualquer valor do conjunto {0, 1, 2} e com probabilidades P (X = 0) = —, P (X = 1) = — e P (X = 2) = —. Esboce o gráfico da 3 6 2 função de distribuição da variável aleatória X. 4.3. Valor Esperado e Variância de Variável Aleatória Consideremos uma coleção de n números reais em que o número x i aparece repetido n\ k vezes, *2 aparece n 2 vezes, ...,x^ aparece n* vezes, de tal modo que ^ n,- = n; pois bem. a média aritmética x desses números é dada por 52 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 x n :=i li Xi = k ^ Xi ft, onde/ i = l HL n Sabemos que a distância do número x, a x é I x,- — x I; assim, o quadrado da distância de x,- axé (Xj — x) 2 . A média aritmética dos quadrados das distâncias de x, a x, i de 1 a k, é, por definição, a variância de tais números: variância = n A raiz quadrada da variância denomina-se desvio padrão de tais números: desvio padrão (xi ~ x) 2 fi. Observe que, quanto maior o desvio padrão, mais afastados estarão os números x, da média x, e, quanto menor o desvio padrão, mais concentrados em tomo da média x estarão os números x,-. Consideremos, agora, uma variável aleatória discreta X com possíveis valores Xj, x 2 , x 3 , ...,x k e probabilidades p (xj), p (x 2 ),..., p (x k ). Por definição, o valor esperado ou média de X , que se indica por E (X) ou simplesmente por p, é k E(X) = ^ x, p(xi). i — \ Por outro lado, a variância de X, que se indica por Var (X) ou simplesmente por o 2 , cr > 0, é, por definição, dada por k Var(X)= ^ (xí~ E(X)) 2 p( Xl ). i = 1 Observe que se p (x,) = —, para i de 1 a k, o valor esperado E ( X) nada mais é do que a n média x, e Var (X) nada mais é do que a variância dos números x 1; x 2 , x 3 , ..., x k , onde x, k aparece repetido n, vezes e ^ n, = n. i' = i A raiz quadrada de Var (X) é o desvio padrão a da variável aleatória X: a = -jVar (X). Aplicações à Estatística 53 Observando que, para dx suficientemente pequeno,/(x) dx é praticamente a probabili¬ dade de ocorrência de x, nada mais natural do que as seguintes definições de valor esperado e variância para uma variável aleatória contínua. Definição. Seja X uma variável aleatória contínua X, com função densidade de pro¬ babilidade /. Definimos o valor esperado E (X) de X por E(X) = [ x f (x) dx J-cc e a variância Var (X) de X por Var(X) = f [x- E(X)] 2 f(x)dx desde que as integrais impróprias sejam convergentes. Lembrando que E (X) é um número, temos + 00 + 00 + 00 Var (X) = f x 2 f(x) dx — 2 E (X) f xf(x) dx + [E (X)] 2 f f{x) dx. J— 00 J — 00 J — 00 + 00 +00 De E (x) = f x f(x) dxe f f(x) dx = 1 resulta © EXEMPLO. Seja X a variável aleatória com função densidade de probabilidade e~ x/ P f(x) = — se * 03 > 0) 0 se x < 0 . Calcule o valor esperado e a variância de X. Solução Cálculo do valor esperado E {X). Como/(x) = 0 para x < 0, vem 1 +00 £(*)=© f xe~ x '^dx. p J 0 54 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Integrando por partes, temos J * 5 xe xl P dx = [—e x/ ^dx e, portanto, £ xe~ x/l3 dx = [~Pse~ s,p ] + /3 2 [1 - e~ s/p ]. De lim - [3se~ sl P = 0 e lim e sl ^ = 0 (confira) resulta P 2 = P- Assim, o valor esperado da variável aleatória X é E (X) = /3. Vamos, agora, ao cálculo de Var ( X ). Tendo em vista ©, var(x > - j r xi r “ e dx - [£(X)] 2 Integrando duas vezes por partes, obtém-se: C x 2 e- x, *dx = 2?. J o Lembrando que E(X) = (3, resulta: Var(X) = /3 1 . Conclusão: E(X) = peVar(X) = p 2 . Exercícios 4.3 -- - -- - - 1. Determine E(X)eVar ( X ) da variável aleatória X com a função densidade de probabilidade dada a seguir. d) f(x) = -para a =£ x =S b ef(x) = 0 para x < a e x > b. b — a 3 b) f(x) = --para r&Oe f(x) = 0 para x < 0. c) f(x) = x e x para x s* 0 ef(x) = 0 para x < 0. Aplicações à Estatística 55 4.4. Distribuição Normal Inicialmente, observamos que no Vol. 3 será provado o seguinte importante resultado: EXEMPLO 1. Seja f(x ) = ke x2/2 , com x real. Determine o valor da constante k de modo que/seja uma função densidade de probabilidade. Solução r +cc 1 Como fé uma função par, devemos ter ^-x 2 /2 dx = Fazendo a mudança de variável x = u %/2, resulta ke x 212 dx = éT“ 2 du. Para s —» + °°, resulta + 00 -fOO ke~ x 12 dx = k sÍ2 e~“ du = Deveremos ter então ^ = —, ou seja, k — — 2 2 Jlir EXEMPLO 2. Sendo pi e (Tf cr 0, duas constantes dadas, mostre (juc i 4 -oo - r e ~(x ~ p) 2 12a - 2 dx = \. (TV27T J-°° Solução 56 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 X — LL Fazendo a mudança de variável z = -, teremos dx = crdz e z = 0 para x = /x. Tendo cr em vista o exemplo anterior, segue que _ f e ~(x-fi) 2 /2cr 2 = _!_ f e~ z2/2 dz= — ■ cr^tr h V2^Jo * 2' A seguir, vamos destacar a distribuição de probabilidades mais importante da estatísti¬ ca: a distribuição normal. Definição. Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição normal, com média /x e variância a, a > 0, se a sua função densidade de probabilidade for dada por f(x) = -í— g-i-c-M) 2 / 2 ^ 2 , jcreal. (7V27T A notação X : N (/x, cr 2 ) é usada para indicar que a variável aleatória X tem distribuição normal, com média n e variância cr (ou desvio padrão cr). EXEMPLO 3. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal, média /x e variância cr 2 . Mostre que de fato tem-se: a) E (X) = fi b) Var (X) = cr 2 . Solução = i r + cr V27T J- -(x- fi) 2 ! 2o 2 dc. Temos / +°° , T _+°° T T _+°° , t Xe -(x-á) 2 / 2 o 2 dx= r ( x _ ^) e ~( x ~ ái 2 l2 -(■*-M) 2 / 2 < 7 2 " + Ç* e - (x -^2/20-2^ Jlx Ju Ja Com lim (s - fx) e~ (s ~ ^ 2 ' 2 ° 2 = 0, resulta S -* +00 '? n -2 + 00 Far TO = f e~( x ~ dx = a- 2 . Assim, Var (X) = a 2 . B EXEMPLO 4. Seja X: N(/x, cr 2 ). Mostre que P (/x — cr ^ X ^ /x + cr) independe de ix e de cr e que seu valor é P(fx- a^X^ fx + a)= -L- f 1 e-* 2 ' 2 dz. V2ir JO Solução P(tx-(T^X^p,+ (T)= —1=. r 4 + °' e-íx-rfno- 2 0-V27T J/i 58 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Fazendo a mudança de variável z para x = /x + a e, portanto, x — /X a teremos dx crdz,z = 0 para x = /x, z = 1 ^ ^-^ 2 , 2,2 dx = a A J/x J 0 1 !2 dz. Assim, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [/x — cr, /x + cr] independe dos valores de /x e cr, e seu valor é P(ix crsSXsS/x + cr) = e -z 2/2 rfz«0,68. Observação. Para calcular o valor da integral que aparece no 2.° membro, é só utilizar a desigualdade (x < 0) ( X 2 X 3 x” \ e x — 1 + x +-1- — + ., .. + — 1 2! 3! n\ ) | I* n +1 (» + D! (veja Exemplo 7 da Seção 16.3, Vol. 1,5. a edição) e proceder como no Exemplo 9 da Seção 16.3 mencionada. Efetuados os cálculos, chega-se a: P(ix—a^X^fi +a) ^ 0,68. Isto é, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [|x — 2 /0 ' 02 dx = 0,036 (o cálculo foi feito na HP- 0,1 V2t t J 1,9 48G). Assim, o número esperado de alunos com altura superior (ou igual) a 1,92 m é de aproximadamente 3,6% do total dos alunos da escola, ou seja, aproximadamente 31 alu¬ nos. (Já dá para montar um belo time de basquete ou de vôlei, não? Bem, depende!) ■ Exercícios 4.4 —J———— . . 2 1. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal, média p. e variância tr , cr > 0. Sendo r > 0 um número real qualquer, mostre que P(p. - rcr =£ X =£ p. + nr) = - ,1 = ( e~^ 2 * 2 dz ■Çljl J-r e conclua que a probabilidade de X estar entre p — rcr e p + rcr, não depende de p e cr, só depende de r. 2. SejaX : N(p, o 2 ). Mostre que 1 (b-f±)l(T ~ P(a dada por f(t) dt =* F' (x) = f(g (x)) g’ (x) onde SÊ/, com a fixo. Se / for da forma ] —o °, M, poderemos tomar a = —° °. (Re¬ veja os Capítulos 2 e 3.) Uma das funções de variável aleatória que desempenha papel fundamental na inferência estatística é a dada por cr onde X é uma variável aleatória com distribuição normal N (/x, cr 2 ). Vamos mostrar no próximo exemplo que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, Z: N(0, 1). EXEMPLO 1. Seja Z a variável aleatória dada por z=^i onde X é uma variável aleatória com distribuição normal N (ji, cr). Mostre que Z tem dis¬ tribuição normal padrão Z : N { 0, 1). Solução Precisamos mostrar que a função F de distribuição de Z é dada por 1 F(z) = ■J2tt L x 2 /2 dx. Aplicações à Estatística 61 Temos F (z) = P (Z =s z) = P ( « z) = P (X =£ az + p). V cr J DeX : N (n, cr 2 ), segue que Então, F (z) = P(X^az + ií) = - f aZ + fl dx. cr -J2v F' (z) - f (az + fi) (az + fx)’ onde/(x) = - \= e m) 2/2op2 . Segue que cr -J2 tt e, portanto, F' (z) = J— e z2/2 (de acordo?) V27T F(z) = / f 2 e x2/2 dx. V27r (Um outro modo de resolver o problema, é mostrando diretamente que P(a 0 (c < 0). a) Qual a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y1 b) Mostre que E (Y) = c E (X) + d. c) Mostre que Var (Y) = c 2 Var (X). Solução Suporemos c > 0 (você se encarrega de c < 0). a) Sendo F a função de distribuição de Y, temos: y - d\ ly~d)/c F(y) = P(Y^y)= P^X^^—j = ^ f( x )dx. Como a fé contínua em todo x, F é derivável e rw/(^j (J^;|' =-/(—)■ \ C / V c / c \ c j Segue que existe uma constante k tal que F(y) = ~[ y f(—)dt + k. cJ-°° \ c / j +oo /t — d\ /.+ 00 Como — f / -j dt= [ f(x) dx=\ (de acordo?) resulta k = 0. cJ-°° \ c / J -oo Logo, g(y) = — /(———^ é a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y. c \ c / (Sugestão: Sugerimos ao leitor mostrar diretamente que _ 1 Sfíy-d) P(a 0, obtemos P(a 0. Exercícios 4.5 . 1. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade /definida e con¬ tínua em todo a: real. Considere a variável aleatória Y dada por Y = Xr. Determine a função den¬ sidade de probabilidade g de Y. 2 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, X : N (/x, cr 2 ). Dizemos que a variável aleatória Y tem distribuição lognormal com parâmetros /x e cr se X = ln Y. Determine a função densidade de probabilidade de Y. 4 . 6 . A Função Gama Uma função que desempenha um papel muito importante em estatística é a função gama, que é dada por Aplicações à Estatística 65 Observe que a integral acima é imprópria em +°° e, também, em 0 se 0 < a < 1. Veremos nos próximos exemplos que a integral é convergente para a > 0 e divergente para a =s 0. Primeiro, analisaremos o caso a 3= 1; em seguida, o caso 0 < a < 1 e, por fim, a =s 0. + 00 EXEMPLO 1. Mostre que, para a 3= 1, a integral imprópria e x x a 1 dx é conver¬ gente. Solução Para a 3= 1,/(jc) = e~ x x a ~ 1 é contínua em [0, t], para todo t > 0. Logo, a integral é imprópria apenas em +°°. Temos: e - x x a ~ X =e~ xl2 (e- xl2 x a ~ \ _ n - i X a ~ 1 De lim e L x a = lim — pr- = 0 (verifique), segue que existe r > 0, tal que x —* +°° x -* +oo e x 1 + 00 e ~ r/2 x a 1 < 1 para x 3= r. Daí, e x x a 1 < e~ t/2 parax 3= r. De e -x/2 dx = 2, segue, + ÜC pelo critério de comparação, a convergência da integral imprópria e~ x x a dx. m + CO EXEMPLO 2. Mostre que, para para 0 < a < 1, a integral imprópria /„ e- x x a ~ l dx é convergente. Solução /» e~ x x a -'dx -jÊ.-v-U + jf + 00 Raciocinando como no exemplo anterior, conclui-se que Jj e x x a dx é convergente. Como e~ x é limitada em [0, 1], para verificar a convergência de \ e~ x x a _ 1 dx basta J o verificar que a integral imprópria \ x a 1 dx é convergente. Deixamos a seu cargo verificar J o J J 1 +00 x a ^dx =—. Logo, a integral f e~ x x a ~ ] dxé convergente se 0 < a < 1. ■ 0 a Jo 66 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 + 00 EXEMPLO 3 . Mostre que, para a 0 , a integral imprópria e x x a 1 dx é divergente. Solução Para a =£ 0, f / 1 dx = +°o (verifique). Para 0 < x =£ 1, J o + 00 Pelo critério de comparação, e x x a ' dx = +°°. EXEMPLO 4. a) Calcule T (1). b) Mostre que T (a + 1) = a T (a), a > 0. c) Calcule T (n), com n natural e diferente de zero. Solução j . + co w* e x dx = lim f e x dx = 1. 0 í -* +0O Jo r +cc b) T (a + 1) = Jo e x x a dx. Como a > 0, tal integral só é imprópria em +°°. De acor¬ do? Integrando por partes, vem De lim e 5 = 0, resulta s —* +00 +00 +00 f e~ x x a dx = a f e~ x x a ~ 1 dx Jo Jo e, portanto, T (a + 1) = a T (a). c) r(2) = 1 • T(l) = 1; r(3) = 2 • r(2) = 2- l ; r(4) = 3 -ro) = 3 -2 - 1 . De modo geral, T (n) = (n - 1) • (n - 2) • ... • 3 • 2 • 1 = (n - 1)! ■ A seguir, vamos destacar o resultado do item c do exemplo acima. Para todo natural n, tem-se n! = r (n + 1). Aplicações à Estatística 67 Assim, a função gama nada mais é do que uma extensão do nosso já conhecido fatorial. Definição. Para todo real a > — 1 definimos fatorial de a por a! = r (a + 1). Observação. A função fatorial da calculadora HP-48G é dada pela definição acima. A ta¬ bela a seguir foi construída com o auxílio dessa calculadora. Para acessar a função fatorial na HP-48G, tecle: MTH NXT (para virar a página do menu do aplicativo MTH), em segui¬ da pressione a tecla branca da letra A para ativar PROB no menu do aplicativo. Achou o fatorial? a -0,99 -0,9 -o,i 0 0,4 0,45 0,5 0,6 1 2,5 3 a\ 99,43 9,51 1,07 1 0,887 0,8856 0,886 0,893 1 3,323 6 Sugerimos ao leitor que, olhando a tabela acima, faça um esboço dos gráficos das funções gama e fatorial. Exercícios 4.6 .. " ' : . 1. Mostre que T j = \ t7. (Sugestão: Lembre-se de que J* e * 2 dx = ■Jtt .) 2. Calcule (-0,5)! 3. Calcule T j, T j etc. 4. Estabeleça uma fórmula para o cálculo de f I— -j, com n natural. 4 . 7 . Algumas Distribuições Importantes Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme se sua função densidade de probabilidade for dada por f(x) = 1 b — a 0 se a x ^ b se x < a ou x > b. A variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se a sua função densidade de probabilidade for /3 > 0, f(x) = e 0 P se X 5: 0 se x < 0. 2 Já vimos que nesse caso E (X) = (3 e Var (X) = (3 (veja exemplo da Seção 4.3). 68 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 A variável aleatória contínua X tem distribuição gama, com parâmetros a > 0 e /3 > 0, se a sua função densidade de probabilidade for f(x) = í- 1- x <* lg *//3 se x > o r(a)0“ (O se x =£ 0. Observe que a distribuição exponencial é uma distribuição gama com a = 1. EXEMPLO 1. Seja / a função densidade de probabilidade da distribuição gama. a) Verifique que tal fé realmente uma função densidade de probabilidade. b) Calcule E (X). c) Calcule Var (X). Solução a) É claro que vamos ter que fazer uma mudança de variável de modo que apareça a função gama (você concorda?). Eu acho até que você já sabe qual é a mudança! Então, vamos X lá. Fazendo u = —, teremos dx = Bdu. Assim, P +00 +0O f x a ~ l e~ x//3 dx=0 f (up) a ~ l e~ u du = p a r{a). Pronto. É realmente uma função densidade de probabilidade. b) f o x (x a ~ l e- x, P) dx = £ x a e~ xl(i dx = -f3 [x“ + a/3 f x a ~ 1 e~ x ' P dx. Para 5 tendendo a infinito, a primeira parcela do último membro tende a zero e, daí, 1 +00 E (X) = --- f x (x a ~ l e~ xl P)dx = a/3. /3 a r(a) J 0 Conclusão: E (X) = a/3. r +x 2 2 c) Lembrando que Var (X) = I x f(x) dx — [E (X)] , segue que precisamos calcular apenas o valor da integral do 2.° membro. Temos r x 2 (x a - l e~ xlf} ) dx = f +0 ° x“ + l e~ x,p dx. J 0 J 0 Integrando por partes, resulta: + 00 , +CO x“ + 1 e~ xlfi dx= -/3 [x a+ + (a + 1) /S £ x a e~ xlfi dx. A plicações à Estatística 69 Sendo o valor da primeira parcela do segundo membro igual a 0 e tendo em vista o item anterior, tem-se Var (X) = (a/3) 2 + a/3 2 — (a/3) 2 = a/3 2 . Conclusão: Var (X) = a/3 2 . ■ As três distribuições que destacaremos a seguir desempenham papéis fundamentais na inferência estatística. São elas: distribuição qui-quadrado (x 2 ), distribuição t de Student e distribuição F de Snedecor. A variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado (x 2 ), com v graus de li¬ berdade, se a sua função densidade de probabilidade é dada por /(*) = _:_ x^ vl ^ ~ l)g~*/2 2 vll Y{vl2) 0 se x > 0 se x =£ 0. Uma distribuição qui-quadrado, com v graus de liberdade, é usualmente representada por X 2 (u). Observe que a distribuição qui-quadrado é uma distribuição gama com a = v!2 e /3 = 2; assim, E (X) = ve Var (X) = 2v. De onde surge essa distribuição? Consideremos uma população com distribuição normal padrão, ou seja, com distribuição N (0, 1). Retire, aleatoriamente, dessa população uma amostra x j, x 2 , • • •, x v com v elementos e some os qua¬ drados desses números X 2 = x\ + x\ + ... + x%. Retire outra amostra e calcule x 2 , e assim por diante. Este x 2 é uma variável aleatória, e, teoricamente, poderá assumir qualquer valor positivo. Pois bem, prova-se que, sob determi¬ nadas condições, a função densidade de probabilidade dessa variável aleatória é a função/ dada acima. Com essa função densidade de probabilidade, P(a^ X^ b)é a probabilidade de o valor x 2 pertencer ao intervalo de extremos aeb. Prova-se que, se Z e Y forem variáveis aleatórias independentes Z com distribuição nor¬ mal N ( 0, 1) e Y com distribuição X*(v), então, a variável aleatória t dada por _ Z -JyTv tem a seguinte função densidade de probabilidade f(t) = r (v±l\ \ 2 ) -(v+ I)/2 com t real qualquer. Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição t de Student, com v graus de liberda¬ de, se a sua função densidade de probabilidade é dada pela função acima. Observe que tal/ é uma função par. Faça você mesmo um esboço do gráfico dessa função. 70 Um Curso de Cálculo — Vot. 2 Sejam í/e V variáveis aleatórias independentes com distribuições y? (vj) e ^ ( 1 * 2 ), res¬ pectivamente. Prova-se que a variável aleatória W = de de probabilidade: v 2 U v x V tem a seguinte função densida- f(x) = rí» 1 + v 2 \ \ 2 ) r ( r ( \ 2 )\ 2 ) 0 se x =£ 0. V 2 ^- 2) /2 1 + ^* "2 (*, + ^2 )/2 se x > 0 Uma variável aleatória tem distribuição F de Snedecor, com graus de liberdade V\ e v 2 , se a sua função densidade de probabilidade é dada pela/ acima. Para encerrar a seção, observamos que existem tabelas para calcular probabilidades que envolvem as distribuições normal, qui-quadrado, t de Student e F de Snedecor. Entretanto, como no meio estudantil o uso da calculadora HP-48G é muito comum, mostraremos no Apêndice 2 como utilizá-la em problemas que envolvem tais distribuições, bem como para outros cálculos comuns em estatística. Exercícios 4.7 .—... z .:. 1. a) Verifique que a função densidade de probabilidade da distribuição r de Student é realmente uma função densidade de probabilidade no caso v = 3. b) Mostre que £ (r) = 0 e, para ^3, Var (t) = — - — O que acontece com Var (t) para v =£ 2? v -2 2. Mesmo exercício para a distribuição F de Snedecor no caso v\ = v 2 = 2. 3. Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull se sua função densidade de probabilidade é dada por f(x) = í/3x^ ~ l e~ x ^ se x > 0 [0 se x =£ 0. a) Verifique que tal fé realmente uma função densidade de probabilidade. b) Determine E (X) e Var (X). 4. Uma variável aleatória X tem distribuição de Rayleigh se sua função densidade de probabilidade é dada por / (x) = íxe * 2 11 se x > 0 jo se x =s 0. a) Verifique que tal fé realmente uma função densidade de probabilidade. b ) Determine £ (X) e Var (X). 5 Equações Diferenciais Lineares de l. a E 2. a Ordens, com Coeficientes Constantes 5.1. Equação Diferencial Linear, de l. a Ordem, com Coeficiente Constante Sejam dados um número a e uma função / definida e contínua num intervalo I. Uma equação diferencial linear, de 1 . a ordem, com coeficiente constante, é uma equação da for¬ ma © — + ar = /(/). dt Multiplicando ambos os membros de © pelo fator integrante e at (veja Cap. 14, Seção 14.6, do Vol. 1) obtemos e at — + axe at = e at f(t) dt ou © pois, — [xe at \ = — e ar + axe al . dt dt — [xe at ] = e a, f(t) dt J 72 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Como fé contínua em /, e at f{t) admite primitiva em /. De @ segue que xe at é da forma x e at = k + J e a, f(t) dt ou (D x = ke~ at +e- at je a, f{t)dt com k constante. Por outro lado, é fácil verificar que as funções da forma (3) são soluções de ©. Chegamos, assim, ao importante resultado: As soluções de f são as funções da forma x = ke~ at + e~ at J* e at f (f) dt com k constante Este resultado é um caso particular daquele que obtivemos na Seção 14.6do Vol. 1. Obser¬ vamos que no cálculo de f e at f(t) dt a constante de integração pode ser omitida (por quê?). EXEMPLO. Considere a equação dx -1 - x = t + dt 1 . d) Ache a solução geral. b) Ache a solução x = x (t) que satisfaz a condição inicial x (0) = 1. Esboce o gráfico. Solução a) A solução geral é (a = 1 e f(t) = t + 1) x = ke 1 + e ' f e r (t + 1) dt. Como J* e (t + 1 ) dt = te ' (verifique) resulta x = ke ' + t. Equações Diferenciais Lineares de 1e 2. a Ordens, com Coeficientes Constantes 73 b) Precisamos determinar k para se ter jt = 1 para t = 0. 1 = ke~° + 0 = 1. A solução que satisfaz a condição inicial dada é x = e~‘ + t. Exercícios 5.1 1. Ache a solução geral. > dx , a) — — 3x = e c) dt dx dt X = COS t 21 dx e) — - 2x = e dt dx g) — + x = cos 21 dt •v dy i) — + 3y = x dx i>£ dt ri) 3 dx b) -* = 2r + 1 dt dx d) — + 2x = sen t dt dx f) — - x= 5 dt dx 1 ri) — + 2r = - dt 2 ds 9, j) -2s = e> 21 dt q = cos 3f , dy m) — — y = sen x dx + 2y = 1 dx o) 2 — + x = t dt — l(3y = e ix , dT q) — =3T+2 dt y + cos 3x dx s) — = 3x — e dt dy_ dx dy P) 5 -f dx v r) ^ = 2. Numa certa cultura de bactérias, a taxa de aumento é proporcional ao número presente. Verifi¬ cando-se que o número dobra em 2 horas, quantas pode-se esperar ao final de 6 horas? 74 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 3. De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância, numa corrente de ar, é proporcional à diferença entre a temperatura T da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 20° e resfriando a substância de 110° para 80° em 20 minutos, determine a temperatura T = T (t) no instante t, (suponha t dado em minutos). 4. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é © L — + Ri = £ (í) dt onde L (henry) é a indutância, R (ohms) é a resistência, i (ampère) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz. à) Resolva © supondo L e R constantes não-nulas, E (f) = £ 0 para todo t e i = 0 para t = 0. b ) Resolva © supondo L = 2, R = 10, E (t) = 110 sen 1207 tí e i = 0 para t = 0. 5.2. Equações Diferenciais Lineares, Homogêneas, de 2. a Ordem, com Coeficientes Constantes Uma equação diferencial linear de 2. a ordem, com coeficientes constantes, é uma equa¬ ção da forma _ d 2 x , , dx , ,. . © —T- + & — + cx = /(?) dt 1 dt onde be c são números reais dados e/: / —» IR, /intervalo, é uma função contínua dada. Se/(í) = 0 em /, a equação acima se diz homogênea. Nosso objetivo a seguir é determinar a solução geral da equação homogênea d 2 x ,,dx —v + b — + cx ■ dt 2 dt Para isto, vamos precisar da equação algébrica (3) + b\ + c = 0 denominada equação característica de @. Observamos que se Àj for raiz real de (3), então x = e A|í será solução de @. De fato, para todo t. (eV)" + b (/>')' + cé?V = Af/i' + b\i eV + ceV = •=• - (A, + A 2 ) — + A|*2 * - 0 dt 1 dt dt 1 dt que é equivalente a d T dx dx — — - A t x - A 2 — - A] x =0. (Verifique.) dt dt 1 z dt 1 4 _ CIA, Segue que x = x (t) será solução de @ se e somente se — — A,x for solução da equa- dt ção linear de 1 . a ordem du \ - n -A 2 u = 0. dt Como u = & 2 e 2 ', segue que x = x (t) será solução de @ se e somente se dx x i -A] x = k^e 2 . dt Deste modo, x = x (t) será solução de @ se e somente se for da forma * = */.' + ,v jv à 2-V' dt com & j e & 2 constantes. Se Àj ^ À 2 » . (A- à, ) r , A,/ , A,/ A: 2 e 2 1 x — k\e * + e 1 - A 2 - Aj x = Ae k i' + fl/ 2 ' onde A = k^e B = A 2 - A] 76 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Sc Àj — ^ 2 ' ou seja, x = k\ e Á>t + e Á,t Jk .2 dt x = ÂeV + Bte X i r onde  = ky e B = ■ EXEMPLO 1. Resolva a equação d 2 x dt 2 + 3 — + 2x = 0. dt Solução A equação característica é À 2 + 3A + 2 = 0, cujas raízes são — 1 e — 2. A solução geral da equação é x = Ae 1 + Be 2t . EXEMPLO 2. Ache a solução do problema \—j- + 3 — + 2x = ( j dt 2 dt {.x (0) = 0 e x' (0) = 1 Solução O que queremos aqui é a solução da equação -4- + 3 — + 2x = 0 dt 2 dt que satisfaz as condições iniciais x (0) = 0 e x' (0) = 1. Pelo exemplo anterior, a solução geral é x = Ae~ l + Be~ 2t . Devemos, agora, determinar Ae B para que as condições iniciais sejam satisfeitas. Temos x' = - Ae~’ - 2Be~ 21 . Então ÍAe~° + Be~ 20 =0 {-AéT 0 - 2 Be~ 2 0 = 1 Equações Diferenciais Lineares de 1° e 2.“ Ordens, com Coeficientes Constantes 77 ou [ A+B=0 {- A - 2B = 1 e, portanto, A = 1 e B = — 1 . A solução do problema é x = e ' — e 2í cujo gráfico é EXEMPLO 3. Resolva a equação d 2 * 8 — + 16* = 0. dt Solução A 2 - 8A + 16 = 0 ^ A = 4. Como A = 4 é a única raiz da equação característica, a solução geral será x = Ae 41 + Bte 41 . EXEMPLO 4. Resolva a equação d 2 x dt 2 -9x = 0. Solução A 2 — 9 = 0<=>A=±3. A solução geral da equação é x = Ae 3 ' + Be 3l . 78 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Na Seção 5.4, veremos como fica a solução geral da equação homogênea©, no caso em que as raízes da equação característica forem complexas. Antes, porém, precisamos cons¬ truir o corpo dos números complexos; é o que faremos na próxima seção. Exercícios 5.2 1. Resolva a equação d 2 x dx a) —--2-3x = 0 dt 2 dt d 2 x dx b) —z -2 — + x = 0 dt 2 dt d 2 x c) —- - 4x = 0 dt 2 . d 2 x dx d) 4 —= 0 dt 2 dt d 2 x e) —-— 3x - 0 dt 2 d 2 x dx J) —+ 2 —+ x = 0 dt 2 dt d 2 y dy ,, d 2 y , dy h) — T- + 6 — + 9y = 0 dx 2 dx í) —X + 5 — = 0 dx 2 dx y) —Y - 6y = 0 dx í „ d 2 x dx t) —r- + 3 — = 0 dt 2 dt d 2x m) —- = 0 dt 2 , „ d 2 x dx ri) 2 —- +-x = 0 dt 2 dt . . d 2 x dx o) 3 —- + 5 — = 0 dt 2 dt Determine a solução do problema. a) b) d l x dt 2 d 2 x dt 2 9x = 0, jc( 0) = lef(0) = -1 2 — = 0, x(0) = 0 e jc'(0) = 1 dt d 2 y dy c) — f-2 — + y = 0, y(0) = 1 e /(O) = 0 dt 2 dt ( . _ dx .. _ d 2 x\ 3. Resolva a equação. I x ~ ~ e x — I a) x — 2jc = 0 c) y — ly = 0 b) x + 5i: + 6x = 0 d) y - 10y + 25 y = 0 4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica —x i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por — 2x i Determine a posição x = x (f), t s* 0, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo a) x (0) = 1 e x (0) = 0 b) x (0) = 1 e x (0) = - 2 5. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica —2 x i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por —3 x i . Determine a posição x = x (r), t & 0, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo x (0) = e - 1 e x (0) = - 1. 5.3. Números Complexos Por um número complexo entendemos uma expressão do tipo z = a + bi Equações Diferenciais Lineares de 1° e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 79 onde aefc são números reais e i um símbolo cujo significado aparecerá logo a seguir. O conjunto dos números complexos é indicado por C : C = {a + bi la, b E IR}. Sejam os números complexos z = a + bi e Z\ = + byi. Dizemos que z é igual a Z\ se e somente se a = a\ e b = b\, isto é, a + bi = a j + èjí a = a, e b = b\. Definimos a soma de z e z\ por (i a + bi) + (a l + b\i) = (a + «j) + (b + b\) i. Definimos o produto de z por z\ por (a + bi) (aj + bji) = (aa i — bb j) + (ab l + a x b) i. Segue da definição de produto de números complexos que i 2 =i • i = (0 + 10(0 + 10 = -1. Deste modo, i é um número complexo cujo quadrado é — 1. Veja, agora, como você pode obter o produto de a + bi por a, + bf: (a + bi) (aj + fcjO = aa\ + ab\i + ba^i + bb\i = aa\ + ab\i + ba^i — bb i = (aa, - bb\) + (ab l + a,í>) i. Dizemos que z = a + bi é um número complexo real se b = 0; se a = 0 e b =£ 0, diremos que z é um número complexo puro. Por razões óbvias identificaremos o complexo real a + 0i com o número real a : a + 0i = a. Deste modo, podemos olhar IR como subconjunto de C. Deixamos como exercício verificar que a tema (C, +, •) é um corpo, isto é, qualquer que sejam os complexos Z \, Z 2 > 23 tem-se: ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO Al) (Z! + z 2 ) + Zt, = Z] + (Z 2 + 23 ) Ml) (Z]Z 2 ) z 3 = Zj (z 2 z 3 ) A2) z\ + z 2 = z 2 + Z) M2) z\Z 2 = Z 2 Z 1 A3) Vz e C, z + 0 = z M3) Vz e C, 1 • z = z A4) Para todo z em C, existe um único w M4) Para todo z#0,zeC, em € tal z + vv = 0. Tal w é 0 oposto existe um único w em C de z e indica-se por — z. tal que z • w = 1. Tal w é 0 inverso de z e indica-se -1 1 porz ou —. z D) z x (z 2 + z 3 ) = Z { Z 2 + Z 1 Z 3 Os números complexos são representados geometricamente pelos pontos de um plano: o número complexo z = a + ibé representado pelo ponto (a, b). 80 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 1 eixo dos complexos puros b -z 01 a eixo dos reais É comum referir-se ao ponto (a, b) como o afixo do complexo z = a + ib. Seja z = a + ib. O número complexo z = a — ib denomina-se conjugado de z. O módu¬ lo de zé definido por Seja o número complexo z = a + ib e tomemos 0 de modo que a = Izl cos 6 e b = Izl sen 6. Assim z = Izl (cos 6 + i sen 0), que é a expressão de z na forma polar. a Equações Diferenciais Lineares de l.“e 2.“ Ordens, com Coeficientes Constantes 81 O número 9 denomina-se um argumento de z. Observe que sendo 9 um argumento de z, qualquer outro será da forma 9 + 2kv, k £ Z. EXEMPLO 1. Determine o inverso, o conjugado e o módulo do complexo z = 5 + 3i. Solução 1 _ 1 _ 5-3/ _ 5 — 3t _ 5_3_ . z ~ 5 + 37 ~ (5 + 3/) (5 - 3/) ~ 25 + 9 ~~ 34 34 Assim, O conjugado de z é: O módulo de z é: ou seja, 1 _ = 5 + 3/ 34 z = (5 + 3/) = 5 — 3/. Iz I = ~Jz ' z ~ ^5 2 + 3 2 I z I = V34. EXEMPLO 2. Seja z um complexo qualquer. Prove z = z o z é real. Solução Seja z = a + ib. Temos z = z => a — ib = a + ib => 2bi = 0 o b = 0. Assim, se z = z, então z = a que é real. Reciprocamente, z real »z = a + 0 -/-»z = z. ■ EXEMPLO 3. Suponha a > 0, a real. Prove Solução z 2 + a = 0< : >z = /Vã ou z = — /Vã. Z 2 + a = (z + i4ã ) (z - /Vã). Assim, z 2 +a = 0<^z + i4ã = 0 ou z - i4a = 0. 82 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou seja, Ou ainda + a = 0t>z = — iyfã ou z = i4a. z 2 + a = 0 o z 2 = - a z 2 = ai 2 o z = ± i4ã. m EXEMPLO 4. Considere a equação az 2 + bz + c = 0, onde a # 0, be c são reais dados. Suponha A = b 2 — 4ac < 0. Prove az 2 +bz + c = 0<*>z = — b± iVl AI Solução az 2 +bz + c = 0*>z 2 + — z + — = 0 . a a Somando — T aos dois membros da última equação vem 4 a L 2 b b 2 b 2 c z + - Z+ 7T = 7T- a 4 a L 4ít a í. , b \ 2 - h 2 ~ 4ac { 2a) 4a 2 ( z + Jl \ 2 = 'A^. I 2a) 4 a 2 ou seja, . b . íVTÃT z + — = ± —-— 2a 2a b ± (Vl AI EXEMPLO 5. Resolva x 2 + 2x + 2 = 0. Solução ou seja, _ — 2 ± yf—4 _ — 2 ± ('V4 _ — 2 ±2i X 2 2 2 jc = - 1 ± i Equações Diferenciais Lineares de 1° e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 83 Exercícios 5.3 1. Calcule a e b. a) (1 + i ) 3 = a + bi 2 c) - = a + bi 3 + i e) (i - l ) 4 = a + bi b) (2 + 31) 2 = a+bi i d) f) 2 -i d + O 2 = a + bi h) (1 - O 2 2 + i = a + bi 3 -i = a + bi 2 . Resolva as equações. a) z 2 + 1 = 0 c) A 2 + 2A + 2 = 0 2 2 e) A + w =0, onde w # 0 é um real dado f) A 2 + 4 = 0 A) A 2 + 5 = 0 /) A 2 - 4 = 0 fe) A 2 + A + 1 — 0 d) z 2 + 2z + 3 = 0 g) A 2 + A + 2 = 0 0 z 2 + 2 = 0 /) A 2 - 4A + 5 = 0 3. Sejam zew dois complexos quaisquer. Verifique que a) z = z b) z ■ w = z ■ w (o con jugado de um produto é igual ao produto dos con jugados) c) z + w = z + w (o con jugado de uma soma é igual à soma dos con jugados) 5 . 4 . Solução Geral da Equaçao Homogênea no Caso em que as Raízes da Equaçao Característica Sao Números Complexos Vamos estudar inicialmente a equação © d 2 x ~dt 2 + w 2 x = 0 onde ca ¥= 0 é um real dado. A equação característica de 0 é y + a> = 0, cujas raízes são os números complexos toi e —cai; deste modo, o que aprendemos na Seção 4.2 não se apli¬ ca (no Apêndice 1 veremos como dar um tratamento único à equação homogênea —y- + b ~ + cx = 0 , quer as raízes da equação característica sejam reais ou complexas). ~dt l dt Observamos que uma função x = x(f), t £ IR, será solução de © se e somente se, para todo r, © x"(t) = -to 2 x(t). 84 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Como as funções sen ojt e cos ojt satisfazem @, segue que x = sen cot e x = cos cot são solu¬ ções de ©. Deixamos a cargo do leitor verificar que, quaisquer que sejam os reais AeB, (D x = A cos cot + B sen cot será, também, solução de ©. Nosso objetivo a seguir é provar que x = x(t), t E IR, será solução de © se e somente se for da forma Para atingir nosso objetivo, vamos provar primeiro que se x = x (t), t E IR, for solução de © então existirá uma constante k tal que, para todo t, [x'(í)] 2 + w 2 [x (í)] 2 = k. (Esta relação nos diz que, se o movimento de uma partícula na reta for regido pela equação ©, então a soma da energia cinética x(t)f com a energia potencial -«2 cox(t) 2 mantem- se constante durante o movimento.) De fato, sendo x = x (?) solução de ©, para todo t, tem-se x" ( t ) + co L x (t) = 0 . Daí, para todo t, ~ j[x '(?)] 2 4- co 2 [x(r)] 2 J = 2 x'(t)x"(t) + 2co 2 x(t)x'(t) = 2x'(í)[x"(í) + w 2 x(r)] = 0 . 2 2 2 Logo, [x' (?)] + co [x (?)] é constante. Suponhamos, agora, que x = x (t), t E IR, seja uma solução qualquer de ©. Façamos a 0 = x (0) e Òq = x' (0). A função /dada por f(t) = OQ cos cot + — sen cot é solução de co © e, além disso,/(O) = a 0 ef (0) = b 0 . Sendo f(t)ex (?) soluções de ©,/(?) — x (?) também será. Pelo que vimos acima, existirá uma constante k tal que, para todo t, W (/) - x' (?)] 2 + co 2 [f{t)-x{t)] 2 = k. De /(0) = x (0) e/' (0) = x' (0) resulta k = 0. Assim, para todo t, \f' (t) - X' (í )] 2 + co 2 \f(t) - x (í )] 2 = o e, portanto, x ( t ) = /(?), ou seja, x (?) = A cos cot + B sen cot onde A = oqqB bo . Fica provado assim que x = x ( t ), t E IR, será solução de © se e somente se for da forma @. Equações Diferenciais Lineares de l.“e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 85 A solução geral de ^ + 0,^-0 dt 2 onde w#0é um real dado, é x = A cos oit + B sen wt (A, B G IR) EXEMPLO 1. Resolva a equação d^x -y + 4x = 0 . dt 2 Solução As raízes da equação característica A 2 + 4 = 0 são 2 i e — 2 i. A solução geral é x = A cos 2t + B sen 2 1. As notações x e x (devidas a Newton) são freqüentemente usadas, em física, para indicar, respectivamente, as derivadas de 1 , a e 2. a ordens de x em relação ao tempo t : x = — e x = Nos próximos exemplos utilizaremos tais notações. ■ dt dt 1 EXEMPLO 2. O movimento de uma partícula sobre o eixo x é regido pela equação mx + kx = 0 onde m > 0 e k > 0 são constantes reais dadas. Descreva o movimento. Solução A equação é equivalente a 2 x + to x — 0 2 k onde oi — —. A solução geral é m x = A cos cot + B sen wt. 86 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Tomando-se

e B = J A 2 + B 2 sen q> resulta = yjA 2 + fi 2 [cos

r + sen

) Trata-se, então, de um movimento harmônico simples de amplitude v A 2 + B 2 . m Observação: Dizemos que uma partícula que se desloca sobre o eixo x descreve um movi¬ mento harmônico simples (MHS) se a equação horária for do tipo x = a cos (cot + ç^). Os números a, coe çq denominam-se, respectivamente, amplitude, pulsação e fase inicial do movimento. Vejamos, agora, qual é a solução geral de x + bx + cx = 0 no caso em que as raízes da equação característica são números complexos. Se as raízes da — b ± Và equação característica fossem reais e distintas, À = ---, a solução geral seria, como já vimos, (-fc + VÃ) t (-b-fK) ' x = Ae 2 + Be 2 x = e b 2 t Và Và Ae 2 1 + Be 2 ou Equações Diferenciais Lineares de l.“e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 87 Và f -Và Observe que Ae 2 + Be 2 (A > 0) é a solução geral de x — — * = 0. (Verifique.) Provaremos a seguir que se as raízes da equação característica forem números complexos (A < 0) a solução geral será ~t VTÃTT „ VTÃT x = e 2 A cos- t + B sen - t 2 2 Teorema. Seja a equação (b e c reais dados) x + bx + cx = 0 e suponha que as raízes da equação característica + bk + c = 0 sejam complexas = a ± fii onde a = — y e (3 = —■ Então a solução geral de © será x = e at [A cos /3 1 + B sen fit] (A, B E IR). Demonstração Sejam/e g definidas em IR e tais que, para todo t, _b_ f(t) = e 2 ‘ g( t ). Vamos mostrar que/será solução de © se, e somente se, g for solução de De fato, se / for solução de © teremos, para todo t, fit) + bf(t) + cf(t) = 0 b i a _b 1 1 r b e 2 g(t) +b e 2 g(t) + c e 2 g(t) = 0. 88 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Como _b_ e 2 £©| h -- -- = ~2 e2 8 ^ + e 2 8 ^ e 2 g(t) b 2 ~t b — t = + — e 2 g(t)-be 2 g'(t) + e 2 g"(t). substituindo em (8) e simplificando resulta b - t e 2 b 2 g"(t) + \c-— \ g(t) = 0. Como A = b 2 — 4ac, segue que *" ( ' ) + (~T") g(í) = 0 e, portanto, g é solução de ©. Deixamos a seu cargo verificar se g for solução de © então / será solução de ©. Sendo g solução de © g (t) = A cos (3t + B sen fit - A onde /3 = J . Segue, então, que b — t f(t) = e 2 [A cos fit + B sen /3t] e fazendo a =-, resulta 2 f(t) = e a, [A cos (3t + B sen /3 1). ■ EXEMPLO 3. Considere a equação x + 2x + 2x = 0. a) Ache a solução geral. b) Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais x (0) = 0 e x (0) = 1. Solução a) A 2 + 2A + 2 = 0 A = ~ 2± . € ±, Assim , A = — 1 ± i(a = - l,P = 1). Equações Diferenciais Lineares de 1° e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 89 A seguir, vamos destacar, num quadro, os resultados obtidos nesta seção e na 5.2. Seja a equação x + bx + cx = 0 (b e c reais dados) e sejam Aj, À 2 as raízes da equação característica. (I) Se À] # À 2 , À] e À 2 reais, a solução geral será x = A 0) e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por ♦ —cxi (c > 0). Determine a equação que rege o movimento e discuta as soluções. Solução Pela lei de Newton mx = — kx — cx ou seja, mx + cx + kx = 0 que é a equação que rege o movimento. Esta equação é equivalente a ® x + 2yx + ( 0 2 x = 0 onde y = e co 2 = —. As raízes da equação característica são: À = — y ± Jy 2 — a> 2 . 2 m m l.° caso. Movimento oscilatório amortecido ou subcrítico (y 2 < W 2 ). Sendo y 2 < w 2 , as raízes da equação característica serão complexas, À = — y ± wi , onde cõ = tJ co 2 — y 2 .A solução geral de ® será x = e y* [A cos cot + B sen cot] e, portanto, x = Ke -71 cos (cõt — cp) onde K = ^A 2 + B 2 e (pé tal que A = K cos

w 2 ) Sendo y 2 > w 2 as raízes da equação característica serão reais e distintas, À = — y ± fl, onde fí = -Jy 2 — w 2 . A solução geral será x = e~ 71 [Ae a '+ Be~ a ']. Equações Diferenciais Lineares de l.“e 2.“ Ordens, com Coeficientes Constantes 91 A figura a seguir mostra o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais x (0) = x 0 (*0 > 0 ) e x ( 0 ) = 0 . Note que, nos casos 2 e 3, o amortecimento é suficientemente grande de modo a não permi¬ tir oscilação da partícula em tomo da posição de equilíbrio (jc = 0). ■ Exercícios 5.4 ... ____ 1. Resolva a equação d 2 3 4 x <±t a) — 7 - + 2-1- 5x = 0 dt 2 dt c)x+x+x = 0 e) x + 9x = 0 g) y~ 4y + 4y = 0 i) y + 6y + lOy = 0 t) y — 6y + 5y = 0 ri) y + 4y = 0 p) y + ay = 0 , onde a > 0 é uma constante, r) y - 2 j- + 6y = 0 b) x + 5x = 0 d 2 x d) dt 2 -5x = 0 f)y - 2 y + 2 y = 0 dt 2 dt .. d y , dy ;)— + — + 3 >> = ° dt 2 dt m) x - 6x + 9x = 0 o) y + 3y + 3y = 0 q) y + ay = 0 , onde a < 0 é uma constante. s) x + 8 i + 20x = 0 2. Determine a solução do problema. a) x + 4x = 0, x(0) = 0 e jc(O) = 1. b) x + 2x + 2x = 0, x(0) = — 1 e i(0) = 0. c) x + x + 2x = 0, x(0) = 1 e x (0) = 1 d) x + x = 0, x(0) = — 1 e i(0) = 2 3. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica —4x i . Supondo x (0) = 1 e x (0) = — 1, determine a velocidade no instante t. 4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma forçaelástica —2x i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por — 2x i. Determine a equa¬ ção horária do movimento supondo x (0) = 0 e x (0) = 1. 92 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 5. fé uma função definida em R tal que sua derivada segunda é igual à diferença entre sua deriva¬ da primeira e ela própria. Determine /sabendo, ainda, que/(O) = 0 e/' (0) = 1. 6. Um móvel desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e aposição. Determine aposição* = x (t) do móvel, supondo x(0) = 2, x(0) = 1 e x(0) = 0. 7. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo * sob a ação de uma força elástica —* i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por — cx i ( c > 0). Deter¬ mine c para que o movimento seja a) fortemente amortecido. b) criticamente amortecido. c) oscilatório amortecido. 5.5. Equações Diferenciais Lineares, Não-homogêneas, de 2. a Ordem, com Coeficientes Constantes Consideremos a equação linear, de 2. a ordem, com coeficientes constantes ~ d 2 x dx © ~y + t> — + cx = f(t) dt 1 dt onde fé suposta definida e contínua num intervalo I. Se /não for identicamente nula em /, diremos que © é não-homogênea. Diremos, ainda, que d 2 x dt 2 4- cx = 0 é a equação homogênea associada a ©. Mostraremos, a seguir, que se x p = x p (t), t E 1, for uma solução particular de ©, então a solução geral de © será x = x h +x p onde x h é a solução geral da homogênea associada a ©. De fato, sendo x p = x p (f), t E /, solução de ©, para todo t E /, x p (t) + bx p (t) + cx p ( t) = f(t). Supondo que * = * (t), t E /, seja outra solução qualquer de ©, resulta que * (f) - x p ( t ) é solução da homogênea @, pois, para todo t E /, ~^2 “ x p ©] + b MO - x p (r)] + C [x(0 - Xp (í)] = MO + MO + MO] ~ l x P (t) + bxp(t) + cx p (t)]= f(t) - f(t) = 0. Por outro lado, se * = * (í), t E /, for tal que * (r) — x p ( t ) é solução da homogênea, então x = x(t) será solução de © (verifique). Segue que a solução geral de ©é x = x h + X P onde x h é a solução geral da homogênea (H) e x p uma solução particular de ©. Equações Diferenciais Lineares de 1“ e 2.“ Ordens, com Coeficientes Constantes 93 Conclusão A solução geral de x + bx + cx = f(t) é x = x h+ x p onde x p é uma solução particular da equação dada e x h a solução geral da homogênea associada. Determinar a solução geral da homogênea associada já sabemos. O problema, agora, é como determinar uma solução particular. Os exemplos que apresentaremos a seguir mostram como determinar, em alguns casos, uma solução particular através de uma “escolha criteriosa”. No final desta seção você encontrará uma tabela que o ajudará nesta “escolha criteriosa”. EXEMPLO 1. Determine a solução geral de d 2 x dt 2 2x = t. Solução A homogênea associada é d 2 x " ~dt 2 + 3 — + 2x = 0 dt e a solução geral x h = Ae 2l + Be 1 (verifique). Vamos, agora, procurar uma solução par¬ ticular da equação dada. Tentaremos uma solução do tipo x p = m + nt onde me n são coeficientes a determinar. Você acha natural tal escolha? Por quê? O que precisamos fazer, agora, é substituir esta função na equação e determinar me n para que se tenha uma identidade. (m + nt)" + 3 (m + nt)' + 2 (m + nt) = t ou 3n + 2 m + 2 nt = t. Devemos ter então 3 n + 2m = 0 2n = 1 94 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 1 3 ou seja, n= - em---- Deste modo, 3 1 x p = - — + — t p 4 2 é uma solução particular da equação. A solução geral será 3 1 x = Ae~ 2 ' + Be~‘ -)- t. 4 2 EXEMPLO 2. Considere a equação x + 3x + 2x = 1. á) Olhando para a equação, “chute” uma solução particular. b) Ache a solução geral. Solução a) A função constante x (t) = — é uma solução particular (verifique). b ) A solução geral da homogênea associada é Xfr = Ae + Be ’. Segue que a solução geral da equação dada é x Ae 2t + Be 1 EXEMPLO 3. Considere a equação f± + 4 *L + 4x = e *. dt 2 dt a) Determine uma solução particular. b) Ache a solução geral. Solução á) Nada mais natural do que tentar uma solução particular do tipo 3í x p = me onde m é um coeficiente a determinar. Você acha que é realmente natural esta escolha? Por quê? Devemos determinar m de modo que, para todo t, (me 31 )" + 4 (me 31 )' + 4 ( me 3t ) = e 3t Equações Diferenciais Lineares de l. a e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 95 ou (9 m + 12 m + 4m) e 3r = e 2t ou 25 me 2 ' = e 3 '. Devemos ter, então, 25m = 1 ou m = —. Assim, x D = — e p 25 3r é uma solução particular. b ) A solução geral da homogênea associada é x h = Ae 21 + Bte 2l . Segue que a solução geral da equação dada é x =Ae 2t + Bte~ 2 ' + — e 3r 25 EXEMPLO 4. Ache a solução geral de x + 4x + 4x = sen 2 1. Solução Vamos tentar uma solução particular do tipo x p = m cos 2 1 + n sen 2 1. Devemos determinar wende modo que, para todo t. [m cos 2 1 + n sen 2r]" + 4 [m cos 2 1 + n sen 2í]' + 4 [m cos 2 1 + n sen 2í] = sen 2 1 ou — 8 m sen 2 1 + 8n cos 2 1 = sen 2 1. Devemos ter, então, — 8 m = 1 e 8n = 0, ou seja, m - -e« = 0. 8 1 o, — cos 2 1 8 96 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 é uma solução particular. Como x h = Ae 2t + Bte 2t é a solução geral é a solução geral O quadro que sos:/(?) = P(t), da homogênea associada, segue que x = Áe~ 2í + Bte~ 2 ' — — cos 2t 8 da equação dada. ■ apresentamos a seguir mostra como escolher a solução particular nos ca- P polinómio, f(t) = üq e at ou f(t) = a 0 cos at. x + bx + cx = f(t) /(O Solução particular at a 0 e 1. Se a não é raiz da equação característica, x p = me*. 2. Se a é raiz simples, x p = mte°“. 3. Se a é raiz dupla, x p = mt 2 e at . p(D 1. Se c # 0,x p = P l (t) onde P l é um polinómio de mesmo grau que P. 2. Se c = 0 e b + 0, x p = tP\ (í). a 0 cos at 1. Se b =£ 0, x p = m cos at + n sen at. 2. Se b = 0 e se cos at não for solução da homogênea, x = m cos at. 3. Se b = 0 e se cos at for solução da homogênea, x p = mt cos at + nt sen at. (Ressonância.) Observação: Se f(t) = a 0 sen procede-se como no caso,/(í) = a 0 cos at - EXEMPLO 5. Resolva a equação x + 3x + 2x = e 1 . Solução A solução geral da homogênea associada é x h = Ae '+ Be 2t . Como e 1 é solução da homogênea, a escolha x p = me * não resolve o problema, pois, qual¬ quer que seja m, (me ')" + 3 (me ')' + 2 (me ') = 0. Equações Diferenciais Lineares de l.“e 2.“ Ordens, com Coeficientes Constantes 97 Como — 1 é raiz simples da equação característica da homogênea, a equação admitirá uma solução particular do tipo Xp = mte 1 (veja quadro anterior). Devemos determinar m de modo que, para todo t, (mte ')" + 3 ( mte ')’+ 2 (mte ') = e~‘ ou (após derivar e simplificar) me r = e ' logo, m = 1 . Segue que x p = te~ r é uma solução particular. A solução geral da equação dada é x = Ae~‘ 4- Be~ 2t 4- te~ l . m EXEMPLO 6. Determine a solução geral de x + 4x = cos t. Solução Vamos tentar uma solução particular do tipo Xp = m cos t. Esta escolha é motivada pelo fato de que derivando-se duas vezes o cosseno volta-se ao cosseno. (m cos t)" 4-4 m cos t = cos t ou 3 m cos t = cos t logo, m dada é . Assim, Xp — ^ cos t é uma solução particular. A solução geral da equação x = A cos 2t 4- B sen 2 1 4- 1 — cos t. m 3 EXEMPLO 7. Resolva a equação x + 4x = sen 2 1. 98 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução A solução geral da homogênea x + 4x = 0 é x h = A cos 21 + B sen 2 1. Como sen 2 1 é uma solução da homogênea associada, não adianta tentar solução particular do tipo x p = m sen 2?, pois, substituindo tal função na equação dada, o 1,° membro se anula e o 2.° não. Tenta-se, então, neste caso, solução particular do tipo @ x p = mt sen 2 1 + nt cos 2 1. Temos: (m?sen2? + ntcos2t)' = msei\2t + 2mtcos2t + ncos2? — 2n?sen2? (3) (mt sen 2 1 -I- nt cos 2t)" = 4m cos 2 1 — 4n sen 2 1 — 4 mt sen 2 1 — 4nt cos 2 1 Substituindo @ e (3) na equação dada e simplificando, vem: 4 m cos 2 1 — 4n sen 2 1 = sen 2 1 e, portanto, m = 0 e n - -Assim, x n = - t cos 2 1 é uma solução particular. A solu- 4^4 ção geral é, então, x = A cos 2t + B sen 2 1 — — t cos 2 1 . (Suponha que o movimento de 4 uma partícula que se desloca sobre o eixo x é regido pela equação deste exemplo; descreva o movimento.) Observação: Na determinação de uma solução particular, em geral, estão envolvidos mui¬ tos cálculos; por este motivo é sempre bom verificar se a solução particular encontrada é realmente solução particular. Por exemplo, x p = — t cos 2 1 é realmente uma solução par¬ ticular de x + 4x = sen 2 1, pois, ( —— t cos 2?^ + 4 ( —— t cos 2A = (— — cos 2t + — t sen 2?^ — t cos 2 1 = l 4 ) { 4 ) \ 4 2 ) = (— sen 2 1 + — sen 2 1 + t rns 2?^ — t , — sen 2t -I— sen 2 1 + t cos 2 1 12 2 ) cos 2 1 = sen 2 1. EXEMPLO 8. (Princípio de superposição.) Considere a equação © x + bx + cx = fi(t) + f 2 (t) onde/] (?) e/ 2 (?) são funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo I. Mostre que se Xj = xj (?), ? £ I, for uma solução particular de © x + bx + cx = f\ (?) Equações Diferenciais Lineares de 1.“ e 2° Ordens, com Coeficientes Constantes 99 e se x 2 = x 2 (?), t £ /, uma solução particular de © x + bx + cx = f 2 (?) então x p = x\ ( t ) + x 2 (?) será uma solução particular de Solução Sendo x l = x l ( t ) e x 2 = x 2 ( t ) soluções particulares de © e ©, respectivamente, tere¬ mos, para todo (E/, x\ ( t ) + bx x ( t ) + cx\ (?) = f\ (?) e x 2 (?) + bx 2 (?) + cx 2 (?) = h ( t) e daí, somando membro a membro, resulta [*, (?) + x 2 (?)]" + b [x, (?) + x 2 (?)]' + c [xj (?) + x 2 (?)] =/, (?) +/ 2 (?). Logo, = jc, (?) + (?) é uma solução particular da Equação ©. ■ EXEMPLO 9. Resolva a equação x + 4x = e‘ + sen 2?. Solução x\ = y é uma solução particular de x + 4x = e'. (Verifique.) Pelo Exemplo l,x 2 = — ^ t cos 2? é uma solução particular de x + 4x = sen 2?. Pelo princípio de superposição 1 , 1 — e‘ -? cos 2? é uma solução particular da equação dada. Então, a solução geral da equação dada é x = A cos 2 1 + B sen 2 1 + — e r -? cos 2?. 5 4 100 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Exercícios 5.5 1. Determine a solução geral. —--3x = cos 3 1 dt 2 d 2 x dx , —--2 — + x = 5e dt 2 dt d 2 x dx —— + 2 — + 2x = 4 dt 2 dt g) x + x = 2 sen t b) x + 4x + 4x = 2t + 1 d) x + 4x + 3x = 8e f) y+ 2y =4 h) fl- 3 0L +2y ,? i) —f - 3 — -V dt 2 dt 1) x + 2x + x = cos 2 1 rí) x — 4x = e 2r p) x — 2x = sen 3r r) x - 2x = e 2 ' j) x + 9x = sen t + 2 cos t m) x + 9x = sen 3f o) x — 4x = 8 cos t q) x — 2x = e ! s) x — 2x = 5 2. Resolva a equação x + aix = sen wt, onde w + 0 é um real dado. (Ressonância) 3. Determine a solução do problema a) x + 4x = cos /, x (0) = 1 e x (0) = — 1. b) x + 6x +9x = e~ 3 ‘, x (0) = 0 e x (0) = 1. c) x + 4x= cos 2 1, x (0) = 0 e x (0) = 0. d) x + 4x = 5e 3 ', x (0) = 0 e x (0) = 0. 4. Determine uma solução particular de x + 2yx + (Oq x = b sen wt onde y, wq, be w são constantes não-nulas dadas. 5. Resolva a equação x + WqX = b sen wt onde (t)Q, b e w são constantes não-nulas dadas. 6 Os Espaços IR " 6.1. Introdução o Nosso objetivo, neste capítulo, é introduzir no R os conceitos de norma e de conjun¬ to aberto , que generalizam os conceitos de módulo e de intervalo aberto, e que serão fundamentais em tudo o que veremos a seguir. O símbolo R 2 está sendo usado aqui para indicar o conjunto de todos os pares ordenados de números reais: R 2 = {(jc, y) I x, y reais}. Para as interpretações geométricas e físicas será muito útil pensar um par ordenado (x, y) como um vetor do plano. Para isto, fixaremos no plano um sistema ortogonal de coordena¬ das cartesianas (o habitual) e identificaremos, então, o par (x, y) com o vetor OP, onde O é a origem do sistema ePo ponto de coordenadas (x, y). Esta identificação nos sugerirá como somar pares ordenados e como multiplicar um par ordenado por um escalar a partir das operações sobre vetores, que suporemos conhecidas. O leitor não terá dificuldade alguma em generalizar os conceitos deste capítulo para o R", n s* 3, onde R” indica o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (xj, xj, ..., x n ) de números reais. 6.2.0 Espaço Vetorial IR 2 Identificando (x, y) com o vetor OP e indicando por i e j os vetores associados, respectivamente, a (1,0) e (0, 1) resulta da teoria dos vetores que OP = xi + yj 102 UmCursode Cálculo — Vol.2 É imediato que se À é um escalar, isto é, um número real, então, À OP = 0P\, onde Py é o ponto de coordenadas (A*, A}’)- Por outro lado, se OQ é o vetor associado a (s, t) e se OR = OP + OQ, então OR é o vetor associado a (x + s, y + t) (verifique). Tudo isto sugere-nos a seguinte definição. o Definição. Sejam (x, y) e (s, t) dois elementos quaisquer do IR e À um real qualquer. Definimos: a) (x + s, y + t) é a soma de ( x, y) com ( s, t)\ ( x, y) + (s , t) = (x + s, y + t). b) (Ax, A>’) é o produto de (x, y) pelo escalar A: A (x, y) = (Ax, A y). c) (x,y) + (—1) (s, í)éa diferença entre (x, y) e ( 5 , t): (x, y) - (s, r) = (x, >>) + (-1) (s, t). d) (x, y) = (s, t) <=> x = s e y = t. As seguintes propriedades são de imediata verificação: quaisquer que sejam (x, >’), (s, t) e (u, v) em IR 2 e quaisquer que sejam as escalares ae /8 tem-se: Al) [(x, y) + (s, r)] + (u, v) = (x, y) + [(í, t) + («, v)] A2) (x, y) + (s, t) = (j, r) + (x, y) A3) (x, y) + (0, 0) =(x,y) A4) (x, y) + (—1) (x, y) = (0, 0) Ml)a[/3(x,>-)] = afi(x,y) M2) a [(x, y ) + (s, r)] = a (x, y) + a (s, t) M3) [a + p] (x, y) = a (x, y) + P (x, y) M4) 1 • (x, y) = (x, j). Observação. Uma estrutura de espaço vetorial sobre um conjunto não-vazio V fica deter¬ minada quando se definem em V duas operações, uma de adição e outra de multiplicação de um elemento de Vpor um escalar, satisfazendo as oito propriedades acima listadas. As operações anteriormente definidas determinam, então, sobre o IR 2 uma estrutura de espaço vetorial real; seus elementos podem, então, ser chamados de vetores. 6.3. Produto Escalar. Perpendicularismo Definição 1. O número üya 2 + byb 2 denomina-se produto escalar dos vetores (aj, bQ e (a 2 , b 2 ) e indica-se por (ay, b x ) ■ (a 2 , b 2 ). Assim, (ay, by) ■ (a 2 , b 2 ) = a { a 2 + byb 2 . EXEMPLO 1. O produto escalar dos vetores (2, 3) e (1, 5) é (2,3) • (1,5) = 2 • 1 + 3 • 5 = 17. Observe que o produto escalar de dois vetores é um número. Os Espaços IR" 103 Sejam os vetores u = (a\, b\), v = (a 2 , b 2 )e w = (a 3 , b 2 ) e seja À um escalar; são de verificação imediata as seguintes propriedades do produto escalar: (i) u • v = v • u ( comutativa ) (ii) [m + v]-w = m- w+ v- w ( distributiva ) (iii) (À u) ■ v =  (u • w) = u -(A v). (iv) u ■ u 3= 0; u ■ u = 0 u = (0,0). Estamos interessados, a seguir, em definir perpendicularismo ou ortogonalismo entre vetores do IR . Consideremos os vetores u = ( b 2 ). Vamos olhar estes dois vetores aplicados no ponto P = ( x, y) do plano. A e B são extremidades de u e v , respectivamente. Temos OA - OP + u = (x, y) + (aj, b x ) = (x + a x , y + b x ) e OB = OP + v = ( x, y) + (a 2 , b 2 ) = (x + a 2 , y 4- b 2 ). Assim, A = (x + aj, y + fcj) e B = (x + a 2 , y 4- b 2 ). Vamos, agora, aplicar a lei dos cossenos ao triângulo APB para determinar cos 6. Te¬ mos AB 2 = AP 2 + PB 2 - 2 AP ■ PB cos 6 onde AB é a distância de A a B, AP de A a P e PB de P a B. Como AB = yj(a 2 - ai) 2 + (b2 - bi) 2 , AP = + b? 104 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e Daí, os vetores u = (a i ,b i )e v = (a 2 , b 2 ) serão perpendiculares se e somente se o produto escalar de (a ( , £>|)com (a 2 , b 2 ) for nulo. Nada mais natural, então, do que a seguinte definição. Definição 2. Dizemos que os vetores (aj, b\) e (a 2 , b 2 ) são perpendiculares ou ortogonais se ( a x , b x ) ■ (a 2 , b 2 ) = 0. Vejamos como fica, em notação de produto escalar, a equação da reta r que passa pelo pon¬ to Pq = (xq, >’q) e que é perpendicular à direção do vetor n = (a, b) + (0, 0). Vamos olhar n como um vetor aplicado no ponto Pq = (x 0 , y 0 ). O ponto P = ( x , y) pertence à reta r se e somente se o vetor P — P 0 for perpendicular a n = (a, b). Assim, a equação da reta que passa pelo ponto Pq = (x 0 , >’o) e é perpendicular à direção do vetor n = (a, b) é n ■ (P - P 0 ) = 0 ou seja, (a, b) ■ [(x, y) - (xq, ;y 0 )] = 0 . De (x, y) — (x 0 , >’q) = (x — xq, y ~ >’q), segue que a equação acima é equivalente a ax + by = c Os Espaços IR" 105 com c = axfj + by>Q. E n = (a, b) é um vetor perpendicular à tal reta. EXEMPLO 2. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que é perpendicu¬ lar à direção do vetor n =(—1,3). Solução A equação da reta é n ■ [P ~ />(,] = 0 onde n = (— 1, 3), P = (x, y) e P 0 = (1, 2). Assim, a equação da reta é (—1, 3) • [(x, y) — (1, 2)] = 0 ou — (x— 1) + 3 (>» — 2) = 0 ou ainda —x + 3y — 5 = 0. ■ Consideremos, agora, o vetor v = (m, n), com (m, n) + (0,0), aplicado no ponto Pq = (jq-,, >’q). Na figura seguinte, representamos a reta r que passa pelo ponto P 0 = (x 0 , y 0 ) e que tem a direção do vetor v = ( m, n). Por semelhança de triângulos, para todo P = (x, y) na reta r, existe t tal que I x — xq = tm y - yo = tn. Pois bem, X = Xq + tm y = y 0 + tn 106 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P 0 = (x 0 , y 0 ) e é paralela à di¬ reção do vetor v = ( m, n). Em notação vetorial, esta reta pode ser expressa na forma (x,y) = (3, — 1) + t(2, -3),/G U. m EXEMPLO 3. Determine a equação, na forma vetorial, da reta que passa pelo ponto (3,-1) e que é perpendicular à reta 2x — 3y = 7. Solução n = (2, — 3) é perpendicular à reta 2x — 3y = 7. O que queremos, então, é a reta que passa pelo ponto (3, — 1) e que seja paralela ao vetor (2, —3). Assim, a equação da reta pedida é (x, y) = (3, -1) + t( 2, -3), t £ R. 3 2 No IR , os conceitos de produto escalar e de ortogonalismo são análogos aos do IR : (q, b x , Cj) • (a 2 , b 2 , c 2 ) = a x a 2 + b x b 2 + qc 2 . (q, b x , q) 1 (a 2 , b 2 , c 2 ) <*> {a x , b x , q) • (a 2 , b 2 , c 2 ) = 0. No espaço, a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (x 0 , y 0 , j 0 ) e que é paralela à direção do vetor v = (a, b, c) + (0,0,0) é U y, z ) = (xq, y 0 , zq) + t (a, b, c), t £ IR. A equação do plano que passa pelo ponto Pq = (x 0 , y 0 , Zq) e que é perpendicular à direção do vetor n = (a, b, c ) + (0, 0, 0) é (a, b, c) ■ [(x, y, z) ~ (x 0 , y 0 , Zq)] = 0 ou n • (P — P 0 ) = 0. Observe que o plano de equação ax + by + cz = d é perpendicular à direção do vetor n = (a, b, c). ■ Exercícios 6.3 - ~ -: : 1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à direção do vetor v = (-1. D- 2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, — 1) e que é perpendicular à reta 2x + y = 1. Os Espaços IR" 107 3. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2. 4. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto ^ —, 1 j e que seja paralela à reta 3x + 2y = 2. 5. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. a) x — 2y = 3 b) x + y = 1 c)2x - 5y = 4 d) x + 2y = 3 6. Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada. a) 2x + y = 1 b) 3x — y = 3 c)x + 3y = 2 d) 2x - 3y = 1. 7. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à reta dada. a) (2, -5) ex - y = 1 b) (1, -2) e 2x + y = 3. 8. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. a) (1, 2) e 2x + y = 3 b) (2, — 2) e x + 3y = 1. 9. Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à direção do vetor n dado. a) (1, 1, 1) e n = (2, 1,3) b) (2, 1, — 1) e n = (-2, 1,2) 10. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado. a) (0, 1, — 1) e x + 2y — z = 3 b) (2, 1,-1) e 2x + y + 3z = 1 11. Sejam u = (a i ,b l ,c l )e v = (a 2 , ^2’ c 2^ ^°' s vetore s d° R . Definimos o produto vetorial de u por v , que se indica u A v, por u a v = i j k a\ b { ci üi ^2 ^2 = ( b x c 2 - c,ò 2 ) i + (a 2 c i - a { c 2 ) j + (a x b 2 - í^l) k onde i =(1,0,0), j = (0, 1,0) e k = (0, 0, 1). Verifique que a) u A v = — v A u. b) íAvé ortogonal a u e a v . c) mA(v+w)=mAv + wAiv, onde w = (a 2 , b 2 , cj) d) (u + v) A w = «Aw + í> A w 12. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,2, — 1) e que seja perpendicular às direções dos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, —2, 1). 13. Determine um vetor não-nulo que seja ortogonal aos vetores u e v dados. 108 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) u = (1,2, —1) e v = (2, 1,2) b) u = (3,2, —1) e v = (-1,2,1) 14. Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja paralelo aos vetores u e v dados. a) (1,2,1), u = (—1, l,2)e v = (2,1,-1) b) (0,1,2), u = (2, — 1, 3) e v =(1,1,1) 15. Sejam dados u = (í II u + v II 2 - II u II 2 + II v II 2 . 8. Seja u um vetor qualquer do R". Prove que s eu- v = 0, para todo v G R", então u = 0 . 9. Sejam u , v, w vetores do R" tais que w = a u + /3 v , com a e /3 reais. Suponha u e v unitários (II m II = 1 e II v II = 1) e ortogonais. Prove que a = u ■ w e ji ~ v ■ w. “* —* 2 10. Sejam u e v vetores do R . Dizemos que u e v são linearmente independentes se, quais¬ quer que sejam os reais a e /3, se a w + /3v =0, então a = /3 = 0. Prove que u = (u ], h 2 ) e v = (V|, v 2 ) são linearmente independentes se e somente se ^ ^ =£ 0. 11. Sejam u , v, w vetores quaisquer do R 2 . Prove que se u e v forem linearmente indepen¬ dentes, então existirão (e serão únicos) reais a e /3 tais que w = a u + /3 v . 12. Sejam u e v dois vetores unitários e ortogonais do R . Prove que u e v são linearmente independentes. “■* 2 * 2 13. Sejam u e v dois vetores unitários e ortogonais do R . Prove que para todo w de R tem- se: w = ( w • u) u + ( w • v ) v . 14. Sejam u , v e w vetores do R 3 . Dizemos que u , v e w são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais a, /3ey, se a u + /3v + yw — 0, então a = /3 = y = 0. Prove que u = (H],h 2 , « 3), v = (vj, v 2 , V3) e w = (W|, w 2 , w 3 ) são linearmente indepen- «1 “2 «3 dentes se e somente se vj v 2 v 3 0. ”1 w 2 w 3 15. Sejam w, v,we r vetores quaisquer do R , com, u, v e w linearmente independentes. Prove que r é combinação linear de u, v e w, isto é, que existem reais a,/3 e y tais que r = a u + /3v + yw. 112 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 16. Sejam u , v e w três vetores unitários quaisquer de IR , sendo dois a dois ortogonais. Prove —* 3 que para todo r do IR tem-se: r =( r ■ u ) u +( r • v) v +( r ■ w ) w. 17. Sejam u e v vetores não-nulos do IR 3 . Mostre que II u A v II = II u IIII v II sen 6, onde 9é o ângulo entre u e v . 18. Prove que quaisquer que sejam u e v em I u A v II s II u IIII v I 6.5. Conjunto Aberto. Ponto de Acumulação 2 Sejam (xq, y 0 ) um ponto do IR e r > 0 um real. O conjunto {(x, y) £ R 2 I II (x, y ) - (x 0 , j 0 ) II < r} denomina-se bola aberta de centro (x 0 , y 0 ) e ra i° r - No plano, a bola aberta de centro (xq, y 0 ) e raio ré o conjunto de todos os pontos “inter¬ nos” ao círculo de centro (x 0 , y 0 ) e ra i° r - Seja A um subconjunto não-vazio de R 2 . Dizemos que (xq, >’q) G Aé um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x 0 , >’q) contida em A. EXEMPLO 1. Seja A = {(x, y) e R 2 I x ^ 0 e y s* 0}. a) Todo (x, y), com x > 0 e y > 0, é ponto interior de A. b) Todo (x, y), com x = 0 ou y = 0, não éponto interior de A. Os Espaços IR" 113 De fato, a) se ( x, y) E A, com x > 0 e y > 0, então a bola aberta de centro (x, y) e raio r = mín {x, >’} está contida em A; logo, (x,y)é ponto interior de A. b) se (x, y) E A, com x = 0 ou y = 0, então (. x , y) não é ponto interior de A, pois A não contém nenhuma bola aberta de centro ( x, y). Definição. Seja A um subconjunto não-vazio de IR . Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior. Observação. Por definição, o conjunto vazio é um conjunto aberto. EXEMPLO 2. Toda bola aberta é um conjunto aberto. Solução Seja B uma bola aberta de centro (x 0 , >' 0 ) e raio r. Precisamos mostrar que todo ponto (xi,y t ) de B é ponto interior. Seja, então, a a distância de (jc 1; jy|) a (x 0 , ^o), isto é, a = II (* 1 ,;y 1 ) - (x 0 ,y 0 ) II. Vamos mostrar que a bola aberta B de centro (jcj, )q) e raio r t , com 0 < rj < r —a, está contida em B. (x, y) E B <» II (x, y) - (x 1? y,) II < r,. 114 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Seja, então, ( x, y) E S; temos ll (*, y) ~ (*o. yo) ll = ll (x, y) - (x b yi) + (x!, yj) - (x 0 , y 0 ) ll ^ II (*,y) - Ui.yi) II + II (*i,Ji) - Uo^o) II < r x + a < r. Logo, (x, y) e B. Portanto, B está contido em B. ■ EXEMPLO 3. 2 a) [R é um conjunto aberto. b) A = {(x, y) E IR 2 I x 2* 0 e y 2* 0} não é aberto. c) A = {(x, y) E IR 2 I x > 0 e y > 0} é aberto. Solução a) Imediato. b) Os pontos (x, y) E A, com x = 0 ou y = 0, não são pontos interiores; logo, A não é aberto. c) Se (x, y) E A, a bola aberta de centro (x, y) e raio r = mín {x, y} está contida em A; logo, A é aberto. ■ 2 2 Definição. Seja A um subconjunto do R e seja (a, b) E R ((a, b) pode pertencer ou não a A). Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a, b ) contiver pelo menos um ponto (x, y) E A, com (x, y) ¥= (a, b). Grosso modo, dizer que (a, b) é ponto de acumulação de A significa dizer que existem pontos de A, distintos de (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira. EXEMPLO 4. Todo (x, y), com x 2 = 0 e y 0, é ponto de acumulação do conjunto A sendo A = {(x, y) E R 2 I x > 0 e y > 0}; o ponto í-i {\ { 2 ' ) não é ponto de acumulação de A, pois existe uma bola aberta de centro [ ——, 1^ que não contém ponto de A. V 2 / EXEMPLO 5. O conjunto A = {(1, 2), ( — 1,0), (1, 3)} não admite ponto de acumulação, pois qualquer que seja o ponto (a, b) de R 2 , existe uma bola aberta de centro (a, b) e raio r que não contém ponto de A distinto de (a, b). | Se (a, b) não pertence a A, basta tomar r como sendo a menor das distâncias de (a, b) aos pontos (1,2), (— 1,0) e (1,3); se (a, b) E A, basta tomar r h 2 ) Exercícios 6.5 z==zzzzzzzzzzzzzzz = z zzzzzzzzz. 2 1. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em IR . a) {(x, y) E IR 2 I x 2 + y 2 < 1 } b) {(x, y) E IR 2 1 x + y ^ 1 } c) {(x, y) E [R 2 I x 2 + y 2 s= 1 e x + y > 3} d) {(x, y) E IR 2 I x = 1 e 1 < y < 3} Os Espaços IR" 115 é) {(x, y) e IR 2 I x 2 + xy + y 2 < 0} f) {(x, y) £ IR 2 I x + y > 3 e x 2 + y 2 < 16} g) {(*. y) e R 2 I xy > 0} h) {(x, y)£lR 2 lx3=0ey>-} 2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. á) {(x, y) £ IR 2 I x 2 + y 2 < 1} b) {(x, y) £ R 2 I x e y inteiros} c) | ^ —, 1 j I n ^ 0 natural d) {(x, y)GR 2 \x + yS= 1} é) {(x, y) G IR 2 I x = 1,1 'q, zq) e raio r > 0 no IR . Interprete geometricamente. 4. Defina bola aberta, conjunto aberto e ponto de acumulação no IR". 2 5. Sejam A e B dois subconjuntos do IR . Prove que se A e B forem abertos, então A U B e A fl B também serão. 2 6 . Suponha que, para cada natural n, A n é um subconjunto aberto do IR . Seja B a reunião de todos os A n e C a interseção de todos os A n . Pergunta-se: B é aberto? C é aberto? Justifique. 2 7. Seja F um subconjunto do IR . Dizemos que F é um con junto fechado se o conjunto de todos os ( x , y) não-pertencentes a F for aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados. a) {(x, y) E IR 2 I x 2 + y 2 =£ 1}. b) {(x,y) £ R 2 lx^ 0 ey> 0 }. c) {(*. y) £ IR 2 I x e y inteiros}. d) {(x, y) e IR Ixey racionais}. e) f) R 2 g ) {(x,y)€rix= 1,1 €y«3} h) {(x, y) e IR 2 I X = 1, 1 Sy<3} 2 8 . Suponha que o conjunto B, B C IR , não seja aberto. Pode-se concluir que B é fechado? Sim ou não? Justifique. 2 9. Dizemos que A C IR é um conjunto limitado se existir um m > 0 tal que II (x, y) II < m para todo (x, y) £ A. Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, então A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida? 7 Função de uma Variável Real a Valores em R ". Curvas 7.1. Função de uma Variável Real a Valores em U 2 2 2 Uma função de uma variável real a valores em IR é uma função : A —> IR , onde A é um subconjunto de IR. Uma tal função associa a cada real t E A, um único vetor F (?) E IR 2 . O conjunto Aéo domínio de F e será indicada por D F . Suporemos sempre que A ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos. O conjunto Im F = {F (?) E R 2 11 E D F } 2 é a imagem ou trajetória de F. A imagem de F é o lugar geométrico, em R , descrito por F (?) quando t varia em D F . EXEMPLO 1. Seja F a função dada por F (?) = (?, 2?). a) Calcule F (0) e F (1). b) Desenhe a imagem de F. Solução a) F (0) = (0,0)eF(l) = (1.2). Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 117 b ) A imagem de F é a reta de equações paramétricas EXEMPLO 2. Desenhe a imagem da função F dada por F (!) = (t,t ). Solução A imagem de F é a curva de equações paramétricas jx = t \y = 2t 2 A imagem de F coincide com o gráfico da parábola y = x . m EXEMPLO 3. Seja F (t) = (cos t, sen t), t E [0, 27r], Desenhe a imagem de F. Solução A imagem de F é a circunferência de centro na origem e raio 1. EXEMPLO 4. Seja F ( t ) = (e 1 cos t, e 1 sen t), t ^ 0. Desenhe a imagem de F. Solução F (t) = e 1 (cos t, sen t) 118 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou seja, II F (t ) II = e Quando t varia em [0, +°°[, o ponto F (t) gira em tomo da origem e a distância à origem tende a zero para t tendendo a +°°. Observe que a imagem de F coincide com o gráfico da espiral p = e~ e , d 3= 0 (coordenadas polares). ■ EXEMPLO 5. Desenhe a imagem da função F dada por F (t) = (2 cos t, sen t\ t E [0, 27r]. Solução x = 2 cos t <ü> ' x — = cos t 2 y = sen t y = sen t y 2 = i 2 Assim, para cada t E [0, 27r] o ponto (2 cos t, sen t) pertence à elipse — + y = 1. Por 4 outro lado, para cada (x, >’) na elipse, existe t E [0, 27r] tal que jx 2 cos t q U g?) = sen t M ’ m Exercícios 7.1 : Desenhe a imagem: 1. F (t) = (1, í) 2. F(t) = (/,/+ 1) 3. F(t) = (lt- \,t+ 2) 4. F (t) = (í,í 3 ) Função de uma Variável Real a Valores em R". Curvas 119 5. F (?) = (r, ?) 7. F (?) = (cos ?, 2 sen t) 9. F(f) = (sen ?, sen 2 ?) 11. F (?) = (e l cos t, è sen ?), ? s 0 6 . F(/) = (t 2 , r 4 ) 8 . F (t) = (sen t, sen t) 10. F (í) = ( V2 cos t, 2 sen t) 12. F (í) = (sen t, t) 7.2. Função de uma Variável Real a Valores em [R 3 3 3 Uma função de uma variável real a valores em IR é uma função F : A —* IR , onde A é um subconjunto de IR. Uma tal função associa, a cada t E A, um único vetor F (t) £ IR 3 . A imagem ou trajetória de F é o lugar geométrico, em IR 3 , descrito por F ( t ), quando t varia em D F . EXEMPLO 1. Desenhe a imagem de F (?) = (t, t, t), t & 0. Solução A imagem de F é a semi-reta de equações paramétricas t 5= 0 EXEMPLO 2. Desenhe a imagem de F (?) = (cos ?, sen ?, 1). Solução A imagem de F é uma circunferência situada no plano z = 1, com centro no eixo z e raio 1. x 120 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 3. Desenhe a imagem de F ( t) = (cos t, sen t, bt), t 3= 0, onde b > 0 é um real fixo. Solução A imagem de F é uma hélice circular reta. Quando t varia em [0, +°°[, a projeção de F (t), sobre o plano xy, descreve a circunferência x = cos t, y = sen t, ao passo que a proje¬ ção sobre o eixo z descreve um movimento uniforme, com equação z = bt. Muitas vezes será necessário considerar funções de uma variável real a valores em IR”, n > 3. Os próximos exemplos exibem funções de uma variável real a valores em R 4 e em R 5 , respectivamente. ■ EXEMPLO 4.F(/)=(/,/,l,/),í£R,é uma função de uma variável real a valores em R 4 . ■ 2 3 EXEMPLO 5. F (t) = (cos t, sen t, t , t, t ), t E. R, é uma função de uma variável real a valores em R 5 . ■ Exercícios 7.2 1 1. Desenhe a imagem: á)F(t) = (l,r, 1), t G IR c)F(f) = (f, t, 1 ), f 2=0 e) F (t) = (t, t, 1 + sen t), t 0 g) F (t) = (cos t, sen t, 2) i) F (t) = (t,t,-j,t> 0 l) F (i) = (e ' cos t, e 1 sen t, e r ), t & 0 rí) F (t) = (sen t, sen t, t), t s* 0 2. Seja F dada por F (r) = (ln t, t, yjl — t 2 , í 2 ). b)F{t) = (1,1, r), r 2 = 0 d) F (t) = (1,0, r), te R f) F (t) = (t, cos t, sen t), t s? 0 h) F (r) = (cos t, sen t, e ! ), t s? 0 j) F (r) = (t, t, t\ t & 0 m) F (r) = (sen r, sen r, V2 cos t), 0 =£ t =£ 2v o) F (f) = (1 + sen t, 1 + sen t , cos t), 77 77 -=£ t =£ —. 2 2 Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 121 a) Determine o domínio de F. b) Calcule F (l\ \sr 3. Determine o domínio. a)F{t)= t. b) t - 2 t + 1 ln (5 — r 2 ), e ' F (t) = ^ 2, — , ^2 - t 2 , arctg t j. 7.3. Operações com Funções de uma Variável Real a Valores em Ur Seja F : A —* IR” uma função de uma variável real a valores em IR”; então existem, e são únicas, n funções a valores reais F,: A —» R, i = 1,2, 3, ..., n, tais que, qualquer que seja tEA, F{t) = (F, (/), F 2 (0.F„ (/)). Tais funções são denominadas componentes de F. Escreveremos F = (F l , F 2 ,..., F„) para indicar a função cujas componentes são Fj, F 2 , ..., F„. EXEMPLO 1. Seja F (r) = (cos ?, sen ?, í), í£ R.As componentes de F são as funções F l , F 2 , F 3 definidas em R e dadas, respectivamente, por x = cos t, y = sen t e z = f. ■ EXEMPLO 2. Seja F (r) = (í, V?, sen 3í, arctg r), r s= 0. As componentes de F são as fun¬ ções Fj, F 2 , F 3 , F 4 dadas por Fj (r) = í, F 2 (r) = Vr, F 3 (r) = sen 3 1 e F 4 (?) = arctg ?, com t 3= 0. ■ Sejam F, G : A —* R” duas funções de uma variável real a valores em R”,/: A —* R uma função a valores reais e k uma constante. Definimos: a) a função F + G: A—> R” dada por (F + G) (?) = F (?) + G (?) denomina-se soma de F e G. fc) a função &F : A —* R” dada por (kF) (?) = kF (?) é o produto de F pela constante k. c) a função/ - F : A —* R” dada por if' F) (?) =/(?) F (?) é o produto de F pela função escalar f. d) a função F • G : A —» R dada por (F-G) (?) = F (?) • G (?) 122 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 onde F(t) ■ G{t) = F j (t) • Gy ( t) + F 2 (t) • G 2 (t) + ... + F n ( t ) ■ G n (t ), é o produto escalar de Fe G. Estamos supondo aqui F = (Fj, F 2 , ..., F„) e G = (G\, G 2 , .... G„). e) Seja n = 3. A função F A G : A - dada por (FAG) (?) = F(í)AG(0 = denomina-se produto vetorial de F e G, onde í y * F\ (t) F 2 (t) F 3 (t) G\(t) G 2 (?) G3(r) / y k Fi(í) F 2 (r) F 3 (r) Gj (í) G 2 (í) G 3 (r) = [ F 2 (r) G 3 (/) - F 3 (t)G 2 (t)l i + + [F 3 (r) G, Ot - F[ (o G 3 (/)] j + [F, (Í) G 2 (r) - F 2 (r) G, (/)] ^ . (Veja Exercício 11 da Seção 6.3.) EXEMPLO 3. Sejam as funções F, Ge/, definidas em IR, e dadas por F (r) = (cos 3 1 , sen 2 1 , r 2 ), G (f) = (3, P, arctg i) e/(r) = e 2í . Temos a) o produto escalar de F e G é a função H dada por H (t) = F ( t ) ■ G(t) = 3 cos 3 t + P sen 2í + í 2 arctg t. b ) o produto de F pela função escalar/é a função com valores em R dada por /(?) F (í) = e _2í (cos 3í, sen 2t, P) = (e 2í cos 3f, e 2t sen2t,e 2r P). ■y c) O produto vetorial de F e G é a função a valores em R dada por (FAG)(0 = í y cos 3t sen 2t arctg t = (sen 2 1 arctg t — P) i + (3t 2 — cos 3 1 arctg t) j + (P cos 3? — 3 sen 2 1) m Uma função de uma variável real a valores em R" será freqüentemente indicada com a notação vetorial F. EXEMPLO 4. Sejam as funções F e G dadas por F ( t) = (t, t 2 , 2) e G (t) = (3, t, t ). Calcule a) F (r) • G (r) c) F (r) A G (r) b) tF (r) tf) 2F (?) + 3G (?). Solução Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 123 b) t F (?) = ? ( t , ? 2 , 2) = ( t 2 , ? 3 , 21). c) F (?) A G (?) = ou seja, i J = (t 3 - 2t) 7 + (6 - t 2 ) 7 + (í 2 - 3? 2 ) 7 F (t) A G (?) = (? 3 - 2/) 7 + (6 - t 2 ) 7 -2? 2 7. d)2~F (0 + 3G (/) = 2 (r, r 2 , 2) + 3 (3, ?, ?) = (2? + 9, 2 ? 2 + 3?, 4 + 3?). Exercícios 7.3 b)e ' F (?) 1. Sejam F (?) = (?, sen t, 2) e G (í) = (3, t, t ). Calcule a) 7 (í) • G (í) c) F (/) - 2 G (t) d) F (t) A G (t) 2. Calcule r (t) A x (í), onde r (t) = t i +2 j + t 2 k e x (t) = t i — j + k . 3. Calcule u (t) ■ v (t), onde u (t) = sen t i + cos t j + t k e v (t) = sen t i + cos t j + k * ^ 3 4. Sejam F ,G ,H três funções definidas em A C IR e a valores em IR . Verifique que a) F/\G=-G/\F b) F ■ (G + H) = F ■ G + F ■ H c) F A ( G + H) = FAG + F A H 7.4. Limite e Continuidade Antes de definirmos limites faremos a seguinte observação: sempre que estivermos li¬ dando com função de uma variável real ficará subentendido que o domínio ou é um inter¬ valo ou uma reunião de intervalos. Definição 1. Seja F uma função de uma variável real a valores em IR" e seja f 0 uni ponto do domínio de F ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domí¬ nio de F. Dizemos que F (?) tende a L, L G IR", quando t tende a t 0 , e escrevemos F (?) = L, se para todo e > 0 dado, existir 8 > 0 tal que, para todo ? £ D F , 0 <\t- t 0 \<8=>\\F(t) - L\\< e. Observação II F(?) - L II < eo F(t) 0, existe 5 > 0, tal que F (?) permanece na bola aberta B e (L) quando t percorre o intervalo ] ? 0 — 5, ? 0 + ô [, t # í 0 e t G D F . EXEMPLO 1. Seja Fuma função de uma variável com valores em R” e seja L G R”. Mostre que lim F (f) = L <*> lim II F(t)-L II = 0. Solução lim F (t) í V e > 0, 3 5 > 0 tal que V t E: D F |0 < lí — f 0 l < 5 => IIF(r) - Lll< € íV e > 0, 3 5 > 0 tal que VtEDf {o < Ir — to I < 8 => IIIF(r) - Lll - 01 < e í ... . L II = 0. O exemplo acima nos diz que se F (?) tende a L, para t —> t 0 , então a distância de F (?) a L (II F (?) — L II) tende a zero, para t —* ? 0 , e reciprocamente. Antes de demonstrar o próxjmo teorema, lembramos que se X =_Jx\, jt 2 , ■■■, x n ) e IR”, então, para i = 1,2, ...,n, II X II 3= I x t I, ou seja, o comprimento de X é maior ou igual ao módulo de qualquer uma de suas componentes (veja Exercício 4, Seção 6.4). Seja, agora, F = (Fj, F 2 , ..., F n ) uma função de uma variável com valores em R” e seja L = (Z-i, L 2 , ..., L n ) G R”; temos F (?) - L = (F, (?) - L u F 2 (?) - L 2 , ..., F„ (?) - L n ). Do que vimos acima, resulta: F (?) — L II ^ I Fj (?) — Lj I (? = 1,2.n). O próximo teorema nos diz que lim F (?) existirá se e somente se existirem e forem finitos os limites das componentes F,- de F. Além disso, se, para i = 1,2,...,«, acontecer lim F, (?) = L F então lim F (?) = L = (Lj, Z^,..., L n ). t — t n í —r n Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 125 Demonstração Vamos provar primeiro a implicação lim F (t) = L=> lim F, ( t) = L ; . t — t n De lim F(r) = L segue que lim II F(t) — L II = 0. Por outro lado, para todo / = 1,2,...,«, i — t n t — t n I F, (r) - L t I =£ II F (í) - L I Pelo teorema do confronto, lim (F, (0 — L ( ) = 0 ou lim F, (í) = L,-. Reciprocamente, de lim F, (í) = L, para / = 1, 2, ..., n, segue que lim yj(fi (t) - LO 2 + (F 2 (t) ~ Li) 2 + ... + (F n ( t) - L n ) 2 = 0 e, portanto, lim II F (t) — L II = 0; logo, lim F (t) = L. o —* sen t —* o —* —* EXEMPLO 1. Seja F (t) = - i + (C + 3) j . Calcule lim F ( t ). t / — o Solução lim F (r) = I lim (-»0 sen t / — O t i + lim ( t z +3) j = i + 3 j / — O EXEMPLO 2. Seja F ( t) = (cos f, sen t, t ). Calcule lim /! —0 F (t + h) — F (t) Solução De F (t + h) — F (t) _ ( cos (t + h) — cos t sen (t + h) — sen t A h l h ’ h ) cos (t + h) — cos t sen (t+h)— sen t hm -= -senf e lim —-——- = cosí /i — O /i — 0 segue .. F (t + h) - F ( t) . lim -= (—sen t, cos t, 1). /! —0 h 126 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 O próximo exemplo nos diz que o limite de um produto escalar é igual ao produto esca¬ lar dos limites, desde que tais limites existam. EXEMPLO 3. Sejam F = (Fj, F 2 ,..., F n ) e G = (Gj, G 2 ,..., G n ) duas funções de uma variável com valores em IR”. Suponha que lim F (?) = a e lim G (t) = b ' - 'o ^ ' - 'o onde a = (aj, a 2 , •••, a„) e b = (b\, & 2 , ..., b n ). Mostre que Solução lim F (?) • G (r) = a • b F (?) • G (?) = F, (?) Gj (?) + F 2 (?) G 2 (?) + ...+ F n (?) G„ (?). lim F (?) = a => lim F, (?) = a,, í = 1,2, ..., n. ?-?o — — '-'o lim G (?) = b => lim G, (?) = b^i = 1,2, ..., n. lim F (?) ■ G (?) = lim Fj (?) G, (?) + ... + lim F n (?) G„ (?) = Ojèj + a 2 è 2 + ... + = a ■ b . Definição 2. Sejam F: A —» R" e ? 0 E A. Definimos: F é contínua em ?q lim F (?) = F (? 0 ). ? — ?« Dizemos que Fé contínua em B C Ase F for contínua em todo ? C B\ dizemos, simples¬ mente, que F é contínua se for contínua em cada ? de seu domínio. Do teorema anterior, resulta que F será contínua em ? 0 se e somente se cada componente de F o for. Exercícios 7.4 -;- -:- - - 1. Calcule a) lim F (?), onde F (?) = i — 1 V ? -1 , ? -1 / tg 3 1 e^ — 1 ^ b) lim F (?), onde F (?) = -,-, ? 3 r — 0 ? ? c) lim r (?), onde r (?) = —- i -I-— / + 2t k i — 2 t 2 - 4 t - 2 Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 127 2. Sejam F = (F\, F 2 , ..., F n ), G = (G|, G 2 , ■ ■ ., G n ) duas funções de uma variável real a valores em R" e/uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que lim F (t) = a, lim G(f)= b e lim f{t) = L, onde a = (a lt a 2 , ...,a„), b = (b\,b 2 , ■■■, bje L real. Prove: a) lim [ F (t) + G (t) ] = a + b . b) lim /(/) F (t) = L a . ' - 'o _ , _ _ c) lim F (/) A G (/) = a A b (n = 3). 3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta. a) F (t) = t i + -ft j + 3 k . b) F (r) = yjt - 1 i + y]t + 1 j + e' k. 4. Sejam F, G : A —> R" e/: A —* R contínuas em t 0 G A Prove que F + G ,/F , F • G são contínuas em t 0 . Se n = 3, F A G também é contínua em f 0 . 5. Sejam F .A— »R 3 e G : A —» R 3 . Suponha lim F (t)= 0 equellG (t) II M para todo t G A, onde M > 0 é um real fixo. Prove. a) lim F (t) ■ G (/) = 0 f>) lim F (t) A G ( t ) = 0 6 . Seja F : [a, è] —► R" contínua. Prove que existe M > 0 tal que II F (í) II =s M em [a, b]. 7.5. Derivada Defínição 1. Sejam F : A —» IR” e t 0 e A Definimos a derivada de F em ? 0 por dF ^ x F(f) - F(r 0 ) — (fo) = lim - desde que o limite exista. Se F admite derivada em t 0 , então diremos que F é derivável ou diferenciável em t 0 . Di¬ zemos que F é derivável em B C Dp se o for em cada t E B. Dizemos, simplesmente, que F é derivável ou diferenciável se o for em cada ponto de seu domínio. Teorema 1 . Sejam F = (F[, F 2 , ..., F n ) e ? 0 pertencente ao domínio de F. Então, F será derivável em t 0 se e somente se cada componente de F o for, além disso, se F for derivável em t 0 F' Ob) = (tf (fo). tf Uo). - tf ('o))- 128 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Demonstração F(t)-F (tp) _ ( F x (t) - Fj (tp) F 2 (t) - F 2 (t 0 ) F n (?) - F n (? 0 ) . t* * 0 - n I , - F (t) - F (to) . . , Pelo teorema da seçao anterior, hm -existira se e somente se existirem e < — 1 0 1 ~ *o forem finitos os limites lim , i = 1,2Logo, F seráderivável em ? 0 se '-'o e somente se cada componente o for. Teremos então: um LíÜ^lLSIsI = í lim jl t -W . lim f — f 0 1 ~ ? 0 \ t — 1 0 t -1 0 t — t Q t -t 0 ) ou seja, F'(t 0 )= tá (t 0 ),F 2 (to),F' n (to)). EXEMPLO 1. Seja F (t) = (sen 3 1, e< , t). Calcule x dF , . a) — (t) dt b) (0) dt Solução fj /*' i a) - (t) = ((sen 3?)', (e' )', (?)') = (3 cos 3 1, 2te' , 1) dt ou seja, d F 2 -(?) = (3 cos 3 1 , 2te l , 1). dt b) ~(0) =(3,0,1). dt EXEMPLO 2. Seja r (t) = t 2 i + arctg 2 1 j + e 1 k . Calcule. Solução . d r d ,2,~r . d . „ . T , d - t ~* a) —— = — (t) i + — (arctg 2 f) y + — (e ) * d? dt dt dt Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 129 d r b) dt d 2 r "dt 2 = 2t i + = 2 i - 1 + At 2 16 1 (1 + At 2 ) 2 j ~ e k . j + e 1 k . Seja, agora, F.A tangente ” à trajetória de F, no ponto F (f 0 ). 2 dF e seja í 0 E A Geometricamente, vemos — (í 0 ) como um “ vetor dt Quando t —* í 0 , _ F(tp) tende ao “vetor tangente” (íq) à trajetória de F em F (? 0 ) t~ to dt dF —*■ Definição 2. Seja F : A —* IR" derivável em í 0 , com — (r 0 ) ^ 0 . Dizemos que dt dF — (t 0 ) é um vetor tangente à trajetória de F, em F (íq). A reta dt X = F(t 0 ) + A ^f(t 0 ),\eU dt denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F (r 0 ). A reta tangente à trajetória de F no ponto F (í 0 ) é, então, por definição, a reta passando dF pelo ponto F (íq) e paralela ao vetor tangente — (t 0 ). dt EXEMPLO 3. Seja F (t) = (cos t, sen f), t G IR. Determine a equação da reta tangente à trajetória de F no ponto F (z\ \AÍ Solução f ( 2 L\=(Íl JL).ÉL \A) ( 2 ’ 2 )’ dt ( — sen t, cos í); assim, dF ( 7T^ ~dt \ a) V2 V2 \ 2 ’ 2 ) 130 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ( 7T\ A equação da reta tangente em F — é: X~F « + A^«,A WJ dt { 4 ) ou seja, , , /V2 V2 Faça você o desenho da trajetória de F e da reta tangente. EXEMPLO 4. Seja F (t) = (t, t, f 2 ). Determine a equação da reta tangente no ponto F (1). Solução dF dF F(l) = (l,l,l); — = (1,1,2r); assim, —- (1) = (1,1,2). A equação da reta tangente dt dt em F(l) é: ou seja, X = F(1) + A — (1), À dt (x, y, z) = (1, 1, 1) + À (1, 1, 2), A 1 Teorema 2. Sejam F , G : A —* IR", /: A —»IR deriváveis em A. Então,/ ■ F e F ■ G serão, também, deriváveis em A e -~f + / d -f. dt dt dt d — dF — — JG b) — ( F ■ G) --G+F - -. d/ dt Além disso, se n = 3, então F A G será, também, derivável em A e d — A — í/F „ ^ — . dG c) — ( F A G) = - A G + FA-. dr dt dt Demonstração Faremos a demonstração no caso n = 3. a) F = (F j, F 2 , F 3 ); como fé uma função a valores reais /(O F (0 = (AO F, (0,/(0 F 2 (0,/(0 F 3 (0) Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 131 para todo t E A. 4 [/(') F (0 ] = í 4 [/(O Fi(?)], 4 [/(O ^2 (01. 4 [/(O F 3 (r)]l dt \ dt dt dt f De 4 1/(0 ^1 (?)]=/' (?) F, (?) + /(?) F,’ (?) at 4 [/(O F 2 (?)]=/' (?) f 2 (?) + /(?) f 2 (?) at 4 1/(0 f 3 (?)]=/' (?) f 3 (?) + /(?) f 3 (0 at resulta: 4 [/(O F (?)]=/'(?) ( Fi(0, F 2 (í), F 3 (í)J + /(?) ( f/(?), F 2 '(í), F 3 (t)J ou seja, 4(/f) dt d -L7 +f d -I- dt dt b ) F =(F 1 ,F 2 ,F 3 )e G =(G,,G 2 ,G 3 ). F G — ^jGj 4 - F2G2 + F3G3. |[?Sj = |[f iCi i + | ( f 2C2 ) + | if , c ,i = ^L G +f ^3 g 2 + F 2 ^3g 3 + F 3 ^ dt 1 1 dt dt 1 1 dt dt 3 3 d? Como d F dF[ r ,dF 2 dF 3 A dt 1 dt 1 dt 3 dG_ dG\ dG 2 , „ dG 3 df 1 d? + F, —-í- + F, dt dt resulta 132 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 d(F a G) = F(? + A) a G (t + A) - F (?) a G(?) dr U * “o A = lim A —O F(? + A) a G(? + A) — F(?) a G(t + A) + F(t) a G(? + A) - F(r) a G(t) - lim h— 0 A G (? + A) + F(?) A + »> - SCO = 4r- (O A G (t) + F (t) A ^ (?) d? d? ou seja, — [ F A G] = — A G + F A —. ■ dt dt dt EXEMPLO 5. Seja F : A —* IR” derivável e tal que II F (?) II = k, V t E A, k constante. Prove que * d F F (0 ' ~ (t) = 0 dt para todo t E A Interprete geometricamente no caso n = 2. Solução F (011 = -v F (?) • F (?) daí logo, para todo ? E A, Segue que, para todo ? em A, ou seja, F (?) Il z = F (?) • F (?); F (?) • F (?) = k l — [ F (?) • F (?) ] = 0, dt —(?)' F (?) + F (?) • (?) = 0 d? d? Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 133 e como o produto escalar é comutativo -* d F 2 F (t) • — (r) = 0. dt Portanto, para todo (GA, — d F F (t) ■ —— ( t ) = 0. dt -» -» d F Assim, sendo I F ( t) II constante, os vetores F (t) e - (t) serão ortogonais. dt Interpretação geométrica no caso n = 2. Seja F ( t ) = (Fj (r), F 2 (/)); sendo II F (t) II constante e igual a k (k > 0), a trajetória descrita por (F ] (r), F 2 (/)) está contida na circun- d F d F ferência de centro na origem e raio k\ como - (t) é tangente à trajetória, - (t) deve dt dt ser tangente à circunferência e deve, portanto, ser ortogonal ao vetor de posição F ( t ). Exercícios 7.5 d F 1. Calcule -e dt d 2 F ^t 2 a) F (t) = (3t 2 ,e ', ln (t 2 + 1)). b) F (f) = \[t 2 i + cos t 2 j +3 li. c) F ( t ) = sen 5 t i + cos 4 t j - e 2r k . 2. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado. a) F (t) = (cos t, sen t, t) e F b) G (t) = (f 2 , t) e G (1) e F (2) d) F (t) = (t, t 2 , t, t 2 ) e F (1) 134 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 3. Seja F definida no intervalo I e com valores em IR”. Suponha que F' ( t ) = 0 para todo t em I. Prove que existe uma constante k = {k j, ^ ■ • • > ^ n ) £ IR” tal que F (t) = k para todo t em I. 4. Seja F : / —* IR , I intervalo, derivável até a 2. a ordem em I. Suponha que exista um real À tal d 2 F -* -» d F que, para todo t em /, -— (t) = A F (t) . Prove que F (t) A - (t) é constante em I. dt 2 dt —* 3 5. Suponha que r : IR —> IR seja derivável até a 2. a ordem e que, para todo rs* 0, II r (r) II = Vr. d r d r d 2 r a) Prove que ---= — r --— em [ 0, + 00 [. dt dt dt 2 d 2 r 7 r ti) Seja 9 o ângulo entre r e — 2 . Conclua que — 6 *£ 7 r. —* 3 6 . Seja r definida em IR, com valores em IR , e derivável até a 2. a ordem. Prove que se —» —*■ "* j r . d 2 r * r (r) A- (r) for constante em IR, então r (r) A —— (r) = 0 em IR. dt dt 2 3 —* 7. Seja r : / —» IR , / intervalo, derivável até a 2. a ordem. Suponha que r (r) forneça a posição, no instante r, de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade v (r) e a acelera- * dr ~*dv d 2 r ção a (r) de P, no instante r, por: v (r) = - (r) e a (t) = - (r) = —r— (r). Determine dt dt dt 2 v (r) e a (t) sendo: a) r (t) = t i + r 2 j + 4 k b) r (t) = cos t i + sen t j + t k 3 c) r (t) = tf) + vq r, onde 15 e vq serão dois vetores fixos em IR . d) r (t) = n) + vqí + — aQt 2 , onde iq, vq e ciq são constantes. 8 . Um ponto se move no espaço de modo que II v (r) II = k para todo r, onde k > 0 é uma constan¬ te. Prove que v (r) • a (r) = 0 para todo t. Interprete. 9. Suponha II v (r) II 0 para todo t. Faça T (r) = -onde v (r) = II v (r) II. Prove que v(r) - dT a) T e -são ortogonais. dt d T dv ti) a = v —- + — T . dt dt Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 135 10. Seja r (t) = a cos wt i + b sen wt j , onde a, bew são constantes não-nulas. Mostre que d 2 r 7 dt l = — w r . 11. Sejam F e G definidas e deriváveis no intervalo I e com valores em IR". Suponha que para d F dG — todo í£/, -(r) = -(r). Prove que existe um vetor c = (ci, c 2 , ..., c_) 6 IR tal que dt dt G (t) = F (t) + c para todo t £ I. 12. Determine r = r (í) sabendo que a) - = t i + 2 k e r ( 0 ) = i + j . dt d r -* -* 1 -* b) - = sen t i + cos 2 t j + - k , / 3= 0 , e r ( 0 ) = i — j +2 k dt t + 1 f) d r 1 i + e j + k e r (0) = k . dt 1 + At 2 13. (Regra da cadeia .) Sejam t—>u(t),tEI,u—> F (u) 6 IR", u £ J, funções deriváveis, onde / e J são intervalos em IR. Suponha que, para todo t £ /, u (t) £ J. Prove que a função H dada por H (t) = F (u (r)), t £ /, é derivável e que dH _ d_F_ du_ dt du dt d F onde -deve ser calculado em u = u (t). du 14. Suponha u p (6) = cos 0 i + sen 0 j , u g (0) = —sen 0 i + cos 0 j e r (t) = p(t) u p (0 (r)), com 0 = 0(t)e p = p(t) deriváveis até a 2. a ordem num intervalo I. dp ■ d 0 .. d 2 p Notação : p = —, 0 = —, p = —— dt dt dt 2 a) — [u p ( 0 )]= 0 u 6 ( 0 ). dt H Verifique que b ) —[u 6 ( 0 )]=- 0 Up ( 0 ). dt c) v = pup + p0ug. d) a =[p- p(0) 2 ]Up +[ 2 p0 + p0]ug. 136 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 15. Seja F : I —> IR” derivável em íg G / e seja E (Ar) o erro que se comete na aproximação do acréscimo “F (r 0 -t-Ar) — F (r 0 )” por “F' (r 0 ) Ar”. Prove que E (Ar) tende a 0 mais rapida- E (Ar) — mente que Ar, quando Ar tende a zero, isto é, que lim - = 0 . Prove, ainda, que para Ar . , "* m, n ^ ,,,, ,. [F(r 0 + Ar) - F(r 0 )] - a Ar 7^ todo a E R , com a F (r 0 ), hm . . . - . # 0 . ir - 0 Ar Observação. A função linear de IR em IR” dada por Ar —» F' (r 0 ) Ar denomina-se diferencial E (Ar) — de F em íq, F (íq + Ar) — F (rp) = F' (rp) Ar + E (Ar), onde lim - = 0. ir - 0 Ar 7.6. Integral Sejam F : [a, b] —* IR” uma função, P : a = r 0 < ?i < r 2 < ... < t m = be, para cada r, r = 1,2, m, seja c i um ponto de [í, _ j, r,]. O vetor 2 F( Ci )A ti 1 = 1 denomina-se soma de Riemann de F relativa à partição P e aos pontos c ( . mos Dizemos que J F (c,) Ar, tende ao vetor L i = 1 quando máx Ar, —» 0, e escreve- m —> —> lim j F (q ) Ar, = L máx Ar, -* 0 i = 1 se, para todo e > 0 dado, existir S > 0 que só depende de e, mas não da particular escolha dos c,, tal que 2 F(c, )Ar,- - L —- — Fj, i = 1, 2, n dt dt então F(t)dt = \^J Fi(t)dt,J F 2 (t) dt, F n (t)dt = (G, (b) - G, (a), G 2 (b) - g\ (a), ..., G„ (b) - C = G(b)-G (a). EXEMPLO 1. Calcule f [t i + 4 j + t 2 k ] dt. J o Solução ^[,T + 47+> 2 Tjd,-(^/rft)T+(^4*)7+(^ = - i + 4 j + -T. 2 3 EXEMPLO 2. Suponha F contínua em [a, b]. Prove que F (t)dt F(t) dt. Solução Sendo F contínua em [a, b], II F II também será; logo, J IIF (t)\\dt existe. assim, de m —* j, -* m —> 1 F(c,)Aí,-f F(t)dt i = l Ja 1 F( Ci )Ati i = 1 il F(?)í/Í lim 2 F (cj ) A ti = f F (t) dt máx Ar, -» 0 j = 1 segue m —> lim 1 F (c,) Aí,- = f F(f)dr máx Ar, -» 0 r = 1 Ja 138 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Temos 2 F(Ci)Ati i= 1 I II F (c, )ll Aí,. i = l Então F (t)dt = lim II máx At, -» 0 2 F(cj)Aí/ i = l lim j II F(cí) IIAr,- máx At, -* 0 i = 1 II F (t)\\dt ou seja, Exercícios 7.6 1. Calcule F ( t)dt F (t)\\dt. d) \ [t i + e' j }dt J o b ) / [sen 3 1 i + —/’ + k ]dt J -1 1 +t 2 c) £ (3 i +2 j + k)dt 2. Sejam F (t) = t i + j + e‘ k e G (í) = í + j + k . Calcule a) f ( F (/) A G ( t))dt b) f ( F (t) ■ G ( t))dt. J o J o 3. Seja F : [a, b\ —> R" contínua e seja G (t) = f F (s) ds, t £ [a, b\. Prove que, para todo Jo t £ [a, b), ^ W = F(t). dt 4. Seja F (f) uma força, dependendo do tempo f, que atua sobre uma partícula entre os instantes fj e í 2 - Supondo F integrável em [(j, í 2 ], o vetor -í: F (í) dt denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [í],í 2 ]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado. Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 139 a) F (t) = t i + j + ? 2 k , í] = 0 e ? 2 = 2. b) F (t) = —í— i + ? 2 j + k, íi = 0 e t 7 = 1. 5. Suponha que F (?) é a força resultante que atua, no instante ?, sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F no intervalo de tempo [?j, ? 2 ] é igual à variação da quantidade de movimento , isto é. £ F (?) dt = mv 2 — m vj onde V 2 e V) são, respectivamente, as velocidades nos instantes ?j e ? 2 . ( Sugestão : pela lei de Newton F (?) = m a (?).) 7.7. Comprimento de Curva Seja I um intervalo em IR. Uma curva y em IR", definida em /, é uma função y : /—* IR". Uma curva em IR", definida em /, nada mais é, então, do que uma função de uma variável real a valores em IR". Segue que tudo o que dissemos anteriormente aplica-se às curvas. EXEMPLO 1. Seja y (?) = (?, arctg ?), ? £ IR, uma curva em IR 2 . a) Desenhe a imagem de y. b) Determine uma curva ô : IR —> IR 2 tal que y + ô e Im y = Im 8. Solução a) /■* 1 í G IR. = arctg ? A imagem de y coincide com a gráfico de v = arctg x. Observação. Sejam A C IR" e y : / —» IR" tais que Im y = A; é comum referir-se a y como uma parametrização do conjunto A. Assim, toda curva y pode ser olhada como uma parametrização de sua imagem. O exemplo anterior mostra-nos que um mesmo conjunto pode admitir parametrizações diferentes. 140 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Nosso objetivo, a seguir, é definir comprimento de curva em IR”. Para motivar tal definição, trabalharemos com uma curva em R 2 . Seja, então, y : [a, b] —> R 2 uma cur¬ va em R . Sendo P : a = t 0 < t i < t 2 < ... < t n = b uma partição qualquer de [a, b], indicaremos por L{y,P) o comprimento da poligonal de vértices P 0 = y (í 0 ), P\ = y (<]), — > P n = y^n)- n L(y,P)= 2 lly(r,)- y(?, _,) II. I = 1 Tomando-se, por exemplo, P : a = t 0 < íj < t 2 < < í 4 < t$ = b, L (y, P) será o comprimento da poligonal de vértices P 0 = y (í 0 ), P j = y (í[), ..., P 5 = y (t 5 ). L{y,P) = II y (íj) - y(/ 0 ) II + II y(í 2 ) ~ y(íi) H + ■■■ + H y(t 5 ) - y(/ 4 ) II. Suponhamos y = (yj, y 2 ) derivável em [a, b] e seja P : a = t 0 < t\ < ... < t n = b uma partição qualquer de [a, b]. Temos Pelo teorema do valor médio, existem í, e í, em ] f, _ ], [ tais que 71 (ti) ~ J] ( { i - i) = 71 (ti) (ti ~ tj _ x ) 72 (ti) - 72 (U - i) = 72 (ti) (ti -t t - i) 7i (ti) - 7i (tt - i) = 71 (ti) Aí,- e y 2 (í,) - y 2 (í,- _ j) = y 2 (í,) Aí ; , ou seja, Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 141 Substituindo em © vem: ?(*;)-7(*,■-l) II = VtVlíf/)] 2 + [72(f/)] 2 Ar i. © L(y,P)= l V[Vl(í/)] 2 +[72(í/)] 2 Ar,- í = 1 Supondo y contínua em [a, b], I y' ( t ) II = ^J(y\ (t )) 2 + (y ' 2 (t )) 2 será, também, contínua em [a, b ] e, portanto, integrável neste intervalo: f \\y'(t)\\ dt = lim J V(Vi©)) 2 + (72 (c,)) 2 Ar,-. Ja máx At. -» 0 í = l Embora @ não seja soma de Riemann da função g (r) = II y ' (r) II, r G [a, b), (por quê?) é razoável esperar que, para máx Ar ( —* 0, L (y, P) tenda a ^ lly'(r)ll dt (veja Exercício 12). Nada mais natural, então, do que a seguinte definição. Definição. Seja y: [a, b] —> IR” uma curva com derivada contínua em [a, b). Defini¬ mos o comprimento L( y) da curva y por L( y) = f lly'(r)ll dt. Observação. A definição acima estende-se para uma curva y: [a, b] —> R” qualquer, com II y' (r) II integrável em [a, b], EXEMPLO 2. Calcule o comprimento da curva y (r) = (cos r, sen r, r), r G [0, 2-7 t]. Solução y (r) = (—sen r, cos r, 1); II y (r) II = y(— sen r) 2 + (cos r) 2 + l 2 O comprimento da curva y é py'(r)ll dt= ^ V2 dt= 2tt 72. Jo J 0 Seja y uma curva em R z dada por f = / eia.il. |y = y 2 (r) De = 7 i (r) e ^ = y' 2 (r) segue II y' (r) Wdt) \dt) e, então, o compri- J J(—-\ + í —^1 dt. Se y for uma curva em R 3 dada por a\\dt) \dt) mento de y é: 142 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 seu comprimento será: f* = 7l (t) >' = 72(0 t&[a,b] Z = 73(0 f í ±) 2 + (ÈL \ 2 + (^z \ 2 I ill .1 ' I .j Suponhamos que uma partícula se desloca no espaço de modo que no instante t,te [0, b[, a sua posição seja dada, em forma paramétrica, por x = x(t), y = y(t) e z = z(t), com —, — e — contínuas. Então, o espaço s = s(i) percorrido pela partícula entre os instantes dt dt dt 0 e t nada mais é do que o comprimento da curva descrita pela partícula entre esses instan¬ tes, ou seja, dt. EXEMPLO 3. Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas x = x(t), y = y(t) e z = z(t). Sabe-se que, para todo t. £ = V2.S=V2 e^—2. dt dt dt z dy _ d 2 z Sabe-se, ainda, que — =2 e que no instante í = 0a partícula encontra-se na origem. dt l/=o a) Qual a posição da partícula no instante tl b) Qual a velocidade escalar da partícula? c) Determine o instante T em que a partícula volta a tocar o plano xy. d) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e 77 Solução a ) — = V2 => x = V2 t + k\ ; de x = 0 para t = 0, k\ = 0 e, então, x = V2 t. dt De forma análoga, y = -J2 t. z, dz, —=- = — 2 =* — = —2 1 + ki=> z= —t 2 + k^t + k/\\ádíS condições z = 0 dt 2 dt = 2, resulta z = -r 2 + 2t. Assim, no instante t a posição da partícula é r=0 n dz 1 para í = ()e — dt x = rV2 7 = íV2 z = ~t 2 +2 1 . Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 143 b) — = - 1/4 + (—2 1 + 2) 2 , ou seja, — = 2Jl + (2 —í) 2 ■ dt v dt c) z = 0 —r +2f = 0ts>f = 0ouí=2. Portanto, T = 2. d) s( 2) = 2J* 2 ^/l + (2- r) 2 df; fazendo 2 — í = tg m, dt=—sec 2 udu, u = arctg 2 para í = 0e« = 0 para t = 2. Fazendo 6 = arctg 2 0 0 s(2)= — 2f sec 3 udu = 2f sec 3 u du. Je J 0 Integrando por partes, e levando em conta que tg0 = 2 e sec0 = -J5 , vem 5(2) = tg0 sec 6+ ln|sec 6 + tg0| = 2yf5 4- ln(2 + V5). ■ Exercícios 7.7 1. Calcule o comprimento da curva dada. d) y ( t ) = (t cos t, t sen t), t G [0, 2ir], b) y(t) = (2t - l,/+l),/£ [1,2], c) y (r) = (cos r, sen r, e t G [0, ir], d) y (t) = (e ‘ cos t, e ' sen t, e r ), t G [0, 1], e) y (t) = (r, ln r), t G [1, e]. 2 /) -y : [0, 77 -] —* F8 dada por x = 1 — cos t,y = t — sen t. g) y — — (e' + e ),rG [-1,0], ( Observação : trata-se da curva y dada por x = t. y — ~ (e' + e r ), com r G [- 1, 0].) 2. Dê exemplos de curvas y e 8 tais que Imy = Im 5, mas que seus comprimentos sejam diferentes. 3. Sejam y : [a, b\ —* R” e S : [c, d] —* IR" duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista g : [c, d] —* [a, b\, com derivada contínua e tal que g' (u) > 0 em [c, d]. Suponha, ainda, g (c) = a, g (d) = b e, para todo u G [c, d], S (u) = y (g («)). Prove: a)Im y = Im 8 b) L (y) = L (ô) Observação. Se as curvas 8 e y estiverem relacionadas do modo acima descrito, então dizemos que a curva 8 é obtida de y pela mudança de parâmetro t = g{u) que conserva a orientação. 4. Dizemos que uma curva ô : [a, yS] —»IR", com derivada contínua, está parametrizada pelo com¬ primento de arco se II 5' ( 5 ) II = 1, para todo s G [a, /3]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s. a) 8 (5) = (cos 5 , sen s),s50 b) 8 (s) = (R cos —, R sen — |, s & 0, onde R > 0 é um real fixo. V R Ri o / s 2s \ c ) 8 (5) = —, — , 5 3* 0. \V 5 V 5 ) 5. Seja y: [a, b] —* IR", com derivada contínua, e tal que II y' (t) II 4 0 em [a, b]. Seja s : [a, b] —» IR dada por s (t) = ^ liy(u)ll du. 144 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) Verifique que a função s = s (t) é inversível e seja t = t (s) sua inversa. b) Verifique que a curva S : [0, L] —* R" (L é o comprimento de y) dada por S(s) = y (t (s)) está parametrizada pelo comprimento de arco. Dizemos que ô é a reparametrização de ypelo comprimento de arco. 6. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva y dada. a) y(t) = (21 +1,3 1- l),rs= 0. b) y (t) = (2 cos t, 2 sen t), 15* 0. c) y (t) = (cos t , sen r, t), t 5= 0. d) y(t) = ( e' cos r, e 1 sen t), t 2= 0. 2 7. Seja y : I —» IR uma curva derivável até a 2. a ordem, com II y' (r) II ^ 0 no intervalo I. Seja J j -» y' (r) II y'(u) II du, t G /, com í 0 fixo em/. Sejam, ainda, T (t) = -o versorde y'(r) _ ( o _ _ 11/(011 e t (s) dada por t (s) = T (r), onde t = t (s). Mostre que , dT y"(t) ll/(í)H 2 - /(0 (y"(t)' /(0) a) -(0 =-;-. dt ll/(0H 3 ,, d t /s / (0 n/(0ii 2 - y (0(y (0 • y ( 0 ) b) -(í) = —--- . . ■ --■, t = t(s). ds lly'(0ll 4 c) — W ds onde t = i\s). d t d t , x • N /(ll/'(í)ll ii/(0H) 2 - (y"(t) ■ y'(t)) 2 ds ds lly'(r)ll 3 Observação. O número k (s) = denomina-se curvatura da curva y no ponto y(t). 1 t = t (s). Se k (s) + 0, o número p (s) = -é o raio de curvatura de y em y (t), t = t (s). A k(s) motivação geométrica para tal definição é a seguinte: para As suficientemente pequeno o tre¬ cho PQ (de comprimento As) da curva y pode ser olhado como um arco de circunferência de centro 0 e raio p(s) (aproximadamente). Sendo A 0 (radianos) o ângulo entre os vetores t (í) e t (s + As), segue que Ad será, então, a medida do ângulo POQ. t (s + Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas 145 A0 = II t (s + Aí) - t (í) I Temos: A s = p (í) A0 ou p(s) t (í + Aí) — t (í) Aí 8. Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva y (t) = (R cos i, R sen t) (R > 0 fixo). 9. Sejay:/—» IR parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: II y' (í) II = 1 para todo s E /). á) Verifique que, para todo s £ /, k(s) = II (s) II, onde k (s) é a curvatura em y (s). b) Prove que se k (í) = 0, para todo í, então y é uma reta. 10. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição seja y (r). Suponha que, para todo í, II v (r) II ¥= 0 ( v (í) = y’ (/)) e seja T (í) = v (0 v(0 onde v (f) = II v (r) II. Prove que ^ dT _ a) T e - sao ortogonais. dt dv v 2 d T b) a =— T -\ - n , onde n eoversorde-e p = p (í) o raiode curvatura de y em y (t). dt p dt 2 11. Seja y: [a, b] — » IR uma curva com derivada contínua e com componentes yj e yj (y = (y|, y^). Seja P : a = t 0 < t i < t 2 < ... < t n = b uma partição qualquer de [a, b]. á) Prove que quaisquer que sejam ti ,ti £[/,_(, r, ] (/ = 1, 2,..., n) tem-se: 2 ^[n(íi)] 2 + [72 Ui)] 2 Ar,- - 2 f +Tt 2(í)"] 2 " A?,- / -1 2 /72('z) - 72 (*i)/ Aí| / = l Sugestão: utilize a desigualdade l-Ja 2 + b 2 — ~Ja 2 + c 2 I =s lb — cl 146 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 b) Sejam C\ e que n 2 i = c) Prove que | Sugestão: Cj os pontos de mínimo e de máximo, respectivamente, de y 2 em [r ( - _ j, r,]. Prove Ij 2 (ti) ~ 72 (ti) I A ti 1 2 72 (q) A?,- - X 72 (q) A ti. 1=1 1=1 lim 2 a/[ 7i ( f í)] 2 + [72 > & 0: D f = {(*, y) e IR 2 I >> > x ey « 1}. EXEMPLO 4. Seja/a função dada por (x, y) 1 > z onde z = 5jc 2 >> - 3jc. 2 O valor de /em (x, y)éz= f(x, y) = 5x y — 3x. Na equação acima, xey estão sendo vistas como variáveis independentes e z como variável dependente. Observe que o domínio de/é o IR 2 . ■ Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 149 EXEMPLO 5. Represente graficamente o domínio da função w = f(u, v) dada por u 2 + v 2 + w 2 = 1, w 2= 0. Solução u + v 2 + w 2 = 1, w 5* 0 => w = ■yjl — u 2 — v 2 . Assim, fé a função dada por/(«, v) = Jl - u 2 - v 2 . Seu domínio é o conjunto de todos 2 2 V i u, v), com 1 — u — v 5= 0. 1 - u 2 - v 2 & 0 u 2 + v 2 « 1. O domínio de/ é o círculo de raio 1 e centro na origem. EXEMPLO 6. Represente graficamente o domínio da função z = / (x, y) dada por Solução Dj = {(*, y) E IR 2 I y — 2 0}; y — x 2 ^ 0 o y 5* x 2 . P = (jc, y) pertence a Dj , pois y > x 2 . Q = (x, y) não pertence a A região hachurada representa Dj, pois y < x . o domínio de /. ■ EXEMPLO 7. ( Função polinomial.) Uma função polinomial de duas variáveis reais a va¬ lores reais é uma função/: IR 2 —» IR dada por f(x, y) = 2 a mn x m y n m + n =s p 150 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 onde p é um natural fixo e os a mn são números reais dados; a soma é estendida a todas as soluções (m, n),me n naturais, da inequação m + n ^ p. 3 2 1 /— a) f(x, y) = 3x y — — xy + V2 é uma função polinomial. b) f{x, y) = ax + by + c, onde a, b, c são reais dados, é uma função polinomial; tal função denomina-se função afim. m EXEMPLO 8. ( Função linear.) Toda função/: R 2 —» R dada por f(x, y) = ax+ by onde a, b são reais dados, denomina-se função linear. Toda função linear é uma função afim. ■ EXEMPLO 9. ( Função racional.) Toda função/dada por f(x,y) = p(x, y) q(x, y) onde peq são funções polinomiais, denomina-se função racional. O domínio de fé o con¬ junto Dj = {(x, y)£R I q (x, y) =£ 0}. à)f(x, y) = x + y x ~ y é uma função racional. Seu domínio é: Dj = {(x, y) G R 2 lx *•>,}. x — ixy t 1 2 b) g (x, y) = — . . -é uma função racional; D = R . ■ x ZyZ 4 - 1 s 2 EXEMPLO 10. ( Função homogênea.) Uma função/:A-^R,ACR , denomina-se fun¬ ção homogênea de grau A se f(tx,ty) = t Á f(x,y) para todo t > 0 e para todo (x, y) E A tais que (tx, ty) G A. a)f(x, y) = 3X 2 + 5x>’ + y 2 é homogênea de grau 2. De fato, f(tx, ty) = 3 (tx) 2 + 5 (íx) (ty) + (ty) 2 = t 2 (3x 2 + 5xy + y 2 ) ou seja, f(tx, ty) = t 2 f(x, y). X b)f(x, y) = xe? x 2 + y 2 é homogênea de grau — 1. X f(tx, ty) = tx e y t 2 (x 2 + y 2 ) r'f(x,y). De fato. Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 151 c)f(x,y) — 2x + y + 5 não é homogênea. (Por quê?) ■ Exercícios 8.1 _ 1. Seja f(x, y) = 3x + 2y. Calcule a)f( 1,-1) b)f(a, x) , f(x + h, y) — f(x, y) „ f(x,y + k)-f(x,y) c) -- <í) --- h k 2. Seja/(x, y) = ———. x + 2y a) Determine o domínio. b) Calcule f(2u + v, v — u). 3. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por a)x + y -1 + z - 0, z 3= 0 c) z = yjy~ x 2 + ^ 2x - y e) 2 + 4 = x 2 + y 2 , z 3® 0 b)/(x, y) = , = ^-x 2 -y 2 d)z= ln (2x 2 + y 2 - 1) /) z = ^\x\-\y\ g) 4x 2 + y 2 + z 2 = 1, Z « 0 h) z - sen x — sen y 4. Seja/: (ra —» U uma função linear. Sabendo que /(l, 0) = 2 e/(0, 1) = 3, calcule /(*, y). 5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogenei¬ dade. a)f(x, y) = x 3 + 2xy 2 x 3 -y 3 b)f(x, y) = V* 4 +/ c)/(x, y) = 5x 3 y + X 4 + 3 d)f(x, y) = x 2 + y 2 2 2 2 6. Suponha que/: IR —» IR seja homogênea do grau 2 e/(a, b) = a para todo (a, b), com a + b = 1. Calcule a) f (4a/3, 4) b)f( 0, 3) c)f{x, y), (x, y) ± (0,0) 2 2 2 7. Seja/: IR —» IR homogênea e suponha que/(a, b)= 0 para todo (a, b), coma + b = 1. Mostre que f(x, y) = 0 para todo (x, y) + (0, 0). 2 8. Seja g : [0, 2-ní —» IR uma função dada. Prove que existe uma única função/: R —» (R, homo¬ gênea de grau A ^ 0, tal que, para todo a E [0, 2tt [,/(cos a, sen a) = g (a). (Observação: o Exercício 8 nos diz que uma função homogênea fica completamente determinada quando se conhecem os valores que ela assume sobre os pontos de uma circunferência de centro na ori¬ gem.) 152 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 8.2. Gráfico e Curvas de Nível Seja z = f(x, y), (x, y) G A, uma função real de duas variáveis reais. O conjunto Gf = {(x, y, z) G IR 3 \z =f(x, y), (x, y) G A} denomina-se gráfico de /. Munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de /pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, y,f(x, y)), quando (x, y) percorre o domínio de/. A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis não é tarefa fᬠcil. Em vista disso, quando se pretende ter uma visão geométrica da função, lança-se mão de suas curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o gráfico da função. Sejam z = f(x, y) uma função ecG/m/O conjunto de todos os pontos (x, y) de Dy tais que f(x, y) = c denomina-se curva de nível def correspondente ao nível z. = c. Assim, fé constante sobre cada curva de nível. O O gráfico de fé um subconjunto do IR . Uma curva de nível é um subconjunto do domí¬ nio de f portanto, do R . EXEMPLO 1. O gráfico da função constante f(x,y) = ké um plano paralelo ao plano xy. X Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 153 EXEMPLO 2. O gráfico da função linear dada por z = 2x + y é um plano passando pela origem e normal ao vetor n = (2, 1, — 1): z = 2x + y 2x + y - z = 0 <*> (2,\, - \) • [(x, y, z) - (0, 0, 0)] = 0. Tal plano é determinado pelas retas é uma reta situada no plano yz, enquanto h> = 0 jz = 2x está situada no plano xz. ■ EXEMPLO 3.0 gráfico da função afim / dada por z = ax+by + cé um plano normal ao vetor n = (a, b, — 1). Tal plano é determinado pelas retas . e P* 0 . yz = by + c yz = ax + c. EXEMPLO 4. Desenhe as curvas de nível d ef(x,y)=x + y . Solução Observamos, inicialmente, que a imagem de fé o conjunto de todos os reais z 2* 0. Seja, então, c 3= 0. A curva de nível correspondente a z = cé 2 2 f(x, y) = c ou x + y = c. Assim, as curvas de nível (c > 0) são circunferências concêntricas de centro na origem. Sobre 2 2 cada curva de nível x + y = c a função assume sempre o mesmo valor c. A curva de nível correspondente ac = 0 é o ponto (0, 0). z=c 154 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 5. Esboce o gráfico de f(x, y) = x 2 + y 2 . Solução fx = 0 la _ 2 localizada no plano . - A interseção do gráfico de/com o plano x = 0 é a parábola yz. Por outro lado, a interseção do gráfico de/com o plano z = V (c > 0) é a circunferência z — c 2 2 _ c de centro no eixo z e localizada no plano z — c. Assim, o gráfico de/é ob¬ tido girando, em tomo do eixo z, a parábola íx = 0 2 ■ (Por quê?) O gráfico de/é um parabolóide de rotação. Observe que a curva de nível /(x, y) = c nada mais é que a projeção no plano xy da interseção do gráfico de /com o plano z = c. m Observação. O gráfico da função dada por z denominada parabolóide elíptico. Se a = b. x 2 v 2 = —(a > 0 e b > 0) é uma superfície a 1 b z temos o parabolóide de rotação. EXEMPLO 6. Seja/ a função dada por z = —~~ x z + y l a) Determine o domínio e a imagem. b) Desenhe as curvas de nível. c ) Esboce o gráfico. Solução a) Dj = {(x, y) e IR 2 I (x, y) + (0,0 )} elmf= {z G IR lz > 0}. b) A curva de nível correspondente a z = c (c > 0) é x 2 + y 2 2 ■ = c ou x + y c As curvas de nível são então circunferências concêntricas de centro na origem. Quando c tende a +oo, o raio tende a zero. Por outro lado, quando c tende a zero, o raio tende a +°°. Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 155 z = c plano z = c intercepta o gráfico de/segundo a circunferência J 2 + 2—1-0 gráfico de l y c f x = 0 fé obtido, então, girando em tomo do eixo z, a curva J _ 1 . r * a) Determine o domínio e a imagem. b) Desenhe as curvas de nível. Solução d) O domínio é o conjunto de todos (x, y), com x # 1. De/(2, y) = y, para todo y, segue que a imagem de fé IR. Assim Dy = {(x, y) £ [R 2 I x # 1} e Imf=U. b) Para cada c real, a curva de nível correspondente a z = c é x- 1 ou y = c (x — 1) (x # 1). 156 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Cada curva de nível de fé então uma reta que passa pelo ponto (1,0) e “furada” neste ponto. Como é o gráfico de/? ( Sugestão: pegue cada curva de nível de/e coloque-a na altura z = c respectiva.) Sejam z = /(x, y) uma função e A um subconjunto de Dj. Seja (x 0 , >’ 0 ) E A. Dizemos que /(x 0 , y 0 ) é o valor máximo (resp. valor mínimo) de/em A se para todo (x, y) E A f(x, y) «/(xo, >’o) (resp./(x, y) ^/(xq, >’ 0 )). Diremos, então, que (x 0 , >’o) é um ponto de máximo de/em A (resp. ponto de mínimo ). 2 2 EXEMPLO 8. Sejam/(x, y) = 2x + y e A o conjunto de todos (x, y) tais que x + y = 1. Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de /em A. Solução Para cada c real, a curva de nível de/correspondente a z = c é a reta © c = 2x + y. Indicando por c máx o valor máximo de /em A, a reta © para z = c máx deve ser tangente à circunferência. (Por quê?) Da mesma forma, para z = c mín a reta © deve ser tangente à Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 157 circunferência. Vamos então determinar c para que a reta © seja tangente à circunferência. Devemos determinar c de modo que o sistema jx 2 + y 2 = 1 \2x + y = c 2 2 tenha solução única. Substituindo y = c — 2x em x + y =1 obtemos x 2 + (c — 2x) 2 = 1 ou 5x 2 — 4cx + c 2 — 1 = 0. Para que o sistema tenha solução única, o discriminante deve ser igual a zero: 16c 2 - 20 (c 2 - 1) = 0 ou seja, • = ±V5. Assim, V5 é o valor máximo de/em A e —V5 o valor mínimo. Vamos, agora, determinar os pontos de máximo e de mínimo. O ponto de máximo é o ponto em que a reta 2x + y = Vó tangencia a circunferência. Tal ponto é a solução do sistema 2x + y = V5 -2y = 0 onde x — 2y = 0 é a reta que passa pela origem e é perpendicular a 2x + y = ~J5. O ponto . , . , / 2V5 V5 \ . ._ / 2V5 V5 . de máximo e: I ——, —— I. Deixamos a seu cargo verificar que I — —-—, — —— I e o ponto de mínimo. O próximo exemplo será utilizado posteriormente. 2xv 2 EXEMPLO 9. Seja/U y) = y , (x, y) * (0, 0). x z + y 4 a) Desenhe as curvas de nível de /. b) Determine a imagem de/. Solução a) Se c = 0, 2xy 2 x 2 + y 4 = 0-ü>;t = 0ou;y = 0. , = c <=> 2ry 2 = cx 2 + cy 4 <=> cx 2 — 2xy 2 + c>> 4 = 0. Z 1 Para c ¥= 0, 158 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Resolvendo em x obtemos 2 y 2 ± ^4_y 4 — 4c 2 y 4 2c y 2 . ( — 1 =s c =s 1, c ¥= 0). De passagem, observamos que a imagem de fé o intervalo [—1,1], (Por quê?) O valor máximo de fé 1 e é atingido em todos os pontos, diferentes de (0, 0), da parábola x = y (c = 1). A curva de nível correspondente ac ¥=0, — 1 < c < 1, é constituída de todos os pontos (x, y) + (0, 0) que pertencem ou a x V 2 ou a x Observe que, à medida que c vai se aproximando de zero, a parábola de “fora”. x = 1 - Vl - c 2 vai “abrindo” cada vez mais, enquanto x vai c c “fechando” cada vez mais. O valor mínimo de/é — 1 e é atingido em todos os pontos, diferentes de (0,0), da parábola x = — y 2 . Para ajudá-lo a visualizar o gráfico, vamos es¬ tudar, com auxílio das curvas de nível, a variação de / sobre a reta x = 1; o que vamos fazer, então, é estudar a variação de f(l,y) quando y varia em R: quando y varia de — 1 a 0,/(l, y) decresce, passando do valor 1 em (1, — 1) para o valor 0 em (1, 0); quando y varia de 0 a 1,/(1,>>) cresce, passando do valor 0 em (1,0) para o valor 1 em (1, 1);/(1, y) é crescente em ]— °°, — 1] e decrescente em [1, +»[. Observe que f(\,y) tende a zero para y —* +°oou;y— * — oo. Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 159 A próxima figura mostra a interseção do gráfico de/com o plano x = 1. Sugerimos ao leitor desenhar a interseção do gráfico de/com o plano x = xq, onde x$ + 0 é um real qualquer. Deu para ter uma idéia do gráfico de /? Desafio: tente desenhar ou fazer uma maquete do gráfico. b)Imf= [-1, 1], Para finalizar, observamos que a denominação curva de nível varia de acordo com o que a função/representa. Por exemplo: se fé uma distribuição de temperatura plana, (f(x, y) é a temperatura no ponto (x, y j) as curvas de nível denominam-se isotermas (pontos de mes¬ ma temperatura); se fé a energia potencial de um certo campo de forças bidimensional, as curvas de nível denominam-se curvas eqüipotenciais etc. ■ Exercícios 8.2 r. r : . 1 • . • . _ 1. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. a)f(x, y) = 1 - x 2 - y 2 b)f(x, y) = x + 3y c)z = 4x 2 + y 2 d) f{x, y) = 1 + x 2 + y 2 e)z = x + y + 1 f) g (x, y) = -Jl - x 2 - y 2 g)f(x, y) = x 2 , — 1 x =£ 0 e y 2® 0 h) f(x, y) = 1 -x 2 ,rí Oj^Oer + yS 1 160 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 t)Z = f (x, y) dada por x 2 + 4y 2 + z 2 = 1, z s= 0 m)f(x, y) = j - , x + y 2 < 1 n) z = arctg (x 2 + y 2 ) ^-* 2 -y 2 o)/(x, y) = x, x & 0 p) z = 1 - i Jx 2 + y 2 , x 2 + y 2 =£ 1 q) f(x, y) = sen x, 0 ^ x =£ ir, y s* 0 r) /(x, y) = xy, 0 =£ x =£ 1,0 ^ y ss 1 2. Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: a)f(x, y) = x-2y y_ x + y c)f{x,y) = e)z= xy g)z = 4x 2 + y 2 i ) z = b) z = d)z = x-2 x 1 />/(*. y)= x 2 - y 2 h) z= 3x 2 - 4ry + y 2 x 2 + y 2 j ) Z = xy x 2 + y 2 3. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função /(x, y) = Vot + D 2 + y 2 + V ( x - D 2 + y 2 4. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de /em A\ determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. a) f(x,y) = (x - l) 2 + (y—l) 2 + 3e/l = IR 2 . b) f(x, y) = xy e A = IR 2 . c ) f (x, y) = xy e A = {(x, y) £ IR 2 I x & 0 e y & 0}. x 2 d) f(x, y) = — - -r- eA = {(x, y) E IR 2 I (x, y) ¥= (0, 0)}. x í + y L e) f(x, y) = 2 + y 2 e A = {(x, y) £ IR 2 I x + 2y = 1}. (Sugestão: observe que g (y) = f( 1 — 2y, y), y £ R, fornece os valores de/sobre a reta x + 2y = 1.) f) f(x,y) = 2- *Jx 2 + y 2 eA = IR 2 . g) f (x, y) = xy e A = {(x, y) £ IR 2 I 4x 2 + y 2 = 1, y & 0}. 5. Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de/ em A, bem como os pontos em que estes valores são atingidos. a) f(x,y) = 2x + y + 3 e A o conjunto de todo (x, y) tais que x&0,ys0ex + y=£2. b) f(x,y) = x + y e A o conjunto de todos (x, y) tais que x s 0, y s 0, x + 2y =£ 7, 2x + y =£ 5 e y s x - 1. y c) / (x, y) = -e A o conjunto de todos (x, y) tais que —1 SxSOel s y s 2. x - 1 d)f(x,y) = y e A o círculo (x - 3) 2 + (y - l) 2 «= 1. x - 1 Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais 161 6. Um ponto P descreve uma curva sobre a superfície z = xy de modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a curva x = 5 — t, y = r + 3ez = 0. Determine as alturas máxima e mínima (em relação ao plano xy) quando r percorre o intervalo [0, 4]. 2 2 7. Um ponto P descreve uma curva sobre o gráfico da função/(x, y) = x + y de modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a reta x + y = 1. Determine o ponto da curva que se encontra mais próximo do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P.) x 2 8. Seja/(x, y) = — -—. Desenhe a imagem da curva y(t) = (x (t), y (t), z(t)) onde x = R cos t, x L + y L y = R sen t e z = f{x ( t ), y (r)) (R > 0). Como é o gráfico de f! 9. Mesmo exercício que o anterior para a função/(x, y) = —-—. ’ x 2 + y l 10. Sejam/(x, y) = xy e y (f) = ( at, bt,f{at, bt)). Desenhe a imagem de y sendo a) a = 0 e b = 1. b) a = 1 e b = 1. c) a = 1 e b = 0. d) a = —leb= 1. 11. Como é o gráfico de /(x, y) = xy? 2 2 12. Suponha que T (x, y) = 4x + 9y represente uma distribuição de temperatura no plano xy : T (x, y) é a temperatura, que podemos supor em °C, no ponto (x, y). a) Desenhe a isoterma correspondente à temperatura de 36°C. b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da reta x + y = 1. 13. Suponha que T (x, y) = 2x + y (°C) represente uma distribuição de temperatura no plano xy. a) Desenhe as isotermas correspondentes às temperaturas: 0°C, 3°C e — 1 °C. b) Raciocinando geometricamente, determine os pontos de mais alta e mais baixa temperatura 14. Duas curvas de nível podem interceptar-se? Justifique. 8 . 3 . Funções de Três Variáveis Reais a Valores Reais. Superfícies de Nível Uma função de três variáveis reais a valores reais, definida em A C R 3 , é uma função que associa, a cada tema ordenada (x, y, z) E A, um único número real w = /(x, y, z). O gráfico de tal função é o conjunto G f = {(x, y, z, w) E R 4 I w = /(x, y, z), (x, y, z) E A}. O gráfico de fé então um subconjunto do [R 4 , não nos sendo possível, portanto, representá- lo geometricamente. Para se ter uma visão geométrica de tal função, podemos nos valer de suas superfícies de nível. Seja c E /m/o conjunto de todos os pontos (x, y, z) E A tais que /(x, y, z) = c denomina-se superfície de nível correspondente ao nível w = c. EXEMPLO 1. Seja / (x, y, z) = y. Para cada real c, a superfície de nível correspondente a w = c é o plano y = c. 162 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 2. As superfícies de nível de/(x, y, z) = x 2 + v 2 + 2 são superfícies esféricas de centro na origem x 2 + y 2 + z 2 = c. A superfície de nível correspondente a c = 0 é o ponto (0,0,0). ■ Exercícios 8.3 — 9 Limite e Continuidade 9.1. Limite Esta seção é quase que uma reprodução dos tópicos abordados no Cap. 3 sobre limite de funções de uma variável real, razão pela qual a maioria dos resultados será enunciada em forma de exercícios. 2 Definição. Sejam/: A C IR —» IR uma função, (x 0 , }’q) um ponto de acumulação de A e L um número real. Definimos lim /(x, y) = L U, y) — Ucyo) Para todo e > 0, existe 5 > 0 tal que, para todo (x, y)EDf, 0 < ll(x, y) - (x 0 , ^o) 11 < 5 => l/(x, y) - L\ < e lim / (x, y) = L significa: dado e > 0, existe 5 > 0 tal que/(x, y) permanece em (x, y) — Uo, yo ) ]L — e, L + e[ quando (x, y), (x, y) + (x 0 , >’ 0 ), varia na bola aberta de centro (xq, >’ 0 ) e raio 5. Observaçao. De agora em diante, sempre que falarmos que / tem limite em (x 0 , >’ 0 ), fica implícito que (xq, }’q) é ponto de acumulação de Dj. 164 Um Curso de Calculo — Vol. 2 EXEMPLO 1. S ef(x,y) = ké uma função constante, então, para todo (x 0 , >’ 0 ) em 0? , lim k = k. (x,y) — (x 0 ,y 0 ) Solução I/(jc, y) — A:I = IA: — /cl = 0; assim, dado e > 0 e tomando-se um S > 0 qualquer, 0 < II (.x, y) - (x 0 , y 0 ) II < 5 => I l/(x, y) - k I < e. Logo, lim f(x, y) = lim k = k. m (x, ;y) —Uo.^o) (*, y) -» (x 0 . %) EXEMPLO 2. Se f(x, y) = x, para todo (xq, >’ 0 ) G IR 2 , lim f(x,y ) = lim x = xq. (x, y)-*(x 0 ,y 0 ) (x.y)-(x, 0 ,y 0 ) Solução Para todo (x, y) em R 2 ,1 x — x 0 I =£ II (x, y) — (x^, yp) II. (Verifique.) Então, dado e > 0 e tomando-se 5 = e vem: 0 < II (x, y) - (x^, y 0 ) II < 8 => I x - x 0 I < e ou seja, O < II (x, y) - (Xq, y 0 ) II < S => l/(x, y) - x 0 I < e. Logo, lim x = x 0 . (X, y) — (x 0 ,y 0 ) ■ 2 _ 2 EXEMPLO 3./(x, y) = tem limite em (O, 0)? Justifique. x l + y A Solução Inicialmente, vejamos como se comportam os valores/(x, y) para (x, y) próximo de (0,0). Sobre o eixo x temos:/(x, 0) = l.x^O. Sobre o eixo y, /(O, y) = — l.y^O. Limite e Continuidade 165 O estudo anterior nos mostra que não existe número L tal que /(x, y) permaneça próximo de L para (x, y) próximo de (0, 0); este fato indica-nos que/não deve ter limite em (0,0) e não tem mesmo, pois, qualquer que seja L, tomando-se e = tem-se: se L =s 0,1 f(x, 0) — L I 2= para todo x ¥= 0; se L > 0,1/(0, y) — L I 2* — para todo y i= 0. Assim, para todo real L, a afirmação “V e > 0, 3 8 > 0, (x, y) £D / ,0< II (x, y) - (0, 0) II < 5 => I/(x, y) - L I < e” é falsa. ■ Quando tivermos que provar que determinados limites não existem, o próximo exemplo poderá nos ajudar. 2 EXEMPLO 4. Suponha que lim /(x, y) = L. Seja y uma curva em IR , contí- ( x , y ) — (jto.%) nua em t 0 , com y (t 0 ) = (x 0 , yo) e > P ara 1 ^ T ( ? ) ^ ( x 0 ’ ^o) com J ( ? ) ^ Df P rove que lim /(y(/)) = L. ' — 'o Solução De lim /(x, y) = L segue que dado e > 0, existe Sj > 0 tal que (*,;y) —Uo.yo) © 0 < II (x, y) - (xq, y 0 ) II < 5, => l/(x, y) - L I < e. Sendo y contínua em í 0 , para todo > 0 acima, existe 8 > 0 tal que I í - í 0 I < ô => II y (í) - y (í 0 ) « < ô, e, portanto, tendo em vista y (t) ¥= (x 0 , yo) para t + r 0 > © 0 < 1 1 - íq I < 8 => 0 < II y (?) - (x 0 , y 0 ) II < S,. De © e @ segue ou seja, 0 < Ir - r 0 l < ô=>l/(y(r» - L I < e lim /(y(r» = L. m t — to 166 Um Curso de Calculo — Vol. 2 Observação. Sejam y i e y 2 duas curvas nas condições do Exemplo 4. Segue do exemplo anterior que se ocorrer (D lim = e lim /(y2(0) = ^ I — <0 < — 'o com L] + Z^, então, lim f(x, y) não existirá. Da mesma forma, tal limite não (x, y)->(x 0 ,y 0 ) existirá se um dos limites em (3) não existir. Vejamos como provar que lim 2 2 — y L (x, y) -* (0,0) X 2 + y 2 não existe (Exemplo 3) utilizando a 2 2 Jv — observação acima. Sejam y\ (í) = (t, 0) e y 2 (t) = (0, t). Seja f(x, y) = —-- —• Temos x z + y 1 lim /(yj (f)) = lim 4- = 1 r — 0 í — o r lim /(y 2 (0)= lim -r-=-l. r — O f — o r Logo, lim 2 2 Ar — y (x, y) - (0, 0) X z + y 1 não existe. Observamos que continuam válidas para funções de duas variáveis reais a valores reais as seguintes propriedades dos limites cujas demonstrações são exatamente iguais às que fizemos para funções de uma variável real (reveja o Cap. 3 do Vol. 1). 1. (Teorema do confronto.) Se f(x, y) =£ g (x, y) =£ h (x, yjparaO < II (x, y) — (xq, y 0 ) II < r e se então lim f(x,y)=L= lim h(x, y) (j:. y) — (jt 0 . y 0 ) (*, y) -» (x 0 , %) lim g(x, y) = L. Cr, ^ — (xo.^o) 2. Se lim f(x, y) = 0 e se I g (x, y) I ^ M para 0 < II (x, y) — (x«, y 0 ) II < r, (x, y) —(x 0 , y 0 ) onde r > 0 e M > 0 são reais fixos, então lim f (è (x, y) — (x 0 ,y 0 ) / P limitada y) \g U y) = 0 lim /(x, y) = 0 lim //(x, y)/=0. (x, y) — (x 0 , y 0 ) (r, y) -*• (x 0 . ^o) 3 . Limite e Continuidade 167 4. lim f(x, y) = Lo lim [/(■*, y)~ L] = 0. (x, y) — (x 0 , y 0 ) (x, y) — (x 0 , y 0 ) 5. lim /(x, y) = Lo lim /(xo + h, yo + k) = L. (x,y) — (x 0 ,y 0 ) (h, k) — ( 0 , 0 ) 6. Se lim /(x, y) = L l e lim g(x, y) = L 2 , então, (x,y) — (x 0 ,y 0 ) <,x,y) — (x 0 ,y 0 ) a) lim [/(x, >’) + g (x, y) ] = L, + L 2 . (x,y) — (x 0 ,y 0 ) b) lim kf(x,y) = kL j. (k constante) (j:, >-) — (-To, yo) c) lim f(x, y) g (x, y) = L (*, y) —* (j: 0 , ^o) d) lim ^ X ’ ^ desde que L 2 + 0. (x,y) — (x 0 ,y 0 ) g(x,y) Li 7. (Conservação do sinal.) Se lim /(x, y) = L, L > 0, então existirá 5 > 0, tal (*. y) — (x 0 ,y 0 ) que, para todo (x, y) G Dy, 0 < II (x, y) - (xq, y 0 ) II < 8 =>f(x, y) > 0. EXEMPLO 5. Calcule, caso exista, lim —=-~ U,y)-(0,0) x 2 + y 2 Solução X 2 + y 2 x ■ x 2 + y 2 lim x = 0 e (*,?)-( 0 , 0 ) x 2 + y 2 1, para todo (x, y) =L (0,0). Assim, limitada 0 lim (jr,y)-(0,0) x 2 + y 2 * 3 lim f-A (x, y) - (0,0) \jç 2 + y 2 = 0 . EXEMPLO 6. Calcule, caso exista, lim —= - tt- (x,y) — (0,0) x 2 + y 2 Solução x 2 +y 2 Seja/(x, y) = e tomemos y l (?) = (0, t) e y 2 (t) = (t, t). 168 Um Curso de Calculo — Vol. 2 lim /(yi(f))= lim t — 0 O 2 t — o O 2 + t : = 0 lim /( 72 ( 0 )= lim t — o t — 0 t 2 + t 2 2 Logo, lim —x- ~- (x,y)-( 0,0) X 2 + y 2 não existe. CUIDADO : x 2 + y 2 não é limitada! Exercícios 9.1 1. Calcule, caso exista. à) lim (X. y) - (0, 0) x 2 + y 2 c ) lim . =■ (*. y) - (0, 0) ^JC 2 + y 2 e) g ) lim xy(x - y) (x, y) -* (0, 0) x 4 + y 4 lim (x. y) - (0, 0) y - X 3 2xy 2 b) d) f) h) lim 11111 r (x. y) - (0, 0) ^ lim x 2 + y 2 (x, y) -• (0, 0) X 2 + y 2 ,. x + y hm - (x. y) - (0, 0) X - y lim xy (x, y) - (0.0) x 2 - y 2 2. Seja f(x, y ) = —* - j- (veja Exemplo 9 — Seção 8.2). X a 4- y 4 2 2 a) Considere a reta y ( t ) = (aí, bf), com a + b >0; mostre que, quaisquer que sejam a e b, lim /(y(r)j = 0. ( — 0 Tente visualizar este resultado através das curvas de nível de /. b) Calcule lim /(ô(rj), onde 8 (r) = (r 2 , r). r —0 (Antes de calcular o limite, tente prever o resultado olhando para as curvas de nível de/.) 2xy 2 c) lim (X, y) - (0, 0) x z + y existe? Por quê? 3. Sejam y\ e y 2 curvas satisfazendo as condições do Exemplo 4. A afirmação: lim /(x, y) = L" t — C (x, y)-*-(x 0 ,y 0 ) lim /( 7 i (fj) = lim f(y 2 (t)) = L f 0 f “* r 0 é falsa ou verdadeira? Justifique. f(x + h, y + k) ~ f (x, y) - 2xh - k 4. Calcule lim (/., k) - (0. 0) 5. Calcule, caso exista, lim II (A, Jtjll f(h. k) , onde / (x, y) = x 2 + y. onde/é dada por/(x, y) = —-—. (h, k) -»(o. 0 ) ll(A, Jtjll x 2 + y 2 Limite e Continuidade 169 6. Suponhaque lim f(x, y) = ae lim g (u) = L, com g não-definida em a e ImfC D„. (x, y)-*(x 0 ,y 0 ) u -* a Prove que lim g (J(x, y)) = lim g («). (j:, y) (jt 0 , > 0 ) u — a Prove, ainda, que o resultado acima continua válido se supusermos g definida em a, com g con¬ tínua em a. 7. Calcule lim sen(x 2 + y 2 ) (x, y) — (0,0) x 2 + y 2 8. Seja f(x, y) = [(_1_ l x 2 +y 2 ~\j 0 se x 2 + y 2 < 1 se x 2 + y 2 & 1 Calcule (*, y) - lim (M) /(*. y) x 2 + y 2 - r 9.2. Continuidade Definição. Seja /uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (xq, >’ 0 ) G Dp com (xq, >’q) ponto de acumulação de Dp Definimos: / continua em (x Q , >> 0 ) <=> lim f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) (X, y) — (x 0 , y 0 ) Se/for contínua em todos os pontos de um subconjunto A de Dp diremos que/é continua em A. Diremos, simplesmente, que fé continua se o for em todos os pontos de seu domínio. EXEMPLO 1. A função constante f(x, y) = ké contínua, pois, lim f(x,y) = k=f(x 0 ,y 0 ) ( x , y) — (x Q , y Q ) 'y para todo (x 0 , y 0 ) em IR . (veja Exemplo 1, Seção 9.1.) ■ EXEMPLO 2. A função f(x,y) = xé contínua, pois, lim f(x, y)= lim x = x 0 = f(x 0 , y 0 ) (Jc, y)-*(x 0 ,y 0 ) (x, y)(x Q , y Q ) 2 para todo (xq, >’ 0 ) em R . (Veja Exemplo 2, Seção 9.1.) ■ EXEMPLO 3. A função f(x, y) = Justifique. c 2 p y2 se ( x ' ^ ® é contínua em (0, 0)? jC- + y‘ 0 se (x, y) = (0, 0) 170 Um Curso de Calculo — Vol. 2 Solução Tomando-se yj (?) = (?, 0) e y 2 (?) = (0, ?) vem, lim /(yi(?))= lim 4- = 1 t -» 0 t — 0t z lim /(y 2 (?)) = lim —^- = -1. f -* 0 f — 0 ? z Logo, lim /(x, y) não existe, e, portanto,/não é contínua em (0, 0). ■ (x.yl-tO.O) O próximo teorema nos diz que se g ( u ) e /(x, y) forem contínuas e se Imf CL D g , então a função composta h (x, y) = g (f (x, y)) também o será. 2 Teorema 1. Sejam/:AC R ->Re^:BClR->H duas funções tais que Imf CL D g . Se / for contínua em (x 0 , yo) e 8 contínua em/(x 0 , yo), então a composta h ( x , y) = g (f (x, y)) será contínua em (xq, y 0 ). Demonstração Como g ( u) é contínua em/(x 0 , >’q), dado e > 0, existe > 0 tal que © I k ~ /C*o, yo ) 1 < 5] => i g («) - g (f(x 0 , y 0 )) I < e. Sendo/contínua em (x 0 , >’q), para o5| >0 acima, existe 5 > 0 tal que © II (x, y) - (xq, y 0 ) II < ô => I / (x, y) - /(xq, y 0 ) < < De © e @ resulta, II (x, y) - (xq, y 0 ) II « 5 => I g (f(x, y)) - g (f(x 0 , y 0 )) I < e; logo, h (x, y) = g (f(x , >’)) é contínua em (x 0 , yo)- ■ Como conseqüência deste teorema, segue que se g (x) for contínua, então a função h dada por h (x, y) = g (x) também será contínua. De fato, sendo /(x, y) = x, teremos h (x, y) = g (f (x, y)), com g e/contínuas. EXEMPLO 4. h (x, y) = x 2 é contínua em IR 2 , pois g (x) = x 2 é contínua em R. ■ EXEMPLO 5. Sendo/(x, y) contínua, as compostas sen/(x, y), cos/(x, y), [/(x, y) ] etc. também serão. ■ 2 2 Teorema 2. Sejam /: A C R —» R uma função ey:/^R uma curva tais que y (?) EA para todo ? E /. Se y for contínua em ? 0 E / e /contínua em y (? 0 ), então a composta g (?) = /(y (?)) será contínua em ? 0 . Limite e Continuidade 171 Demonstração Fica a cargo do leitor. Sejam /(x, y) e g (x, y) contínuas em (x 0 , y 0 ) e seja k uma constante. Segue das proprieda¬ des dos limites que/ + g, kfef-g são, também, contínuas em (x 0 , y 0 ). Além disso, se / g (xq, }’q) i= 0, então — será, também, contínua em (x 0 , >’ 0 ). ■ g EXEMPLO 6. Seja f(x,y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) * (0, 0) se (x, y) = (0, 0). Determine o conjunto dos pontos de continuidade de/. Solução Nos pontos (x, y) + (0, 0) podemos aplicar a propriedade relativa a quociente de fun¬ ções contínuas, pois, x 3 e x 2 + y 2 são contínuas e x 2 + y 2 não se anula nestes pontos. Para estudar/com relação à continuidade no ponto (0, 0) precisamos primeiro ver o que aconte¬ ce com o limite de/neste ponto. lim /(x, y) = lim — =-=- = lim x • —=-=- = 0. (X, » — (0,0) (x,.y)-(0,0) x 2 + y 2 (x, y) -»(0,0) x 2 + y 2 I Observe que lim x = 0 e l (x,y)-(0,0) lim f(x, y) = 0 =/(0,0). (x, y) -» (0,0) Conclusão: fé contínua em IR . ■ Sejam agora,/: A C IR 2 —» IR, g, h: B C IR 2 —»IR três funções tais que (g (x, y), h (x, >’)) E A, para todo (x, y) E B. Sem nenhuma dificuldade, demonstra-se que segeh forem contínuas em (x 0 , >' 0 ) e/contínua em (g (xq, y 0 ), h (xq, >' 0 )), então a composta/(g (x, y), h (x, >■)) será, também, contínua em (x 0 , y 0 ). Este resultado, bem como os teoremas 1 e 2, são casos parti¬ culares de um teorema mais geral sobre continuidade de funções compostas, que não enun¬ ciaremos aqui. Exercícios 9.2 — x 2 + y 2 1 para todo (x, y) + (0, 0). Assim 1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta. à)f(x, y) = 3xV - 5xy + 6 b)f{x, y) = ^6 - 2x 2 - 3y 2 x-y c)/(x, y) = ln x 2 + y 2 d)f(x, y) = 172 Um Curso de Calculo — Vol. 2 í x-3y e)f(x,y) = | x 2 + y 2 0 se (x, y) # (0, 0) se (x, y) = (0, 0) f)f(x, y) = ' sen (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 se (x, y) # (0, 0) se (x, y) + (0, 0) g)f(x,y) = se r < 1 onde r = II(jc, y)ll se r 3= 1 f xy 2 2. f(x, y) = J x 2 + y2 se ^ x ' ^ ^ ^ é contínua em (0, 0)? Justifique. [o se (x , y) = (0, 0) 3. Prove que se/for contínua em (x 0 , y 0 ) e se f(x 0 , y 0 ) > 0, então existirá r > 0 tal que f(x, y) > 0 para II (x, y) - (x 0 , y 0 ) II < r. 2 4. Seja A um subconjunto do IR que goza da propriedade: quaisquer que sejam (xq, \’q) e (x ( , y ( ) em A, existe uma curva contínua y: [a, b} —» A tal que y(a) = (xq, >' 0 ) ey(b)= (xj, y j). Prove que se / for contínua em A e se /(xq, y 0 ) < m y n )) n j, 0 converge a (x, y) se, dado e > 0, existe um natural n 0 tal que n>n 0 => II (x„, y„) - (x, y) II < e. Suponha que/(x, y) seja contínua em (x, y), que ((x n , y„))„ ^q convirja para (x, y) e que (x n , y n ) E Di para todo n 3* 0. Prove que a seqüência dada por a n = f(x n , y n ) converge para / Ü. >')• 7. Suponha/contínua no retângulo A = {(x, y) E IR a s x s a =£ y /3}. Prove que fé limitada neste retângulo, (f limitada em A significa que existe M > 0 tal que I/(x, y) I =£ A/em A.) (Sugestão: suponha, por absurdo, que/não seja limitada em A. Então, existirá (xj, y t ) em A tal que 1/ (X|, y |) I > 1. Tomando-se o ponto médio de cada lado, divida o retângulo A em 4 retân¬ gulos iguais; em um deles, batizado A 2 ,/não será limitada, logo existirá (x 2 , y 2 ) £ A 2 tal que l/(x 2 ,y 2 ) • > 2 etc.) 8. (Teorema de Weierstrass.) Seja/como no Exercício 7. Prove que/assume em A valor máxi¬ mo e valor mínimo. (Sugestão: veja Apêndice A2.4 — Volume 1.) 10 Derivadas Parciais 10.1. Derivadas Parciais Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x 0 , y 0 ) G Dj. Fixado y 0 , podemos considerar a função g de uma variável dada por g(x) =f(x,y 0 ). A derivada desta função no ponto x = x 0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f em relação a x, no ponto (xq, y 0 ) e indica-se com uma das notações: df , -7-{xQ,yo) ou dx dz dx y = y 0 r) f Assim, — (xq, yn) = g' (x 0 ). De acordo com a definição de derivada temos: dx df . «W-«(JI0) — (-*0’ yo)= § (*o) = lim dx X - xo ou seja, (*0- yo) = dx lim f(x, yo) - f(x o, y 0 ) x — Xq X - Xq ou, ainda, J~x {X °’ yo) li m /( A 'Q + Ax, y 0 ) ~ f(x Q, y 0 ) A* — 0 Aã 174 Um Curso de Cálculo — Voi 2 Seja A o subconjunto de Df formado por todos os pontos (jc, y) tais que — (jc, y) existe; df dx fica assim definida uma nova função, indicada por — e definida em A, que a cada (x, y)EA d f d x associa o número — (x, y), onde dx hm /<* +^. ?)-/(». r) dx \x -* 0 Ax Tal função denomina-se função derivada parcial de l. a ordem de f em relação a x, ou, sim¬ plesmente, derivada parcial de f em relação a x. De modo análogo, define-se derivada parcial de f em relação a y, no ponto (xq, y 0 ) que se indica por (xq, y 0 ) ou x = *o : dy dy y = y 0 lim /(-«o.y)-/(-«o.») dy y^y 0 y~ yo i/ (%Jo)= lim dy Ay -»0 Ay Para se calcular — (x 0 , y 0 ) fixa-se y = y 0 em z = f (x, y) e calcula-se a derivada de dx r) f r) f g (x) =/(x, y 0 ) em x = x 0 : — (x 0 , yo) = g' (xq). Da mesma forma, — (x, y) é a derivada, dx dx f) f em relação a x, de/(x, y), mantendo-se y constante. Por outro lado, — (x, y) é a derivada, dy em relação a y, de/(x, y), mantendo-se x constante. EXEMPLO 1 . Seja/(x, y) = 2xy - Ay. Calcule: a) a -fa.y) dx dx b) (x, y) dy dy Solução a) Devemos olhar y como constante e derivar em relação ax: - 7 ^ (*> y) = - 7 - (2Jty - 4y) = 2y dx dx ~~ (2xy) = 2y e ^-(-4y)=0. dx dx Derivadas Parciais 175 Por limite: (*,,)= lim + dx \x -* 0 A* = lim Ax-0 = 2y. 2(x + Ax)y — 4 y — 2 xy + 4 y b) Devemos olhar x como constante e derivar em relação a y: -f- C x , y) = 4- (2xy - 4y) = 2x - 4. dy dy 2 í ?f c) Conforme a, para todo (x, y) em IR , — (x, y) = 2y. Daí dx ^-ü, D =2. dx Assim, — (1, 1) = 2. dx 2 df d) Conforme b, para todo (x, y) em IR , — (x, y) = 2x - 4. Logo dy àjf_ dy (-1, 1) = -6. 2 2 EXEMPLO 2. Considere a função z = /(x, >’) dada por z = arctg (x + y ). Calcule: a) dz dx b) dz dy X — 1 y -1 x = 0 y = o Solução , dz d 2 a) — = — (arctg (x dx dx + y 2 )) = -r <* 2 + y 2 ) (?X _ 1 + (x 2 4- y 2 ) 2 ’ ou seja, dz _ 2x dx 1 + (x 2 + y 2 ) 2 b ) = T" f arct ê (* 2 + >" 2 )) dy dy \ / y,/(x, y)) = 0. Por exemplo, a função z = J1 — x 2 — y 2 , x 2 + y L < 1, é dada impli- 2 2 2 Y citamente pela equação x + y + z =1, pois, para todo (x, y) no seu domínio, x 2 + y 2 + (tJ 1 — x 2 — y 2 ) 2 = 1. As funções z = -^1 — x 2 — y 2 , x 2 + y 2 ^ 1, e z = —tJi — x 2 — y 2 , x 2 + y 2 ^ 1, são também, dadas implicitamente pela equação x 2 + y 2 + 2 — 1 (verifique). 2 2 2 EXEMPLO 3. Sendo z =f(x,y) dada implicitamente por x +y +z = 1, z > 0, calcule: , dZ a) T âx Solução dy d) z = sj 1 — x 2 — y 2 , x 2 + y 2 < 1. Assim, — = t(1"X 2 ~y 2 ) 2 (-2x) âx 2 ou seja, dz âx + y 2 < 1. Poderíamos, também, ter chegado ao resultado acima trabalhando diretamente com a equa¬ ção x 2 + y 2 + 2 = 1: d 2 2 2 â — (*+/ + *) = — (i); d 2 2 d 7 d 2 dz dz d como — (x 2 + y) = 2x, — [ z 2 ] = — [ z 2 ] • — = 2z — e —- (1) = 0, resulta: âx âx dz dx âx âx 2x + 2z — = 0 âx Derivadas Parciais 177 ou seja, dz dx X z v'i - -< 2 - r -,x 2 + y 2 z — 2z # 0. ■ EXEMPLO 6. Seja 0 : IR —> IR uma função de uma variável e derivável. Considere a fun¬ ção g dada por g (x, y) = (x + y). Verifique que (1.1). is.<1,1). âx ây Solução 8 (x, y) = ( u ) onde u = x 2 + y 2 . Então, — (x, y) = ' ( u ) —, ou seja, âx âx d -f 0r, y) = 4>' (X 2 + y 2 ) 2x. âx â £ 2 2 2 2 Da mesma forma, — (x, y) = ' (x 2 + > 2 ) 2y. Assim, 4^(1. D = 2 0' (2) = ^-(1,1). ■ âx ây Observação. Se no exemplo anterior a função 4> fosse, por exemplo, a função seno, teríamos g (x, y) = sen (x 2 + y 2 ) e, assim, — (x, y) = sen' (x 2 + y 2 ) — (x 2 + y 2 ) = 2x cos (x 2 + y 2 ) âx âx âg . , 2 , 2, â 2 , 2, - .2.2, e — (x, y) = sen (x + y ) — (x + y ) = 2y cos (x + y ). ây ây Derivadas Parciais 179 EXEMPLO 7. Seja /(x, y) = 3 2 x J “ y X T^2- 56 <*’ * < 0 ’ °). Determine se (x, y) = (0, 0) dy Solução a) Nos pontos ( x , y) + (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente àf 3x 2 (x 2 + y 2 ) - (x 3 - y 2 )2x dx {X ' y) (x 2 +y 2 ) 2 ou seja, Em (0, 0) d_j_ dx d£ _ x 4 + 3x 2 y 2 + 2xy 2 dx ' y> (x 2 +y 2 ) 2 (0,0) é a derivada, em x = 0, de g (x) = f(x , 0). f(x, 0) = |q assim, g (x) = /(x, 0) = x, para todo x; segue que x se x # 0 se x = 0 ÍL dx (0, 0) = g 1 (0) = 1. d f Poderíamos, também, ter calculado —— (0,0) por limite: dx ^(0,0) = lim . Um £ = !. dx x —* 0 X — 0 i-*0 X d f 2 Assim, —— é a função de IR em R dada por dx dx (X, y) = 1 + 3x 2 y 2 + 2xy 2 (x 2 + y 2 ) 2 se (x, y) * (0, 0) se (x, y) = (0, 0) â i <,,)=- dy 2x 2 y(l + x) (x 2 4- y 2 ) 2 b) Para (x, y) # (0, 0) 180 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Em (0, 0) n x — (0,0) é (caso exista) a derivada, em y = 0, de h (y) = /(O, y); dy f (0, y) f — 1 se y # 0 |0 se y = 0 n x assim, h (y) não é contínua em y = 0, logo, h' (0) não existe, ou seja, — (0,0) não existe. dy r) f Segue que — está definida em todo (x, y) + (0, 0) (mas não em (0, 0)) e é dada por dy y- (*. y ) dy 2x 2 y(l + x ) (x 2 + y 2 ) 2 ' EXEMPLO 8. Sejay: IR 2 —> IR tal que (x, y) = 0 para todo (x, y) em IR 2 . Prove que / dx não depende de x, isto é, que existe (y), para todo (x, y) E R . Solução Fixado um y qualquer, a função h (x) = /(x, y) é constante em R, pois, para todo x, r) f h' (x) = — (x, y) = 0. Segue que, para todo x, dx h(x) = h (0) ou seja, /(x, y) =/(0, y). Como y foi fixado de modo arbitrário, resulta que/(x, y) = /(0, y) se verifica para todo (x, y) em R . Tomando-se

’) = /(0, y) teremos para todo (x, y) /(x, y) = (y) EXEMPLO 9. (Interpretação geométrica .) Suponhamos que z=f(x, y) admite derivadas parciais em (xq, >’o) ED^O gráfico da função g (x) = /(x, y 0 ), no plano x' y 0 z' (veja figu- ■3 X ra), é a interseção do plano y = y 0 com o gráfico de/, — (xq, yo) é, então, o coeficiente dx angular da reta tangente T a esta interseção no ponto (xq, yo,/(x 0 , yo)): (^o> >'o) = «• Interprete você ~ (x 0 , y 0 ). ■ dx dy O exemplo seguinte mostra-nos que a existência de derivada parcial num ponto não implica a continuidade da função neste ponto. Derivadas Parciais 181 EXEMPLO 10. Mostre que a função f(x, y ) = x 2 + y 2 se ( x , y) ¥= (0, 0) |0 se (x, y) = (0, 0) admite derivadas parciais em (0, 0), mas não é contínua neste ponto. Solução ^(0,0) = lim =Q dx x —0 x ^(0,0) = lim / (0 . ’ y) / (0 ’ 0) = o. dy j-0 Assim,/admite derivadas parciais em (0,0). Vamos mostrar, a seguir, que/não é contínua em (0, 0). A composta de /com a reta y dada por y (?) = (?, ?) é «(?)=/(?,?) = se ? # 0 (O se ? = 0 Como y é contínua em ? = 0 e a composta g (?) = /(?, ?) não é contínua em ? = 0, resulta que /não é contínua em (0,0). (Por quê?) O exemplo anterior mostra-nos ainda que a mera existência das derivadas parciais de /num ponto ( xq , y 0 ) não implica a derivabilidade em ? 0 da composta g (?) = f(y(t)), onde yé uma curva suposta diferenciável em ? 0 e y (? 0 ) = (x 0 , >’o). No exemplo anterior,/admite deriva¬ das parciais em (0,0), y (?) = (?, ?) é diferenciável em ? = 0, mas a composta g (?)=/( y (?)) não é diferenciável em ? = 0. Do que vimos acima, resulta que a existência de derivadas parciais num ponto ( xq , y 0 ) não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade dado para funções de uma variável real. Uma boa generalização deverá implicar a continuidade da função e a 182 Um Curso de Cálculo — Vot. 2 diferenciabilidade da composta g (?) = /(-y (?)) quando/e y o forem, porque é isso que acontece no caso de funções de uma variável. Veremos no próximo capítulo qual é a boa generalização do conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis reais. Exercícios 10.1 1. Determine as derivadas parciais a)f (x. y) = 5x 4 y 2 + xy 3 + 4 * 3 + y 2 C) Z = —-- x 2 + y 2 e) z = x ln (1 + x + y 2 ) g) f(x. y) = (4xy - 3y 3 ) 3 + 5x 2 y i ) g (x, y)=x y 0 /(*. y) = sjx 3 + y 2 + 3 b) z = cos xy d ~> /(*, y) = é~ x2 ~y 2 f)z = xye^ x h) z = arctg - y j) z=(x 2 + y 2 ) ln (x 2 + y 2 ) x sen y m) z = - - -— cos (x* + y í ) 2. Considere a função z = ^ ——. Verifique que x — + y — = z- x 2 + y 2 dx dy 3. Seja 0 : IR —» IR uma função de uma variável real, diferenciável e tal que 4>' (1) = 4. Seja g (x, y) = j. Calcule dg a) — (1, D dx b) — d, 1) dy 4. Seja g (x, y) = 4> ^ — j a função do exercício anterior. Verifique que x -2- (x, y) + y (x, y) = 0 dx dy 2 para todo ( x , y) E 1 , com y # 0. 5. Considere a função dada por z = x sen —. Verifique que y dz âz x -1 - y — = z. dx dy 6. A função p = p{V,T)é dada implicitamente pela equação pV = nRT, onde ne R são constan¬ do dp tes não-nulas. Calcule — e —. dV dT Derivadas Parciais 183 7. Seja z = e y 4> (x — y), onde

: IR —* IR uma função diferenciável de uma variável real e seja f(x, y) = (x + y )tf> — \y Mostre que àf . âf x T~ +y T =2f - dx dy 9. Sejam z = e x + y ,x = p cos 0 e y = p sen 8. Verifique que —— = e x2 + (2x cos 8 + 2y sen 8). dp Conclua que — = — cos 8 + — sen 8. dp dx dy 10. Suponha que a função z = z (jc, y) admita derivadas parciais em todos os pontos de seu domínio e 3 dz dz que seja dada implicitamente pela equação xyz + z = x. Expresse — e — em termos de x, y, z. dx dy 11. Seja z= f(x + at) onde fé uma função diferenciável de uma variável real e a uma constante. Verifique que — = a — dt dx 12. Seja z=f(x 2 2 -y ), onde f(u) é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que + x dz dy 13. Considere a função dada por w = jry + z 4 , onde z = z(x, y). Admita que — x 1 = 4 e que dx y = 1 X = 1 ? = 1 * X dw z = 1 para x— 1 ey = 1. Calcule - dx 14. Seja/(;t, y) = e 2 (2 y — x), onde é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que 15. Seja/ (x, y) ■£ df df 2 — dx dy + y 7 2 f f e~ 1 dt. Calcule — (x, >j e — (x, y). dx dy 16. Seja f(x, y) = C* e * 2 dt. Calcule — (x, y) e — (x, >'). Jx 2 dx dy 184 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 17. Seja/: IR IR uma função diferenciável e seja g (jc, y) = f(y) + / j. Verifique que dg dg X — +y — =yf'(y). dx ây 3 2 18. Seja f(x, y) = x y - 6xy + (>’)■ Determine uma função de modo que df , — = 2x 3 y - 6x + dy y y 2 + f 19. Determine uma função /(*, y) tal que df , 2 2 — = 3x L y L - by âx — = 2x 3 y - 6x + dy y y 2 + 1 df df 20. Determine — e — sendo/(x, y) = dx dy x + y 4 —i- — se (at, y) * (0, 0) x 2 + y 2 0 se (*, y) = (0, 0) 21. Seja/(*, y) = Íx 2 + y 2 -\) 0 se x 2 + y 2 < 1 se x 2 + y 2 & 1 a) Esboce o gráfico de/. df df b) Determine — e —. dx dy 22. Seja/: IR 2 —> IR dada por: /(jc, 0) = 1 + * 2 ,/(0, y) = 1 + y 2 e/ (jc, y) = 0 se x + 0 e y + 0. d) Esboce o gráfico de /. df df b) Calcule — (0, 0) e — (0, 0). dx dy c) fé contínua em (0, 0)? Justifique. df df d) — (0, 1) existe? — (1,0)? dx dx df e) Qual o domínio de — ? dx 2 2 23. Seja f(x, y) = x + y e seja y ( t ) = (f, t, z (t)), t E IR, uma curva cuja imagem está contida no gráfico de /. a) Determine z ( t ). b) Esboce os gráficos de/e y. c) Determine a reta tangente a y no ponto (1, 1,2). d) Seja T a reta do item c; mostre que T está contida no plano de equação Derivadas Parciais 185 2 2 24. Seja /(x, y) = x + y e seja y (t) = (x (r), y (r), z (t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida no gráfico de /. Suponha, ainda, y (0) = (1, 1,2). Seja T a reta tangente a y em y (0). Mostre que T está contida no plano z-/d, D= —d,i) (x- l)+ — (1, l)Cv- 1). dx dy Interprete geometricamente. 25. Suponha que z = f(x, y) admita derivadas parciais em (x 0 , y 0 ). Considere as curvas cujas ima¬ gens estão contidas no gráfico de / Ix = x 0 71 : \y = ‘ x = t Z = /(xo, t) 72 : \ y = 70 z = f(t, 70) Sejam T l e r 2 35 retas tangentes a y| e y 2 , nos pontos yy (y 0 ) e y 2 (xq), respectivamente. Mos¬ tre que a equação do plano determinado pelas retas e f 2 é d f Ô f Z - /(x 0 , 7o) = ~ (*o- 7o) (x ~x 0 )+ — (x 0 , 7o) (7 - 7o)- dx dy 26. Seja/(x, y) = 2xy 2 x 2 + 7 4 SC ' V '* ^ e seja y(t) = (t, t, z (í)), t G IR, uma curva cuja [0 se (x, 7 ) = ( 0 , 0 ) imagem está no gráfico de/. Seja T a reta tangente a y no ponto y (0). Mostre que T não está contida no plano de equação z -/( 0 , 0 ) = — ( 0 , 0 ) (x - 0 ) + — ( 0 , 0 ) (7 - 0 ). dx dy 27. Considere a função z = f(x, y) e seja (x 0 , 7 0 ) £ Dj. Como você definiria plano tangente ao gráfico de/no ponto (x 0 , 7 0 )? Admitindo que/admita derivadas parciais em (x 0 , 7 0 ), escreva a equação de um plano que você acha que seja um “forte” candidato a plano tangente ao grᬠfico de/no ponto (x 0 , 70’/(*o. 7o))- 28. Dê exemplo de uma função/: [ contínua em nenhum ponto de I df 2 ! tal que — seja contínua em U , mas que/ não seja dy b)f(x, 7 ) = 2x + 7 J df 29. Dizemos que (x^, 7 0 ) é um ponto crítico ou estacionário de z = f(x, y) se — (x^, 7 0 ) = 0 e dx df — (x 0 ,7o) = 0- Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada. dy a)f(x, y) = x 2 + y 2 c) /(x, y) = x 2 - 2x7 + 37 2 + x - 7 d) f(x, y) = x 3 + y 2 - 3 x - 37 e) f(x, 7) = 3 x 2 + 8X7 2 - 14 x - I67 f) /(x, 7) = x 4 + 4 xy + y 4 30. Seja (x 0 , 7 0 ) um ponto de Dj. Dizemos que (x 0 , 7 0 ) é um ponto de máximo local de /(respec¬ tivamente, ponto de mínimo local ) se existe uma bola aberta B de centro (xq, 7 0 ) tal que, para todo (x, 7 ) £ B Cl Dj /(x, 7 ) s/(xo, 7 0 ) (respectivamente, fix, 7 ) 3= /(xo, y 0 )). Prove que se 186 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 (*0’ >’o) ® um ponto interior de Dy-e se/admite derivadas parciais em (x 0 , >' 0 ), então uma con¬ dição necessária para que (x 0 , y 0 ) seja um ponto de máximo local ou de mínimo local é que (x 0 , >'q) seja ponto crítico de /, isto é, que df df ~r (*o- >’o) = 0 e — ^ 0 '>'o) = °- dx dy -> df df 31. Seja/: R '—* IR e suponha que — (x, y) = 0 e — (x, y) = 0, para todo (x, y) i dx dy que fé constante. . Prove 2 df df 32. Dê exemplo de uma função/: A C IR — * R tal que — (x, y) = 0 e — (x, y) = 0, para todo dx dy (x, y) E A, mas que/não seja constante em A. 2 2 33. Suponha que, quaisquer que sejam (x, y) e 0, t) em R ,1 /(x, y) — f(s, t) I =£ II (x, y) — (s, t) II . Prove que fé constante. 2 34. Seja/: A C R —* R, A aberto, e suponha que — (x, >j existe para todo (x, >') £ A. Sejam dx (xq, >>q) e (x 0 + h, >’ 0 ) dois pontos de A. Prove que se o segmento de extremidades (x^, >’ 0 ) e (x<) + h, >’ 0 ) estiver contido em A , então existirá x entre x 0 e x 0 + h tal que 35. Seja/: A CR 2 /(x 0 + h, y 0 ) “ f( x 0' yo) =-—(■*. yo ) h - dx A aberto, e suponha que/admite derivadas parciais em A. Seja (xq, j>q) E A d f d J Prove que se — e — forem contínuas em (x 0 , >>q), então/também será. dx dy (Sugestão./(x, y) -/(x Q ,y 0 ) = /(x, y) - /(xq, y) + /(x 0 , y) - /(x 0 , y 0 ) ; aplique o TVM a (I) e (II).) (D (II) 10 . 2 . Derivadas Parciais de Funções de Três ou mais Variáveis Reais Sejam w = /(x, y, z) e (xq, y 0 , Zq) 6= Df. Mantendo-se y 0 e zq constantes, podemos con¬ siderar para função g (x) = /(x, y 0 , Zq). A derivada desta função, em x = x 0 (caso exista), denomina-se derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 0 , >’o, Zq) e indica-se por df . dw — (xq, yo’ zo) ou “ x = x 0 • dX dX y=y o Z — *-0 £ -\ £ De modo análogo, definem-se as derivadas parciais (xq, y o ,Z0)e (^o> >’o- Zq). Tem-se: dy dz df lim — Uo- yo- Zo) - Ac — 0 dx df . lim — ( x 0> ^0’ Zo) - Ay — 0 dy ^f (j: o-^zo)= A !™ 0 /(xq + Ax, y 0 , zo) - /(XQ, y 0 , zp) Ax /(* 0 , yp + Ay, Zq) - /(XQ, y 0 , zp) Ay /(xq, yp, zq + Az) - /(xq, yp, zp) Az Derivadas Parciais 187 Da mesma forma, definem-se as derivadas parciais de uma função de mais de três vari¬ áveis reais. EXEMPLO. Calcule as derivadas parciais da função s = f(x, y, z, h>) dada por Solução — = fX» — (xyzw) = yzwe^ dx dx — = — (xyzw) = xzwe xyzw dy dy — = f*» — (xyzw) = xyweP 7 » dZ dz — = e xyzw (xyzw) = xyze^ 7 * (>’, z e h' são olhadas como constantes). ■ dw dw Exercícios 10.2 " ' ~ 1. Calcule as derivadas parciais. o) f(x, y, z) = x e x y z b)w = x 2 arcsen — z c)w = -—— d)f(x, y, z) = sen (x 2 + y 2 + z 2 ) x + y + z 2 2 2 2 e) s = f(x, y, z, w) dada por i = jrwln(A: + y +z + *v ) x 2. Seja/ (x, y, z) = - z -—. Verifique que x^ + y 2 - + z df df df x— + y— + z— = -/. dx dy dz 3. Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e ? w . Verifique que ds ds ds ds x -1 - y -1- z-1- w -= 0. dx dy dz dw 4. Seja/: IR —* IR contínua com/(3) = 4. Seja 8(x. + y 2 + z 4 f(t) dt. Calcule: 188 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 5. Seja/: que 6. Seja 4> '■ Calcule: dx R —* R diferenciável e seja g dada por g (x, y, z) = f(r) onde r = II (x, y, z) II. Verifique àg , dg dg _ x — + y — + z— = rf (r) dx dy dz 2 2 2 IR —*■ IR uma função diferenciável tal que 4>' (3) = 4. Seja g (x, y, z) = 4> (x + y + z )■ d, 1, D dg b) —(1, 1, 1) dy C) — d. 1. D dz 11 Funções Diferenciáveis 11 . 1 . Função Diferenciável: Definição O objetivo desta seção é estender para funções de duas variáveis reais o conceito de diferenciabilidade dado para funções de uma variável real. Vimos que, por definição, uma função/(x) é diferenciável ou derivável em x 0 se e so¬ mente se o limite, quando h tende a zero, da razão incremental f(x Q + h)~ f(x o) h existir e for finito. Esta forma não é adequada para generalização, pois se/for uma função de duas variáveis reais h será um par ordenado e, então, a razão incremental não terá sentido. Nossa tarefa a seguir é a de tentar obter uma forma equivalente à definição de diferenciabilidade e que seja passível de generalização. Supondo f(x) diferenciável em x 0 , existe um real a, a = f (jc 0 ), tal que lim /<*o + *> ~ /<«»> , 0 . A — 0 h Temos: lim /(*o + ft)~/(*o) =a< ^ lim /(*>+*)- f(xo)_zah =0 h-*0 h h Como ,. G (h) n .. G(A)_ n/ x hm -= 0 hm -= 0 (verifique) A-0 h A — 0 I h I resulta lim A-0 f(x o + h) - f(x 0 ) _ _ _ - U <=> lim A — 0 /(*0 + h) - /(x 0 ) - a/i = 0. A I Al 190 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Portanto, fé diferenciável em xq se e somente se existir um real a tal que li m /(■*() + h) - f(x o) -ah _ Q A —0 IAI Estamos, agora, em condições de definir diferenciabilidades para funções de duas vari¬ áveis reais. 2 Definição. Sejam/: A —» IR, A aberto de R , e (xq, >’ 0 ) G A. Dizemos que fé diferen¬ ciável em (x 0 , >’q) se e somente se existirem reais a e b tais que li m /(xq + h,y 0 + k)- /(x 0 , y 0 ) - ah-bk = Q (A. *) — (0.0) II (h, k) II O próximo teorema nos diz que diferenciabilidade implica continuidade. Teorema 1 . Se /for diferenciável em (x 0 , >’ 0 ), então/ será contínua em (x 0 , y 0 ). Demonstração Sendo/(x, y) diferenciável em (x 0 ,y 0 ), existem reais aeb tais que lim ^(MO = o (*,*) — (0,0) II (A, k) II onde E ( h, k)é a função dada por /(xo + h,y 0 + k ) =f(x 0 ,y 0 ) + ah + bk + E(h, k). Como lim {ah + bk) = 0 (h,k) -(0,0) lim E (h, k) = lim II (A, k) II • JíS-iJÚ- = o (A,*) —(0,0) (h, k) -»(0,0) II (A, k) II resulta lim /(x 0 + A, ;y 0 + *) =/(*o> ;yo)- (*,*)-( 0 , 0 ) Logo,/é contínua em (x 0 , >’q). Funções Diferenciáveis 191 Vamos mostrar, agora, que se /for diferenciável em (xq, y 0 ), então /admitirá derivadas parciais em (x 0 , y 0 ) e L (h, k) = ~- (x 0 , yo)h + (x 0 , yo) k dx ây será a única transformação linear que goza da propriedade 'XC Ti 1 / (x 0 + h, y 0 + k) - f (x 0 , yo) _ (*0- yo) h ~^T Uo. yo) k lim -*-*-— = 0. (A, k) -* (0, 0) ll(/l, *)ll Teorema 2. Seja/: 'A C IR 2 —»[R, A aberto, e seja (xq, >’ 0 ) G A. Se/for diferenci¬ ável em (xq, }’q), então /admitirá derivadas parciais neste ponto. Demonstração Sendo/(x, y) diferenciável em (x 0 , >’ 0 ), existem reais a e b tais que © lim (A, k) -» (0, 0) II (A, k) II onde E ( h , k) = /(x 0 + h,y Q + k) - f (x 0 , >’ 0 ) — ah - bk. Segue de © que Um E(h,0) = 1Jm /(xq +h,y 0 )-f(x Q ,y Q )-ah = Q (A, k) — (0,0) II (h, 0) II A —0 \h\ Um f(xo+h,y 0 )-f (xq, y 0 ) ~ ah _ Q A-0 h e, portanto, A -» 0 h dx De modo análogo, obtém-se b = — (xo, yo). dy Observação. Provamos acima que se Um /(xq + h, y 0 + k) - /(xq, y 0 )- ah- bk = Q (A, A)-(0,0) II (A, fc)l 192 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 então teremos necessariamente a = — (x 0 , y 0 ) e b = — (x 0 , y 0 ). Deste modo, se/(x, y) dx ây for diferenciável em (xq, y 0 ), então a = — (x 0 , y 0 ) e 6 = — (x 0 , >' 0 ) serão os únicos reais dx dy para os quais o limite acima é zero. Segue do teorema 2 o seguinte importante Corolário. Seja /(x, y) definida no aberto A C IR 2 e seja (x 0 , y 0 ) E A. Tem-se: a) f admite derivadas parciais em ( xq , y 0 ); / diferenciável em (x 0 , y 0 ) lim E (h *) = 0 . (h, *) —(0,0) II (/i, A:) II íE (h, k) = f (x 0 + h, y 0 + k) - f (x 0 , yo) ~ (*o> yo) h - ~ (x 0 , y 0 ) k\ V dx dy ) Observações 1. Segue do corolário acima que para provar que uma função fé diferenciável em (jc 0 , y 0 ) é suficiente provar que /admite derivadas parciais em (x 0 , y 0 ) e que f (x 0 + h,y 0 + k)~ f (x 0 , y Q ) - (x 0 , y 0 ) h - (x 0 , y 0 ) k lim -*-*-= 0. (A,*)-(0,0) I (h, Jfc) II 2. Se uma das derivadas parciais não existir em ( x 0 , y 0 ), então/ não será diferenciável neste ponto. 3. Se ambas as derivadas parciais existirem em (x 0 , >’o), mas se o limjfe acima não for zero, então/não será diferenciável em (jcq, yo). 4. Se/não for contínua em (xq, >’q), então/não será diferenciável em (x 0 , y 0 ). Dizemos que fé diferenciável em B C Dj se / for diferenciável em todo (x, y) G B. Di¬ remos, simplesmente, que fé uma função diferenciável se/for diferenciável em todo ponto de seu domínio. EXEMPLO 1. Prove que/(x, y) = x y é uma função diferenciável. Solução 2 2 Precisamos provar que/é diferenciável em todo (x, y) G IR (Dy=R )./admite deriva¬ das parciais em todo (x, y) G IR Z e “ (x, y) = 2xy e (x, y) = x 2 . dx dy Funções Diferenciáveis 193 Por outro lado, para todo (jc, y) em IR 2 , E(h,k) = f (x + h,y+ k)- f (jc, y)-^f (jc, y)h - (jc, y) k dx dy = (jc + h ) 2 (y + k) - x 2 y - 2xyh - x 2 k = = 2 xhk + h 2 y + h 2 k. Como, para (h, k) + (0, 0), .-=- — ^ 1, resulta Jh 2 + k 2 E ( h, k) 2xhk + h 2 y + h 2 k lim -— lim - , - ——-— (h, k) -»(0,0) II (h, k) II (M)-(0,0) yjh 2 + k 2 = lim 2xh /-7 ^ + hy ,———— + hk . ^ = 0. (/!, *) - ( 0 , 0 ) j/1 2 + * 2 i/t 2 + * 2 limitada"'-- Portanto, fé diferenciável em todo (jc, y) de IR , ou seja,/é uma função diferenciável. EXEMPLO 2. 0 se (jc, y) = (0,0) é diferenciável em (0, 0)? Justifique. Solução / não é contínua em (0,0); logo, f não édiferenciável em (0,0). Para a não-continuidade de /em (0,0), veja Exercício 2, Seção 9.1. Observe que/admite derivadas parciais em (0,0). ■ EXEMPLO 3. /u.jj-hr^r o.o) 0 se (jc, y) = (0, 0) é diferenciável em (0,0)? Justifique. Solução * (0, 0) = lim ' ( *’ 0) -' (0 ’°> = lim * = L dx x — 0 jc — 0 x — 0 ct *(0,0) = lim mZ).-/(0,0), =0 dy y -* 0 y - 0 194 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Temos E (h, k) = /(O + h, 0 + k) - f (0, 0) - — (0, 0) h - — (0, 0) k dx ây ou seja, E (h, k) = —= - y — h. Segue que h z + k l - hk 2 E ( h , k) _ h 2 + k 2 _ — hk 2 II (h, k )li Jh 2 + k 2 (h 2 + k 2 ) ^h 2 + k 2 G (h, k). Como lim G (t, t ) = lim - 7 =-não existe, resulta que i -»0 í-> 0 2 V2 Irl E (h, k) _ hm -nao existe; (h, k) — ( 0 , 0 ) II (A, k) II logo,/não é diferenciável em ( 0 , 0 ). Observação. Como lim f(x,y) = (x, y) -(0,0) lim il- x,>-)—(0,0)/ 0 n x 2 + y 2: = 0 = /( 0 , 0 ) resulta que fé contínua em (0, 0). Assim, fé contínua em (0, 0), admite derivadas parciais em ( 0 , 0 ), mas não é diferenciável em ( 0 , 0 ). Exercícios 11.1 ^ 1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis. à)f(x, y) = xy c)f(x, y) = x 2 y 2 b)f(x, y)=x + y d)f(x, y)= — xy e)f(x, y) = — f)f(x, y) = x 2 + y 2 x + y 2. fé diferenciável em (0, 0)? Justifique. 2 _ 2 a) f(x, y) = - y — se (x, y) * ( 0 , 0 ) e/( 0 , 0 ) = 0 . x L + y L 2 b) f(x, y) = -* y se (x, y) * ( 0 , 0 ) e/( 0 , 0 ) = 0 . x z + y x 4 C)f(x, y) = —j- y se (x, y) * ( 0 , 0 ) e/( 0 , 0 ) = 0 . x + y Funções Diferenciáveis 195 11.2. Uma Condição Suficiente para Diferenciabilidade Nosso objetivo, nesta seção, é demonstrar que a continuidade em A, A aberto, das deri¬ vadas parciais de uma função f garante a diferenciabilidade desta função em todos os pon- tosde A. Este resultado é bastante importante, pois, em muitas ocasiões, é mais fácil verificar a continuidade das derivadas parciais do que a diferenciabilidade diretamente pela definição. 2 Teorema. Sejam/ A C IR —* IR, A aberto, e (jcq, y 0 ) E A. Se as derivadas parciais — e — existirem em A e forem contínuas no ponto (xn, y 0 ), então/será diferenciá- dx dy vel neste ponto. Demonstração Como A é aberto, existe uma bola aberta B de centro (xq, jy 0 ), contida em A Sejam h e k tais que (x 0 + h, y 0 + k) E B. Temos f (x 0 + h, y 0 + k)- f (x o, yp) = f (xp + h,yp + k) - f (x 0 , y 0 + k) 0 ) + f (x o. yo + k)- f (x o, yp). ' (II) ^ Fazendo G (x) = f(x, y 0 + k), pelo TVM existe x, entre x 0 e x 0 + h tal que (I) = G (x 0 + h) - G (xo) = G' (x) h = (x, yp + k) h. dx Do mesmo modo, existe y entre >’ 0 c y 0 + k tal que (II) = ^-(x 0 ,y) k. dy 196 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Assim, / (x 0 + h,y 0 + k)~ f (x 0 , yo) = ~■ (*, yo + k) h + -f- (x 0 , y ) k. âx ây Subtraindo a ambos os membros da igualdade acima — (xq, yo) h + — (xo, yo) k obte- dx dy rtf rlf f (x 0 + h,y 0 + k)~ f (x 0 , y 0 ) - ~ Uo> yo) h - ~ (x 0 , y 0 ) k âx dy = ~~(x, yo + k )~~ (xo.yo) h+ (x 0 , y) - -f-(x 0 , yo) *• âx âx ây dy Segue que / Uo + h, y 0 + k) ~ f (x 0 , y 0 ) - (x 0 , y 0 )h-3L (x 0 , y 0 ) k _ âx _ ây _ II (h, k) II (*« yo + k)--j- (xq , y 0 ) A I a ! V dy te \Jh 2 + k 2 / Pela continuidade de — e — em (x 0 , yo), as expressões (III) e (IV) tendem a zero, quando dx dy (h, k) —»( 0 , 0 ), e, portanto, / (x 0 + h,y 0 + k)- f (x 0 , yo) - ~ (x 0 , yo)h- ~ (x 0 , yo) * lim -*--= 0; (A, *) — (0,0) II (/l, fc)ll logo,/é diferenciável em (x 0 , yo). ■ Seja/(x, y) uma função. Dizemos que/é de classe C 1 no aberto A se — e — forem dx dy contínuas em A. Segue do teorema anterior o seguinte Corolário. Seja f: A C diferenciável em A. 8 , A aberto. Se/for de classe C 1 em A, então/será Funções Diferenciáveis 197 EXEMPLO l.f(x, >’) = sen (x 2 + y 2 ) é diferenciável em IR 2 , pois. — = 2x cos (x 2 + y 2 ) e — = 2y cos (x 2 + y 2 ) dx dy são contínuas em IR . ■ Observação. O teorema anterior conta-nos que se / admite derivadas parciais em A e se estas são contínuas no ponto (jcq, y 0 ), então/será diferenciável em (x 0 , y 0 ). A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas neste ponto. O exemplo seguinte exibe-nos uma tal função. EXEMPLO 2. Seja f(x, y) = (<** + >*«• •»<*>>>•<*» |o se (x, y) = (0, 0) a) Determine — e —. dx dy b ) Mostre que — e — não são contínuas em (0, 0). dx dy c) Prove que/é diferenciável em (0, 0). d) Prove que/é uma função diferenciável. Solução a) — ( 0 , 0 ) = lim /(*. 0 )-/< 0 . 0 ) = lim dx x -»0 x — 0 x -*0 x 2 sen -, ou seja y U .Y . — ( 0 , 0 ) = lim xt Jsen —; = 0 . dx A-*Ü / x limitada rtf De modo análogo, — (0,0) = 0. Assim, dy dx 2x sen ■ 2x x l + y í x L + y l ■ cos x 2 + y 2 se (x, y) f ( 0 , 0 ) se(x, y) = ( 0 , 0 ) e fu.,)- dx 2y sen 0 _J_ x 2 +y 2 2x x 2 +y 2 -cos x 2 -I- y 2 se (jc, yl^fO, 0 ) se (x, y) = ( 0 , 0 ) 198 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 b) lim — (t, t) não existe. (Verifique.) Logo, — não é contínua em (0, 0). t—0 dx dx De modo análogo, verifica-se que — não é contínua em (0, 0). dy /(O + h, 0 + k) - /(0,0) — — (0, 0)h— (0,0)k (h 2 + k 2 ) sen , 1 , c) _ dx _ dy _ h 2 + k 2 ll(M)|| ■yjh 2 + k 2 jh 2 +k 2 sen 1 h 2 + k 2 ' (M)-(0,0) T Como lim -^hV+k 2 (sen i7 ' - ? = 0, resulta que/é diferenciável em(0,0). h 2 + k 2 } limitada d) fé diferenciável em todo (x, y ) + (0, 0), pois, — e — são contínuas em todo dx dy {x, y) * (0, 0). Conclusão, fé uma função diferenciável em todo (x, y) G Dj(Dj = IR ). EXEMPLO 3. Verifique que f(x, y) = é uma função diferenciável. Solução ' JC 4 —õ~.—Y se (jc, y) * (0,0) x 2 + y 2 0 se (x, y) = (0,0) e dx ( x , y) = 2x 5 + 4x 3 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 se (x, y) + (0,0) se (x, y) = (0,0) f (,.,)= dy -2x 4 y (x 2 + y 2 ) 2 0 se (jc, y) # (0,0) se(x, y) = (0,0). ní o/ 1 n/ Vamos mostrar que — e — são contínuas em R 2 ; — e — são contínuas em todo dx dy dx dy (x, y) # (0, 0), pois são quocientes de contínuas. Funções Diferenciáveis 199 Em (0, 0), df 2x 5 + 4x 3 y 2 hm —(x, y)= lim -»-^-4— = (JC, y) —(0,0) dx (X, y) -* (0,0) {x í +y í ) i lim (;c,y)-(0,0) 0 2jc (■ íx z + y limitada limitada x 2 (x^+y 2 ) 2 ' 1 = 0 ou seja, lim ( x,y ) = 0 = — ( 0 , 0 ); (x,y) ( 0 , 0) dx dx 'vÇ 'vÇ logo, — é contínua em (0, 0). De modo análogo, prova-se que — é contínua em (0,0). dx dy df df 2 2 Da continuidade de —- e — em IR , segue que fé diferenciável em [R . ■ dx dy Observação. Para todo (x, y) f (0,0), temos: 0s5x 2 s;x 2 +)' 2 =í>i 4 =S(i 2 + y 2 ) 2 => 0 (x l + y l ) 2^2 1 ; 0 *£ x 2 =£ x 2 + y 2 =>x 2 y 2 ^{ x 2 +y 2 ) 2 =>0s= _* 2y2 _ , =5 1. (x z 4- y L Y 0 =£ y 2 =£ x 2 + y 2 Exercícios 11.2 - 1 1. Verifique que a função dada é diferenciável. a)f(x, y)= e x ~ ^ b)f(x, y) = x 4 + y 3 c)f(x, y) = x 2 y d)ffx. y) = ln (1 + x 2 + y 2 ) e)f(x, y) = x cos (x 2 + y 2 ) f)f(x, y) = arctg xy 2. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. t se (x, y) # (0,0) x 2 + y 2 0 se (x, y) = (0,0) a)f(x. y) = 200 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 b) f(x, y) = c)f(x,y) = . 7 se (x, y)*( 0 , 0 ) < x 1 + y 2 [o se (x, y) = (0,0) ’ xy 3 —-- se (x, y) ^ ( 0 , 0 ) x 2 +y 2 0 se (x, y) = ( 0 , 0 ) d)f(x, y) = Jx 2 +y 2 -l 0 se x 2 + y 2 < 1 se x 2 + y 2 3= 1 11.3. Plano Tangente e Reta Normal Sendo/(x, y) diferenciável em (xg, yg), temos: /Uo + Mo + ^)-/(a:o,>'o)--^-(^o»>'o)^--^-(^o.>'o)^ Um -^^-= 0 . (/U)-<0.0) ||"o) - -y- (x 0 ,y 0 ) (* ~ x o)-^r (*o- yoXy ~ yo) Um -^-*-- 0 . <•, vi^í .,,1,1 ||(Jr,)')-(j:o,yo>ll Seja E (x, y) o erro que se comete na aproximação de/(x, y) por T (x, y) = f(x 0 , y 0 ) + (xg, y 0 ) (x - x 0 ) + ~ (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ). ox ay Assim, f(x,y) = T(x,y) + E (x, y) onde (x,;y)-»(x 0 ,)0 que tende a zero mais rapida¬ mente que ll(x, y) — (xg, >’g)ll, quando (x, y) tende a (x 0 , >’g). [ Dizer que E (x, y) tende a zero mais rapidamente que II (x, y) - (x 0 , >’ 0 ) II, quando (x, y) tende a (xg, y 0 ), significa que Funções Diferenciáveis 201 Definição. Seja/diferenciável no ponto (x 0 , y 0 ). O plano © z~ f(x 0 , y 0 ) = y Q ) (x ~x 0 )+ (* 0 , y 0 ) (y - y 0 ) ox ay denomina-se plano tangente ao gráfico de/no ponto (x 0 > y 0 ,f(xQ, >’ 0 )). Observe que só definimos plano tangente em (x 0 , yQ,f(x 0 , y 0 )) se/for diferenciável em (xq, >’q). Se/não for diferenciável em (x 0 , >’ 0 ), mas admitir derivadas parciais neste ponto, então o plano © existirá, mas não será plano tangente. Veremos mais adiante que se f(x, y) for diferenciável em (x 0 , y 0 ), o plano © conterá todas as retas tangentes ao gráfico de /no ponto (x 0 , y 0 ,/(x 0 , y Q )). Em notação de produto escalar, o plano © se escreve: (-£- (xo, yo), ^ (xo, yo), - lj ' [(x, y, z) - (xo, yo, /(xo, *>))] = 0. Segue que o plano tangente em (x 0 , y 0 ,/(xo> yo)) ® perpendicular à direção do vetor © [~ (xo, yo), ~ (xo, yo), - lj- A reta que passa pelo ponto (x 0 , y 0 ,/(xo, yo)) e é paralela ao vetor @ denomina-se reta normal ao gráfico de/no ponto (x 0 > y 0 ,/(x q, yo))- A equação de tal reta é: 202 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 EXEMPLO 1. Seja f(x, y) = 3x y — x. Determine as equações do plano tangente e da reta normal do ponto (1, 2,/(l, 2)). Solução Plano tangente z—/(1,2)= ^(l,2)(jc— 1)+ f-(l, 2 )(y- 2 ) âx ây /(1, 2) = 5 y) = ÓJty - 1 => — (1, 2) = 11 âx âx (x, y) = 3X 2 d L (i, 2 ) = 3. ây ây A equação do plano tangente é Reta normal (x, y, z) = (1, 2,/(l, 2)) + à(-J d- 2), (1, 2), - lj, A GR. ou seja, (jc, y, z) = (1, 2, 5) + A (11, 3, - 1), A G U. m xy 2 EXEMPLO 2. Seja f(x, y) = . x 2 + y 2 se (x ’ y) * (0 ’ 0) 0 se (x, y) = ( 0 , O)- Mostre que o gráfico de/não admite plano tangente em (0, 0,/(0, 0)). Solução De acordo com a definição, para que/admita plano tangente no ponto (0, 0,/(0, 0)),/ deve ser diferenciável em (0, 0). Se provarmos que fé não diferenciável em (0,0), seguirá que / não admite plano tangente no ponto dado. Temos: — (0, 0) = 0 e — (0, 0) = 0. (Verifique.) âx ây Funções Diferenciáveis 203 /(O + h, O + Jfc) - /(O, 0 ) — — ( 0 , 0)h^~ ( 0 , 0 ) k dx ây mm hk 2 (h 2 +k 2 )^jh 2 +k 2 Seja G (h, k ) = hk 2 (h 2 + k 2 )^h 2 + k 2 Temos: lim G(0, t) = 0 f—0 lim G(t,t) = — 7 =-. r— 0 + 2V2 Assim, lim (M)—(0,0) / (0 + A, 0 + ifc) - /(0,0) ■- -f- (0,0) h - (0,0 )k _ dx _ dx _ ll(M)ll não existe, logo,/não é diferenciável em ( 0 , 0 ); portanto, f não admite plano tangente no ponto (0, 0,/(0, 0)). Observe que o plano z -/( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) (x - 0 ) + ( 0 , 0 ) (y - 0 ) dx dy não contém a reta tangente à curva y(t) = ( t, t,f(t, t)) no ponto y (0) = (0,0,/(0,0)). De fato, a reta tangente a y no ponto ( 0 , 0 ,/( 0 , 0 )) = ( 0 , 0 , 0 ) é: (x, y, z) = (0, 0 ,0) + A (l, í, yj, A Eí? que, evidentemente, não está contida no plano z = 0. ■ Exercícios 11.3 : . : r 1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. a) f(x, y) = lx 2 y em ( 1 , 1 ,/( 1 , 1 )). b) f(x, y) = x 2 + y 2 em ( 0 , l,/( 0 , 1 )). c) f(x,y) = 3 x 3 y - xy em ( 1 , — 1 ,/( 1 , — 1 )). d) f(x, y) = xe xl ~ em ( 2 , 2 ,/( 2 , 2 )). 204 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e) f{x, y) = arctg (x - 2y) em ^2, / ^2, j . f) f(x,y)=xy em (\, {./({.{))• 2. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (— 1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de/(x, y) = xy. 2 2 3. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x +y . 4. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de/(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule (1, 1) e — (1, 1). âx dy 5. 2x+ É y + 3z = 6éa equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 1). a) Calcule — (1, 1) e — (1, 1). dx dy b ) Determine a equação da reta normal no ponto (1, 1, 1). 6. Considere a função f (x,y) = x

' + z = 3ez = 0. 2 2 2 2 10. pé umjilano tangente aos gráficos de f(x, y) = 2 + x + y eg (x, y) = — x — y . Mostre que a +o=l, sendo (a, b,f(a, b)) o ponto em que /3 tangencia o gráfico de/. 2 2 11. Considere a função/(x, y) = 1 — x — y . Seja a o plano tangente ao gráfico de /no ponto 2 2 2 2 (a, b, 1 — a — b ), com a>0, b > Oe a + b <1. Seja V o volume do tetraedro determi¬ nado por a e pelos planos coordenados. a) Expresse V em função de a e b. dV dV b ) Determine ae b para que se tenha -( a , b) = 0 e — (a, b ) = 0. da db 2 2 12. Determine os planos tangentes ao gráfico de/(x, >') = 2 + x + y e que contenham o eixo x. 2 2 13. Considere a função/(x, y) = xg (x — y ), onde g (u) é uma função dérivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de/no ponto (a, a,f(a, a)) passa pela origem. 2 2 2 x y z 14. A função z = z (x, y) é diferenciável e dada implicitamente pela equação —— + —— H—— = 1. a 2 b 2 c 2 Mostre que —= 1 é a equação do plano tangente no ponto (xq, y 0 , zq), Zq ^ 0. a 2 b 2 c 2 15. Seja z =/(x, y) diferenciável em (xq, _y 0 ). Seja S a função afim dada por S (x, >’) = a (x - xq) + b(y — y 0 ) + c. Suponha que Funções Diferenciáveis 205 f(x, y)=S(x, y) + E(x,y) com lim (jr, y) — (*„, y 0 ) E (x, y) H(x, y) - (x 0 , yo)H = 0 . Conclua que a — (x 0 - yo )> b = — Uo,y 0 )ec-/(x 0 , yo )• dx dy 11.4. Diferencial Seja f(x, y) diferenciável em (xq, y 0 ) e consideremos a transformação linear (transformação é sinônimo de função) L : R 2 —* R dada por © L(h, k) = ~-(xo,y 0 )h + ~-(x 0 ,y 0 )k. dx dy 'y Segue, do que vimos anteriormente, que L (h, k)é a única transformação linear de IR em R que aproxima o acréscimo /(*o + h < yo + *) -f(x 0 ,y 0 ) com erro E ( h , k) que tende a zero mais rapidamente que II (h, k) II, quando (h, k) tende a (0,0). Istoé, / (xq + h,y 0 + k) f Uo, yo) = ~~ Uo, yo)h + -f- (xo, y 0 )k +E ( h , k). dx dy L ( h , k) Com E ( h , k) lim - (A,*)— (0,0) ll(A, *)ll = 0 . Pois bem, a transformação linear L, dada por ©, denomina-se diferencial de/em (x 0 , yo)- •\T •\T Seja T (x, y) = /(xq, y 0 ) + — (xq, y 0 ) (x - x 0 ) + — (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ). Sabemos que o dx dy gráfico de 7"é o plano tangente ao gráfico de/no ponto ((xq, y 0 ),/(x 0 , y 0 )). Fazendo x = x Q + h ey = y 0 + k, vem: T (x 0 + h, y 0 + k) - f (x 0 , yo) = — (xo, yo)h + (x 0 , yo)*- dx dy ' L ( h , k) Segue que L(h,k)é a variação que sofre T, quando se passa d o ponto (xq, >’o),ao ponto + A. yo + *)■ 206 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Por outro lado,/(x 0 + h, y 0 + k) — /(xq, y 0 ) é a variação em f quando se passa de (xq, y 0 ) a (x 0 + h,y 0 + k). Temos: / (x 0 + h,y 0 + k)~ f (x 0 , y 0 ) = Uo> yo)h + (*o> ax ay sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de h e k. T/ O/ Muitas vezes, referir-nos-emos a — (*o - ^ ~ (*o > >"0) ^ como a diferencial de/ dx ây em (x 0 , >’o), relativa aos acréscimos h e k. Consideremos, agora, a função diferenciável z = /(x, >’). Em notação clássica, a diferen¬ cial de f em (x, y), relativa aos acréscimos dx e dy é indicada por dz (ou por df): ® dz = ~T~ (**30 àx + ( x,y)dy . dx ay No que se segue, referir-nos-emos a @ simplesmente como a diferencial de z =/(x, >’). O símbolo A z será usado para representar a variação em/, quando se passa de (x, y) a (x + dx, y + dy): Assim, Az =/(x + dx, y + dy) - f(x, y). Az = dz sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de dx e dy. EXEMPLO. Seja z = x 2 y. a) Calcule a diferencial. b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação Az em z, quando se passa de x = 1 e y = 2 para x = 1,02 e y = 2,01. c) Calcule o erro cometido na aproximação acima. Solução a) — = 2xy e — = x 2 ; assim, dz = 2 xy dx + x 2 dy. dx dy b) Az = dz ou Az = 2xy dx + x 2 dy. Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 edy= 0,01 resulta Az = 0,09. c) Az = (x + dx) 2 (y + dy) — x 2 y = (1,02) 2 (1,01) — 2 = 0,091204 (valor exato). O erro cometido na avaliação acima é 0,001204. ■ Exercícios 11.4 . .. - 1. Calcule a diferencial. a) Z = x y c) z = sen xy e) T= ln (1 +p 2 + v 2 ) b) z = x arctg (x + 2y) c 2 _ ,2 d) u = e s 1 f) x = arcsen uv Funções Diferenciáveis 207 2. Seja z = xe x2 ~y 2 . a) Calcule um valor aproximado para a variação Az em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para at = 1,01 ey = 1,002. b) Calcule um valor aproximado paraz, correspondente ar = 1,01 ey = 1,002. 3. Seja z = Vx" + \[y . a) Calcule a diferencial de z no ponto (1,8). b) Calcule um valor aproximado paraz, correspondente ax = 1,01 ey = 7,9. c) Calcule um valor aproximado para a variação Az em z, quando se passa dex = 1 e y = 8 parax = 0,9 ey = 8,01. 4. Calcule um valor aproximado para a variação AA na área de um retângulo quando os lados variam dex = 2mey = 3m para x = 2,01 m e y = 2,97 m. 5. Uma caixa de forma cilíndrica é feita com um material de espessura 0,03 m. As medidas inter¬ nas são: altura 2 m e raio da base 1 m. A caixa é sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado na caixa. V 2 6. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = -watts. Se V = 100 volts e R R = 10 ohms, calcule um valor aproximado para a variação A P em P, quando V decresce 0,2 volt e R aumenta de 0,01 ohm. 7. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule um valor aproximado para a variação AU no volume quando h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm. 2 03 8. Calcule aproximadamente (1,01) ’ . 9. Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3 cm e o outro, y = 4 cm. Calcule um valor aproximado para a variação Az na hipotenusa z, quando x aumenta 0,01 cm e y decresce 0,1 cm. 10. Defina diferencial de uma função de três variáveis. 11. Calcule a diferencial. 2 2 a) w = xyz b) x = e 2u + 2v ~ f 2 c) w = —- d) s = (1 + x 2 ) 3 ^ _1 + z 2 12. Calcule aproximadamente -J(0,01) 2 + (3,02) 2 + (3,97) 2 11.5.0 Vetor Gradiente Seja z =/(x, y) uma função que admite derivadas parciais em (xq, y 0 ). O vetor V f(x 0 ,yo)= {xq, y Q ), {x 0 , y Q ) \ dx dy denomina-se gradiente de /em (xq, y 0 ). Outra notação usada para o gradiente de /em (xq, y 0 ) é: grad/(xQ, y 0 ). Geometricamente, interpretaremos V/(x 0 , >’q) como um vetor aplicado no ponto (xq, y 0 ). 2 2 EXEMPLO. Seja/(x, >’) = x + y . Calcule V/(l, 1) e represente-o geometricamente. Solução V/(x,y)=f^-(x, y), ^ Wx dy ) = (2x, 2y). Assim, 208 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 V / (1,1) = (2, 2) = 2 i + 2 j . Suponhamos, agora, que f(x, y) seja diferenciável em (xq, y 0 ). Temos: f (x, y) = f(x o, yo) + -f- (^o- yo) (* ~ x o)+ -4~ (*o- yo)(y ~ yo) + £(■*. y) dx dy com lim E (x, y) (*, y)~* Uo.^o) H(*. y) - (*o-yo)N = 0 . Tendo em vista a igualdade ^~(x 0 ,yo)(x-XQ) + ^-(xQ,y 0 )(y-yQ) = \'f(xQ,yQ)-[(x,y)-(x 0 ,yo)] ox ay resulta f(x, y) = f(x 0 , yo ) + v/(x 0 , yo )' [(*, y) ~ Uo . yo )] + E(x, y) C ° m lim — = Q. (*.y)-(*ò.y<>) ||U,y)-(*o,yo)|| Fazendo X = (x, y) e X 0 = (xq. >’ 0 ) teremos: f(X) = f (Xo) + Vf(X 0 )-(X-X 0 )+E (X) lim E(X) x^x 0 IIX-X 0 II = 0 . com Funções Diferenciáveis 209 Já vimos que se f(x) for função de variável real e diferenciável em x 0 , então f{x) = f(x 0 ) + /' (x 0 ) (x - X 0 ) + E (x) com lim X—X 0 -*<íL=o. |jr— or 0 | Sendo f(x, y) diferenciável em (x 0 , y 0 ), nada mais natural, então, do que definir a deriva¬ da de/em (xq, y 0 ) por:/' (x 0 , y 0 ) = V/(xq, y 0 ). Assim, a derivada de f(x, y) em (x^, y 0 ) é o gradiente de / em (xq, >’ 0 ). Mais adiante, destacaremos as principais propriedades do vetor gradiente. Exercícios 11.5 1. Calcule V f(x, y) sendo f(x, y) = a) x 2 y b) e x2 ~y 1 c ) d) arctg — y 2. Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule V f(x, y, z) sendo f(x, y, z) — a) x 2 +y 2 +z 2 c) (x 2 + y 2 + l) z ,, 2 , 2,2 b) x + y + z d) z arctg — y 3. Seja f(x,y)—x — y . Represente geometricamente V/ (xq. vq), sendo (x 0 , y 0 ) = a) (1,1) «(-1.1) c) ( 1, -1) «d, -1) X 4. Seja/(x, y) = arctg —. Represente geometricamente V/(x^, >’ 0 ), sendo (x 0 , >’ 0 ) um ponto da y 2 2 circunferência x + y = 1. 2 2 5. Seja/(x, y) = x + y e seja y (t) = (x (t), y (t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f(x, y) = 1, isto é, para todo t no domínio de y,f (x (f), y (t)) = 1 (dê exemplo de uma tal curva). Seja y (íq) = (xq, y 0 ). Prove que / (í 0 ) • V/(x 0 , >’q) = 0. Interprete geometricamente. (Sugestão: para todo t no domínio de *y, (x (f)) 2 + (y (f)) 2 = 1; derive em relação a t e faça t = í 0 .) 2 2 2 6. Seja/(x, y, z) = x + y +z e seja y ( t ) = (x (/), y (r), z (r)) uma curva diferencial cuja ima- 2 2 2 gem está contida na superfície de nível x + y + z = 1. Seja y (f 0 ) = (x^, y 0 , zq). Prove que Y (í 0 ) • V / (xq, >’ 0 , Zq) = 0. Interprete geometricamente. 7. Calcule/' (x, y) sendo f(x, y) = a) xy b)2 x y c)xtg - y d) arcsen xy 210 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 8. Seja f (x, y) = xy e seja "y ( t ) = (x ( t ), y (t)), t E /, uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f(x, y) = 2. Mostre que para todo temi, y' (r)- V f(y (r)) = 0. Dê exemplo de uma curva cuja imagem esteja contida na curva de nível xy = 2. 2 2 9. Sejam f(x, y) = y - x e y (f) = (senr, sen t). 2 a) Verifique que a imagem de y está contida na curva de nível y — x =0. b ) Desenhe a imagem de y. c) Verifique que para todo t, y ' (r) • V/(-y (r)) = 0. 10. Seja f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 + 9z 2 . a) Dê exemplo de uma curva y (r), diferenciável, cuja imagem esteja contida na superfície de nível x 2 + 4y 2 + 9 z 2 = 1. b) Verifique que V/(■y (r)) • y' (t) = 0. Interprete geometricamente. 2 2 2- 11. Considere a função f(x, y, z) = x + 4y + 9z e seja y (t) = (x (t), y (t), y (t)) uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 1, e tal que y ( t 0 ) = (x 0 , y 0 , Zq). a) Prove que V/(x 0 , y 0 , Zq). y' (f 0 ) = 0. b) Determine a equação do plano tangente à superfície de nível dada, no ponto (x 0 , y 0 , zq). v 2 2 2 c) Determine a equação do plano tangente à superfície de nível x +4 y + 9z =14, noponto (1,1,1). 12 Regra da Cadeia 12.1. Regra da Cadeia Sejam/(x, y) uma função definida num aberto do R , y (?) uma curva definida num in¬ tervalo /, tais que y (?) E Depara todo ? E /. Nosso objetivo a seguir é provar que, se/e y forem diferenciáveis, então a composta F (?) = /(y (?)) será, também, diferenciável e vale a regra da cadeia F’ (?) = V/(y(?)) • y' (?) onde V/(y (?)) • y' (?) é o produto escalar dos vetores V/(y (?)) e y' (?). Vamos precisar do seguinte lema. 2 Lema. Se/: A C R — > R, A aberto, for diferenciável emX 0 E A, então existirá uma função

R , tais que y (?) E A para todo ? no intervalo /. Nestas condições, se y for diferenciável em ? 0 e/em X Q = y (? 0 ), então a composta F (?) = /(y (?)) será diferenciável em ? 0 e vale a regra da cadeia / r '(?o) = V/(y(?o))-y'(?o). Demonstração Pelo lema, para todo JÍ6A, ® f(X) ~ f(X 0 ) = V/(Xo) • (X - X 0 ) + (p (X) II X - X 0 II lim (p(X) = 0 = n. t-to t- to t-to Observe que Hy(0 ~ y(?o)H _ \t- íq\ _ y(£) - y(?p) t - to t-to | t -1 0 De limitada lim —— I — to \t - ÍQ. . = 0 e lim ?-?o y(0 - y(fo) t-to = ll y' (t 0 ) ll resulta lim — >0 t - to ? — ? 0 t - to A demonstração do teorema acima é exatamente a mesma, se substituirmos / de duas variáveis por /de n variáveis. Segue desse último teorema que se/for diferenciável em A C R 2 e y diferenciável em /, então a composta F (?) = /(y (?)) será diferenciável e, para todo t em /, F’ (t) = V/(y (?)) • y' (?). Fazendo y (?) = (x (?), y (?)) e lembrando que v/(y(?))= (-^-(x(r), y(f», -^-(*(?), y(?») ey' (?) = (^ 7 -. dt dt ! dx dy resulta: dF z = e 2 ' 2 (2? + 1). — = 4 te 2 ‘ 2 ( 2 f + 1 ) + 2 e 2 ' 2 dt ou seja, — = 2c 2 ' 2 [4r 2 + 2t+ 1], dt 2° processo (regra da cadeia) dz _ Bz dx Bz dy dt Bx dt By dt dZ _ Bz -2xy, — Bx By 2 . — = 4 xyte' 2 + 2x 2 Assim, Regra da Cadeia 215 ou seja, dz ~dt = 4te ,2 (2t + l)e t2 + 2e 2 ' 2 = 2e 2 ' 2 [41 2 + 21+ 1], EXEMPLO 3. Seja F(t)=f(e t , sen ?), onde f(x, y) é uma função dada, diferenciável em IR 2 . a) Expresse F' (?) em termos das derivadas parciais de / b) Calcule F' (0) supondo — (1,0) = 5. dy Solução 2 a) F (?) = f(x, y) onde x = e t e y = sen t. dF _ df dx d f dy — = — (*. y) — + — (x, y) dt dx dt dy dt Daí n £ 2 2 d f 2 F' (?) = — (e‘ , sen ?) 2te' + — ( e‘ , sen ?) cos ?. dx dy b) F' (0) = ^ (1,0) • 0 + — (1,0) • 1; logo dx dy F' (0) = 5. EXEMPLO 4. z = f(x 2 ,2>x + 1), onde f(u, v) é uma função de classe C 1 em R 2 . a) Expresse em termos das derivadas parciais de / b) Verifique que — dx x = \ = 2 (1,4) + 3 ^ (1,4). âu dv Solução 19 9 9 Sendo f(u, v) de classe C em R ,/(w, v) será diferenciável emR ;« = r ev = 3x+l também são diferenciáveis. Podemos então, aplicar a regra da cadeia. a) z = f(u, v), u = x e v = 3x + 1. * = <*„>* + dx âu dx dv dx ou seja, — = 2x ^ (x 2 , 3x + 1) + 3 (*2, 3 * + i). dx du dv 216 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 b ) Fazendo x = 1 na expressão anterior, obtemos: -^1 = 2 O- (1,4) + 3 (1,4). ■ dx x = l du dv O EXEMPLO 5. Seja g (x) = / (x, x + 2), onde/(x, y) é uma função dada, definida e dife- renciável num aberto do IR 2 . Expresse g' (x) em termos das derivadas parciais de/ Solução g (x) = /(x, y) onde y = x 3 + 2 . ,, . df dx âf dy g W = -r- y) -j- + -r- (x, y) -7-, dx dx dy dx ou seja, g' (x) = — (x, x 3 + 2) + 3X 2 — (x, x 3 + 2). ■ dx dy EXEMPLO 6. Suponha/(x, y) diferenciável e que, para todo x, /(3x + 1, 3x - 1) = 4. Verifique que + l, 3x — 1 ) = — (3x + 1, 3x — 1). dx dy Solução Para evitar confusão com as variáveis, vamos primeiro substituir x por t. Assim, para to¬ do t, f(3t + 1,3?- 1) = 4. Derivando em relação a ? os dois membros obtemos: - í/(3f + 1,3?- 1 )] =0. dt Como — [/(3? + 1,3? - 1) ] = & (3? + 1, 3? - 1) — + (3? + 1, 3? - 1) ^ dt dx dt dy dt = 3 ^ (3? + 1, 3? - 1) + 3 ^ (3? + 1, 3? - 1 ) dx dy Regra da Cadeia 21 7 teremos, para todo r, 3 (3t + 1, 3t - 1) + 3 (3 1 + 1, 3? - 1) = 0, dx dy ou seja, (3t + 1, 3? - 1) = - (3t + 1,3r - 1). dx dy Segue que, para todo x. Q (3x + 1, 3* - 1) = - ?-L ( 3 * + i, 3 * - i). dx dy Observação. Sejam/(x, y\ g (x)e h (x) funções diferenciáveis e seja y (x) = (g (x), h (x)). Assim, f(g (x),h(x))=f(y(x)). Pela regra da cadeia ^ Ifig (x\ h (x)) ] = ^ I/(rW) ] = V/(y(x)) • i (x), dx dx ou seja, -j~ [f(g (*\ h (x)) ] = (g (x), h (x)) g' (x) + (g (x), h (x)) h' (x). dx dx dy Vamos, agora, resolver o exemplo anterior trabalhando diretamente com a equação /(3x + l,3x - 1) = 4. Derivando em relação a x os dois membros, obtemos: 4~ [/(3x + 1, 3x — 1) ] = 0. dx Como (veja observação acima) — [/(3x+ 1,3*- 1)] = — (3x+ 1,3x — 1)(3x + 1)' + ^ (3x4- l,3x- l)(3x- 1)' dx dx dy = 3 — (3x + 1, 3x - 1) + 3 — (3x + 1, 3x - 1) dx dy 218 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 resulta: (3* + 1,3* - 1 ) = - (3x + 1,3* — 1). dx dy _ 2 dz EXEMPLO 7. z = f(e “, u), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse —- du em termos das derivadas parciais de /. Solução z = /( x, y) onde x = e u ey = u 2 . dz df dx d f — = — (x,y) — + — (x, y) du dx du ây dy du ou seja, = - e ~ u -L (x, y) + 2u — (x, y) du dx dy onde x = e c y = u . m EXEMPLO 8. Sejam AeB abertos do IR , / (x, y) diferenciável em A, g (u, v) e h (u, v) diferenciáveis em B tais que, para todo ( u , v) em B, (g (u, v), h (u, v)) £ A. Seja F (u, v) = f(g ( u, v), h (u, v)), (u, v) £ B. (Observe que a mudança de variáveis x = g(u,v)ey = h(u, v) transforma a função de duas variáveis z = f(x, y) na função de duas variáveis Z = F(u,v) =f(g (u, v), h (u, v).) Mostre que . dF df dx , df dy ( dz df dx df dy\ . df df , à) — = —-+ —-- ou — = —-+ — — onde — e — devem du dx du dy du du dx du dy du ) dx dy ser calculadas no ponto (g (u, v), h (u, v)). b) — = ?J- — + íL ( ou âz - £Z dx ) d f d y\ âv dx dv ây âv i, âv dx dv dy dv j Solução a) F (u, v) = /(x, y) onde x = g(u,v)ey = h(u, v). Para calcular — vamos aplicar a regra da du cadeia, olhando v como constante; tudo se passa como se x e y dependessem apenas de u: Regra da Cadeia 219 dF df , dx âf , dy - = — (jc, y) — + — (jc, y) du dx du dy du onde x = g (u, v) ey = h(u, v). Cuidado. Escrevemos — e — e não — e — por se tratarem de derivadas parciais. du du du du âF b) Para calcular — vamos aplicar a regra da cadeia, olhando u como constante; tudo se dv passa como se x e y dependessem apenas de v: dF df . dx df . dy — = -2- (x, y) — + -f- (x, y) -f- dv dx dv dy dv onde x = g (u, v) e y = h (u, v). ■ 2 2 EXEMPLO 9. z = f(u + v , uv), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse — e — em termos das derivadas parciais de /. du dv Solução du dx dZ = dj_ dv dx ■ = u + ey = UV. dx + d -l (x,y) dy_ = = 2 u âf du dy du dx dx + *L (x, y) dy_ = 2v âf dv ãy dv dx ^ (U 2 + V 2 , dy u. dy 2 2 onder = « +v ey = #v. ■ EXEMPLO 10. F (r, 6) = f(x, y) onde x = r cos Oey = r sen 6 , sendo f(x, y) uma função diferenciável dada. Verifique que df . . cos 0 dF , m . dF , - 7 - (.x, y) = -— (r, 0) + sen 0 — (r, 0). dy r d0 dr Solução 220 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ( r , 0) = cos 6 (x, y) + sen 6 (x, y). dr dx ây dF m df , dx df , dy — (r, d) = -f- (x, y) — + (x, y) -f âd dx dd dy dd ( r , d) = — r sen d (x, y) + r cos d (x, y) dd dx y ày @ — — ( r, d) = - sen d — (x, y) + cos d — (x, y). W r dd dx dy Multiplicando © por sen d, @ por cos d e somando membro a membro obtemos a relação que queríamos. ■ EXEMPLO 11. Suponha z =f(x,y) de classe 2) = -2, — (1,2) = 3e dx d f 2 — (1,2) = 4. Admita que a imagem da curva y (?) = (? , 3? — 1, z (?)), ? E IR, esteja dy contida no gráfico de/ a) Calcule z (?). b ) Ache a equação da reta tangente a y no ponto y (1). Solução a) (x, y, z) E Gf*>z =f(x, y). Como a imagem de y está contida no gráfico de f para todo ?, (t 2 , 3? - 1, z (t)) E G f , logo, z (?) = /(? 2 , 3? - 1). Regra da Cadeia 221 b ) A equação da reta tangente no ponto y(1) é: (x,y, z) = y(l) + A y' (1), A e IR. Temos: rd) = ( 1 , 2 , z ( 1 )) = ( 1 , 2 ,/(l, 2 )) = ( 1 , 2 , - 2 ); /«-(a.if): z =f(t 2 , 3? - 1) £ = .§£(*3,-i)£ + ^ dt dx dt dy dt Assim, — = 2? (? 2 , 3f — 1) + 3 — (? 2 , 3? — 1) e, portanto, —\ dt ãx ãy dt 18. Segue que y (D = ( 2 , 3, 18). A equação da reta tangente é, então, (x, y, z) = (1, 2, -2) + A (2, 3, 18), A G R. ■ O próximo exemplo mostra-nos que se y for uma curva qualquer, diferenciável em ? 0 , cuja imagem está contida no gráfico da função/(x, y), diferenciável em (xg, y 0 )> então a reta tangente y no ponto y (? 0 ) = (xq, yo,f(x 0 , y 0 )) está contida no plano tangente em (*o> y<)’f( x O’ y o»- EXEMPLO 12. Seja f(x, y) diferenciável em (x 0 , >’ 0 ), y ( t) uma curva diferenciável em t 0 , cuja imagem está contida no gráfico de/. Seja y (t 0 ) = (x 0 , >’o,/(xo, >’o))- Então a reta tan¬ gente a y no ponto y (t 0 ) está contida no plano tangente ao gráfico de/no ponto y (íq). Solução Seja y (?) = (x (?), y (?), z (?)); como a imagem de y está contida no gráfico de/ z(t) =/(x (?), y (?)). Sendo/diferenciável em (x 0 , >’ 0 ), x (?) e y (?) diferenciáveis em ? 0 , podemos aplicar a regra da cadeia para obter z! (?o): © z' (to) = -/— ( xq , y 0 )x' (? 0 ) + (xQ,y 0 )y' (? 0 ). dx dy A equação da reta tangente em y (? 0 ) é: (x, y, z) = (xq , jo>/ do, ro)) + A ( x ' (?o)> y' ('o)> z' (?o))> A g R. 222 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Precisamos mostrar que, para todo À, o ponto (x 0 + A*' (r 0 ), y 0 + Ay' (t 0 ),f(xQ, y 0 ) + A z' (f 0 )) pertence ao plano © z = f(* o- yo) + (*o- to) ( x - *o) + ~ (-«o- yo) (y - yo)- dx dy Basta mostrar, então, que fazendo em (2)x = x 0 + \x' (? 0 ) e y = y 0 + Ay' (f 0 ) obteremos z=f(xQ, y 0 ) + Az' (r 0 ). De fato, para x = x 0 + Ajc' (r 0 ) e y = y 0 + Ay' (t 0 ) temos: : /(xq, y 0 ) + —• (J£b,y 0 ) Aj: ' ( ( o) + ^ (xQ,y 0 ) Ay' (r 0 ), dx dy ou seja, z =/t*b.yo) + A ~ (-r 0 . yo) x' (to) + ^-(xo, y 0 ) y' (to) dx dy tendo em vista © z = f(x o- y 0 ) + Az' (r 0 ). Exercícios 12.1 _ (Todas as funções são supostas de classe C 1 ou diferenciáveis, quando necessário.) 1. Calcule — pelo dois processos descritos no Exemplo 2. dt 2 a) z = sen xy, x = 3t e y = t . 2 2 b) z = x + 3y , x = sen t e y = cos t. 2 2 c) z = ln (1 + x + y ), x = sen 3í e y = cos 3f. 2. Seja g (t) =f(3t, 2f 2 - 1). a) Expresse g' (t) em termos das derivadas parciais de /. df 1 b) Calcule g (0) admitindo — (0, -1) = - . dx 3 dz 3. Expresse — em termos das derivadas parciais de /, sendo z = f(x,y)e dt á) x = t 2 e y = 3f. b) x = sen 3 tey = cos 2 1. 7 1, dt dt 4. Suponha que, para todo t,f(r, 21) = t — 3 1. Mostre que — (1,2) =-(1,2). dx dy Regra da Cadeia 223 3 5. Suponha que, para todo x,f(3>x, x ) = arctg x. df df a) Calcule — (3, 1) admitindo — (3, 1) = 2. dx dy b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de/no ponto (3, l,/(3, 1)). 6. Admita que, para todo ( x, y), 4y — (x,y)~x^~ (x, y) = 2. dx dy Calcule g’ (r), sendo g ( t ) = /(2 cos t, sen t). 7. Admita que, para todo ( x, y), 4y — (x,y)-x — (x, y) = 0. dx dy X 2 Prove que fé constante sobre a elipse-(- y =1. 4 (Sugestão: Observe que a função g do exercício anterior fornece os valores de/sobre a elipse.) 8. A imagem da curva y (t) = (2t, r, z (r)) está contida no gráfico de z = f(x, y). Sabe-se que/( 2, 1) = 3, df df — (2, 1) = 1 e — (2, 1) = — 1. Determine a equação da reta tangente a y no ponto 7 (1). dx dy 9. Admita que, para todo (x, y). X — (x, y) - y — (x, y) = 0. dx dy Mostre que g (t) = f ^ t, — j, t > 0, é constante. 10. Seja z = f(u + 2v, « 2 — v). Expresse — e — em termos das derivadas parciais de/. ãu dv 11. Seja z = f(u — v, v — u). Verifique que 12. Considere a função F (x, y) = f ^+^=0. du dv x y \ *, dF ÕF —, — . Mostre que x — + V — y X) dx dy 13. Prove que a função u = f(x + at, y + bt), a e 6 constantes, é solução da equação as derivadas parciais du ãu du — = a — + b —. dt dx dy 224 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 2 3 4z 14. Seja z = t f(x, y), onde x = t e y = t . Expresse — em termos das derivadas parciais de/. dt 15. Seja g dada por g (í) = f(x, y) sen 3 1, onde x = 2t e y = 3l. Verifique que g' (r) = 3f(x, y) cos 3 1 + sen 3 1 2 (x, y) + 3 (x, y) dx ây onde x = 2t ey = 3t. 16. Sejaz = «/(« — v, u + v). Verifique que àz dz 2 df U -l-M — = z + 2 u —. du dv dy onde x = u — v e y = u + v. 2 2 17 . Seja g (x, y) = (x + y ) f (u, v), onde u = 2x — yev = x + 2y. Mostre que — = 2xf(u, v) + (x 2 + y 2 ) dx df df 2 — H—— du dv 18. Seja g (x) uma função diferenciável tal que f(x, g (x)) = 0, para todo x £ O g . Mostre que g' (x) = ~ — (x, g(x)) dx dl dy ( jí , g(x)) df para todo x £ D , com — (x, g (x)) + 0. s dy 19. f(t) e g (x, y) são funções diferenciáveis tais que g ( t, f(t)) = 0, paratodo t. Suponha/(O) = 1, dg dg — (0, 1) = 2 e — (0, 1) = 4. Determine a equação da reta tangente a y (t) = (t, f(t)), no âx ây ponto -y (0). 20. /(*, y, z) e g (x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domínio de g,f(x, y, g (x, y)) = 0. Suponha g (1,1) = 3, — (1,1,3) = 2, — (1,1,3) = 5 e —(1,1,3)= 10. dx dy dz Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1,3). 21. Seja g (t) = f(3t 2 , r 3 , e 2t )\ suponha — (0, 0, 1) = 4. dz a) Expresse g' (t) em termos das derivadas parciais de/. b) Calcule g' (0). 2 dg dg 22. Seja g (x, y) = x/(x + y, 2y, 2x — y). Expresse — e — em termos das derivadas parciais dx dy Regra da Cadeia 225 r) f r) f 23. Suponha que, para todo (x, y),/(x, y, x 2 + y 2 ) = 0. Mostre que — (1, 1,2) = — (1, 1,2). âx dy 24. Seja F (x, y, z) \ y z x) Mostre que dF âF âF „ x — + y — + z — =0. âx dy dz 2 dr 25. Seja F (u, v) diferenciável em IR , com — (u, v) + 0, para todo (u, v). Suponha que, para ãv todo (x, y), F (xy, z ) = 0, onde z = z (x, y). Mostre que x — - y — = 0. âx dy 26. Seja /(x, y) diferenciável e homogênea de grau À no aberto A. Prove: âf âf A-l a) a — (at, bt ) + b — ( at, bt) = A t f(a, b) para todo t > 0 e para todo (a, b ) G A, com âx dy (at, bt) GA. b) (Relação de Euler.) Conclua de à) que àf . âf X ^~ + y T = Kf dx dy (Sugestão para a): Derive em relação a t os dois membros de f(at, bt) = t^ f(a, b).) 27. Seja f(x, y) definida e diferenciável na bola aberta A. Suponha que/verifica em A a relação de Euler âf âf x — (x, y) + y — (x, y) = A f(x, y). dx dy Prove que fé homogênea de grau A. | Sugestão: Mostre que g (t) = f (at, bt) é constante. (;H f 28. Seja 4> (u) uma função diferenciável qualquer. A função f(x, y) = x z tf> [ — verifica a rela- ôf âf ção de Euler x-1- y — = 2/? Por que? âx dy e y arctg — + sen 29./(x,y)= - y + y 3 âf âf verifica a equação x-1-y — = -/? Por quê? âx dy 226 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 df df 30. Determine uma família de funções que verifique a equação x-1- y — = 0. dx dy df 31. Suponha f(x, y) diferenciável no aberto A e homogênea de grau À. Prove que — é homogê- dx ^ f d f nea de grau A - 1, isto é, que — (tx, ty) = C 1 — (x, y) para todo t > 0, e para todo (x, y) âx dx em A com (tx, ty) E A. (Sugestão: Derive em relação a x os dois membros de f(tx, ty) = t^f (x, >').) 2 32. Seja/(x,y) definida em IR , diferenciável em (0,0) e tal que/(fx, ty) = tf(x,y) para todo t E [R e todo (x, y) E IR. Prove que fé linear, isto é, que existem reais aeb tais que f(x, y) = ax + by. 33. Seja f(x, y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) + (0, 0) se (x, y) = (0, 0) a) Verifique que f(tx, ty) = tf(x, y) para todo t e todo (x, y). b) Olhe para o Exercício 32 e responda: fé diferenciável em (0, 0)? Por quê? 2 2 34. Seja f(x, y) diferenciável em IR e tal que para todo (x, y) em IR © —~ (x, y) + — (x, y) = 0. dx dy a) Verifique que a função g (u, v) dada por g (u, v) = f(x, y), onde x = K + vey = K, étal que dg 2 — = 0 em IR . Conclua que g (u, v) =

’) = 0 se, para todo x E D g , /(x, g (x)) = 0. Regra da Cadeia 227 Admitindo que/e g sejam diferenciáveis, vamos deduzir uma fórmula para o cálculo de g' (x) r) f em todo x G D , para os quais — (x, g (x)) + 0. Então, derivando em relação a x os dois s dy membros da equação anterior, obtemos, ^ [/(*,*(*))] ou (x, g (x)) ^ (X. g M) g' (*) = o dx dx dy e, portanto, 8' (x) = ~ àf §f_ dx (x, y) dy -,y = s (x), (x, y) desde que — (x, g (x)) # 0. dy Da mesma forma, x = h(y)é definida implicitamente pela equação/(x, >’) = 0 se, para todo y G D h , f(h 0), y) = 0. Supondo/e h diferenciáveis e derivando os dois membros da equação acima em relação a y, Obtemos: — lf(h(y), y)] = 0 dy x ou e, portanto, âf dx df dy (X’ y) -r + ~r (•*■ y) ~r = 0 dx dy dy dy dx ày _ dy d f dx (x, y) , x = h (y), f) f em todo y G D h , com — (h (y), y) # 0. dx 228 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 1. A função diferenciável y = y (x)é definida implicitamente pela equação y 3 + xy + x 3 = 3. dy Expresse — em termos de x e de y. dx Solução 1° processo y 3 +xy + x 3 -3 = 0 Tuõõ dy = dx {x ' y) = y + 3x2 dx H (x< y) 3y 2 + x dy ou seja, dy_ _ _ y + 3x 2 dx 3y 2 + x 2 em todo x no domínio d ey = y (x), com 3 (>’ (x)) + x # 0. 2.° processo d r 3 , 3, d — [y + xy + x*]= — (3) dx dx 3y 2 ^ +y + x ^ + 3x 2 =0 dx dx ou di _ y + 3x 2 dx 3y 2 + x M EXEMPLO 2. Suponha que a função diferenciável z = g (x, y) seia dada implicitamente pela equação/(x, y, z) = 0, onde fé diferenciável num aberto de IR . Verifique que Regra da Cadeia 229 em todo (x, y) G D„, com — (x, y, g (x, >')) + 0. 6 dz dy àf_ dy (x, y, z) àf_ dz (*, y, z) em todo (x, y) G D„, com — (x, y, g (x, >’)) # 0. * dZ Solução a) Para todo (x, y) G D g © /(x, g (x, y)) = 0. Derivando em relação a x os dois membros da equação, obtemos: — lf(x , y, g(x, yj] = 0 dx OU d±_ dx (x, y. z) (x) + (x, y, z) -J- (y) + (x, y,z) ~ = 0; dx dy dx dz dx como — (jc) = 1 e dx — 00 = 0, resulta dx dz dx (x, y, Z) dx dj_ dz (x, y, z) b) Derivando os dois membros de © em relação a y , obtemos — U(x, y, g(x, y)] = 0 dy ou 0 1 ( X, y, z)i ~ (x):+ (x, y, z), (y)i + (x, y, z) ~ = 0 dx \dy /' dy \dy / dz dy 230 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e, portanto, dz dy dj_ dy (x, y, z) ll dz (x, y, z) EXEMPLO 3. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação xyz + x 3 + y 3 + z 3 = 5. Expresse — em termos de x, y e z. dx Solução l.° processo xyz + x 3 + y 3 + z 3 - 5 = 0 / (*, y, z) Pela parte a) do exemplo anterior dz ãx y- (x, y, z) dx _ y (x, y, z) dz yz + 3x 2 xy + 3 z 2 2.° processo [xyz + x 3 + y 3 + z 3 ] = (5), dx dx assim, yz + xy — +3x? + 3z 2 — =0, dx dx ou seja, dz _ _yz + 3x 2 dx xy + 3 z 2 EXEMPLO 4. As funções diferenciáveis y = y (x) e z = z (x), definidas no intervalo aberto /, são dadas implicitamente pelo sistema Regra da Cadeia 231 © F(x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0 3 dy dz onde FeG são supostas diferenciáveis num aberto de IR . Expresse — e — em termos das derivadas parciais de F e de G. Solução Dizer que y = y (x) e z = z (x) estão definidas implicitamente por © significa que, para todo x em /, © F(x,y (x), z (x)) = 0 e G(x,y (x), z (x)) = 0, ou seja, significa que a imagem da curva y (x) = (x, y(x),z (x)) está contida na interseção das superfícies F (x, y, z) = 0 e G (x, y, z) = 0. 0 Para obter — e —, vamos derivar em relação a x os dois membros de Temos, então: dx dx 'dFdx+dFdy+dF dz dx dx dy dx dz dx dG dx dG dy | dG dz dx dx dy dx dz dx ou seja, dF dy dF dz _ dF dy dx dz dx dx ?G_ . z) dF dF dy dz dG dG dy dz Da mesma forma: (F, G) (*> z) dF dx dF âZ d (F, G) dF dy dF dx dG dG d (y, X) dG dG dx dz dy dx ^ . dy dz Com estas notaçoes, — e — se escrevem: dx dx dy dx d (F, G) d (x, z) d (F, G) d (y, z) dz dx d (F, G) d (y, x) d (F, G) d (y, z) EXEMPLO 5. Sejam y = y (x) e z = z (x) diferenciáveis em IR e dadas implicitamente pelo sistema Regra da Cadeia 233 Í2x + y — z = 3 }jc + y + Z = l. a) Calcule — e —. dx dx b) Determine um par de funções y = y (x) e z = z (*) que sejam dadas implicitamente pelo sistema ©. Solução dy dz a) Para obtermos — e —, dx dx vamos derivar os dois membros de © em relação a x, obser¬ vando que yez são funções de x: d _ , d r „, dy dz — [2x + y ~ z\ = — [3], ou seja, 2 + — 0; dx dx dx dx d r * i i d 1 , dy dz n — [x + y + z] = — [1], ou seja, 1 + — + — = 0. dx dx dx dx Assim, dy _ dz _ _ 2 dx dx ^y_ + dz L = _ i dx dx Resolvendo o sistema obtemos: dy _ _ 3 dz _ 1 dx 2 dx 2 dy dz (Sugerimos ao leitor calcular — e — utilizando o exemplo anterior.) dx dx b) © é equivalente a (y - z = 3 - 2x [y + z = 1 - x Resolvendo o sistema nas incógnitas yez obtemos: , 3 , . 1 y = 2 — — x e z = — 1 + — x. 2 2 234 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Observe que a imagem de y(x) = [ x, 2 - -x, -1 + -x) \ 2 2 ) é a reta na interseção dos planos 2x + y — z = 3ex + y + z=l. ■ EXEMPLO 6. Sejam y = y (x) e z = z (x), z > 0, diferenciáveis e dadas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y = l. dy dz a) Expresse — e — em termos de x, y e z. dx dx b ) Expresse yezem função de x. c) Desenhe a imagem da curva y (x) = (x, y (x), z (x)). Solução d) -j- [x 2 + y 2 + z 2 ]= [1], ou seja, 2x + 2y ^ + 2z ^ = 0; dx dx dx dx d d dy — [x + y] = — (1), ou seja, 1 + — = 0. dx dx dx Assim, dy dz y ~T + ^7 dx dx —x ^ = -i dx Resolvendo o sistema obtemos: dy_ _ _j dz _ y - x dx dx z b) x 2 + y 2 + z} = 1 x + y = 1 y 2 + Z 2 = 1 - x 2 y = 1 — x Regra da Cadeia 235 A imagem de y está contida na interseção do plano x + y = 1 com a superfície esférica x 2 + y 2 + 7 } = 1. ■ Até agora, o problema referente a uma função y = g (x) dada implicitamente por uma equação F (x, y) = 0 era colocado da seguinte forma: suponha y = g (x) diferenciável e dy dy definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0; calcule —. Evidentemente, — só terá dx dx significado se realmente F (x, y) = 0 definir implicitamente alguma função y = g (x). Por 2 2 dy X exemplo, x + y = — 3 não define implicitamente função alguma; logo, — = — — não dx y terá, neste caso, nenhum significado. O teorema que vamos enunciar a seguir fornece-nos uma condição suficiente para que a equação F (x, y) = 0 defina implicitamente uma função diferenciável y = g (x). Antes, po¬ rém, vamos ver alguns exemplos. 1 2 EXEMPLO 7. Seja F (x, y) de classe C num aberto A de IR e seja (x 0 , E A, com dF F (x 0 , y 0 ) = 0. Suponha que — (Xq, >- 0 ) > °. Prove que existem intervalos abertos / e J, com dy Xq £ / e y 0 E •/, tais que, para cada x G /, existe um único g (x) £ J, com F (x, g (x)) = 0. Solução —- é contínua, pois, por hipótese, F é de classe C 1 . Como (xq, y 0 ) > 0, pelo teore- dy dy ma da conservação do sinal existe uma bola aberta B de centro (xq, y 0 ). que podemos supor contida em A, pois A é aberto, tal que âF — (x, y) > 0 emB. dy 236 UmCursode Cálculo — Vol. 2 Sejam y] e y 2 tais que yj < y 0 < >’ 2 , com (xq, >’]) e (x 0 , >’ 2 ) em B. Fixado xq, consideremos a função © z = F(xq, y),y E [y b y 2 ] Como —- (xQ,y) > 0 para todo y G >’ 2 ], segue que © é estritamente crescente em [>’|, >’ 2 ], dy ' ’ ' ‘ ~ ' Tendo em vista que F (x 0 , y 0 ) = 0, resulta: © F(xQ,y x )<0 e F (x 0 , y 2 ) > 0. Seja J = ]>’ |, >’ 2 [; observe que y 0 = g (xq) é o único número em J tal que F (x 0 , >’ 0 ) = 0. Tendo em vista @ e pela continuidade de F, existe um intervalo aberto /, com x 0 G I, tal que para todo x E /, (x, yj) e (x, y 2 ) pertencem a B, com F (x, < 0 e F (x, y 2 ) > 0. / Como — (x, y) > 0 em B, para todo x G /, a função dy Regra da Cadeia 237 ® Z = F(x,y) (x fixo) é estritamente crescente em [y ]; y 2 ]; tendo em vista que F (x, >’,) 0, pelo teorema do valor intermediário e pelo fato de @ ser estritamente crescente em [j>], >’ 2 ], existirá um único g (x) E ]>'|, >’ 2 [ tal que F (x, g (x)) = 0 (veja figura seguinte). A função g : / —> J está definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0. Observação. Para todos >’j e y 2 , com >’j < y l < y Q < y 2 < y 2 , procedendo como acima, encontraremos um intervalo aberto /] C /, com x 0 E j, tal que => gWG]yi,y 2 [| logo, g é contínua em xq. Deixamos a seu cargo verificar que g é contínua em todo x E /. ■ EXEMPLO 8. Suponha F (x, y) diferenciável em (x 0 , y 0 ). Prove que existem funções (x, y) e

’), definidas em D F , tais que dF dF © F (x, y) = F (x 0 , y 0 ) + — (x 0 , y Q ) (x - x 0 ) + — (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) dx dy +

2 (x, y)(y - >’ 0 ) com lim (p ] (x, y) = 0 = ' 0 ) e lim

(x, y) II (x, y) - (x 0 , }’o) II 238 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 onde lim ’())■ (p (x, y) II (x, y) - (x 0 , y 0 ) II =

’n) + 0, resulta: dy àF oíxí-PÍxn') — Uo.gUo)) g' (^) = lim gw g(x o) = _ dx - ^ ^(xo,g(x o)) dy Teorema das funções implícitas ( Caso F (. x, y) = 0). Seja F (.x , y) de classe C 1 num 2 dF aberto A de K e seja (xq, >’ 0 ) £ A, com F(xQ,y 0 ) = 0. Nestas condições, se — (xq, >’ 0 ) + 0, dy então existirão intervalos abertos / e J, com x 0 e / e y 0 G J, tais que, para cada x E /, existe um único g (x) E J, com F (x, g (x)) = 0. A função g\I—*Jé diferenciável e ^ (x, g (x)) g'(x)= - -f#-• — (*, 8 (x)) dy Demonstração Veja Exemplos 7, 8 e 9. ■ dF dF Observação. Se a hipótese- (xq, y 0 ) ^ 0 for substituída por - (x 0 , y 0 ) + 0, então exis- dy dx tirão intervalos abertos / e J, com x 0 G / e y 0 £ J, tais que, para cada y E J, existirá um único h(y) E I, com F (h (y), y) = 0. A função h : J —* I será diferenciável e d f- (h (y), y) h' ( y)=-jl -. (h (y), y) dx Teorema das funções implícitas ( Caso F (x, y, z) = 0). Seja F (x, y, z) de classe C 1 no aberto A de R 3 e seja (xq, y 0 , z 0 ) £ A, com F (x 0 , >’q, Zq) = 0. Nestas condições, se dF —— ( x 0 ’ >’ 0 ’ Zo) ^ então existirão uma bola aberta B de centro (x 0 , y 0 ) e um interva- dZ lo aberto J, com zq E J, tais que, para cada (x, y) E B, existe um único g (x, y) E J, com F (x, g (x, >’)) = 0. A função z = g (x, >’), (x, y) E B,é diferenciável e dF , , dF t, » * <*• y>> H, t, * 8 y d -fo,y,g0.y)) ' ** X ’ y " ^O.y.gO.y)) âz dz 240 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Demonstração Deixamos a cargo do leitor adaptar a demonstração do teorema anterior a este caso. ■ i d F Observação. Note que, pelo fato de F ser de classe C e g contínua, as funções — (x, y, g (x, >’)), dx dF dF d 2 d 2 —- (x, g (x, >’)) e — (x, y, g (x, >’)) serão contínuas em B\ logo, — e — serão, tam- dy dz dx dy bém, contínuas em B, isto é, g é de classe C 1 em B. Teorema das funções implícitas ( Caso F (x, y, z) = 0 e G (x, y, z) = 0). Sejam F (x, y, z) e G (x, y, z) de classe C 1 no aberto A de IR 3 e seja (x 0 , >’q, Zq) E A, com ^(-»b>yO’Zo) = OeG(xQ,y 0 »Zo) = 0. Nestas condições, se * Oemíxo,^,^), d (y, Z) então existirão um intervalo aberto /, com x 0 E /, e um par de funções y = y (x) e z = z(x) definidas e de classe C 1 em /, tais que, para todo x E /, F (x, y (x), z (x)) = 0 e G (x, y (x), z (x)) = 0; além disso, >’ 0 = y (xq) t z,q = Z (x 0 ). Tem-se, ainda: d (F, G) â (F, G) d (x, z) dz _ _ d (y, x) d (F, G) dx d (F, G) d (y, z) d (y, z) sendo que os determinantes jacobianos devem ser calculados em (x, y (x), z (x)). Demonstração Como F e G são classe C 1 em A, e dF dF — (x 0 ,y 0 ,zo) ~—(.x 0 ,y 0 ,zo) dy dz dG dG — Uo.yo.zo) — Uo.yo.zo) dy dz pelo teorema da conservação do sinal ^ ^ permanece diferente de zero numa bola d (>', z) aberta de centro (x 0 , y 0 , zn). Podemos, então, supor que ^ ^ + 0 em A. Segue de @ d (y, z) dF dF dF que — (x 0 , y 0 , zq) * 0 ou — (x 0 , y 0 , zq) * 0. Suponhamos — (x 0 , y 0 , Za) # 0. Pelo dy dz dz teorema anterior, a equação F (x, y, z) = 0 Regra da Cadeia 241 define implicitamente uma função z = g (x, y), (x, y) G B, sendo g de classe C 1 na bola aberta B de centro (x 0 , y 0 ) e = 8 (*0 > 0 )- Consideremos, agora, a função H(x, y) = G (x, y, g (x, y)), (x, y) G B. Temos: H(x, y) é de classe C 1 , H (x 0 , y 0 ) = 0 e -(x 0 , >’ 0 ) + 0 (verifique). Segue que a dy equação H (x, y) = 0, ou seja, G (x, y, g (x, >’)) - 0 define implicitamente uma função y = y (x), x G /, sendo y (x) de classe C 1 no intervalo aberto Iey 0 = y (x 0 ) (x 0 G /). Deixamos para o leitor completar a demonstração. ■ No Vol. 3, voltaremos aos teoremas da função implícita e da função inversa. Exercícios 12.2 . 3 3 1. A equação y + xy + x =4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y (x)l dy Em caso afirmativo, expresse — em termos de x e y. dx (1 Sugestão: Observe que (0, VÃ ) satisfaz a equação e utilize o teorema das funções implícitas (caso F (x, y) = 0).) 2. Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função dy diferenciável y = y (x). Expresse — em termos de x e y. dx a)x y + sen y = x b)y + x y + x = 3 3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z = z(x, y). Expresse — e — em termos de x, y e z. dx dy a)e x + y + z + xyz = 1 b) x + y 3 + z 3 = x + y + z 2 2 4. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F(x +>’,>’), dy onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse — em termos de x, y e das derivadas parci- dx ais de F. 5 . Suponha que y = g(x) seja diferenciável no intervalo aberto I e dada implicitamente pela equa- 2 df ção f(x, y) = 0, onde f(x, y) é suposta de classe C . Suponha, ainda, — (x, y) ± 0 em D r dy J 242 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) Prove que 21 âx (x Q , >' Q ) = 0 é uma condição necessária para que seja ponto de máximo local de g. b ) Prove que g" é contínua em I. c ) Prove que % > 0 , Zq) as derivadas parciais de F sejam diferentes de zero. Mostre que âx dy dz dy y = yo dz x = x 0 âx z = zo z = z o y = y» 15. Sejam x = x (u, v) e y = y (u, v) definidas implicitamente pelo sistema !x 2 + uy 2 = v \x + y 2 = u. a) Expresse — em termos de x, y e u. âu b) Determine um par de funções x = x(u, v) ey = y (u, v) definidas implicitamente pelo sis¬ tema. 13 Gradiente e Derivada Direcional 13.1. Gradiente de uma Função de Duas Variáveis: Interpretação Geométrica O gradiente de uma função f(x, y) foi introduzido na Seção 11.5; nosso objetivo aqui é interpretá-lo geometricamente. Antes vamos recordar a regra da cadeia: se f(x, y) for dife- 2 renciável no aberto áCR , y (t) diferenciável no intervalo aberto /, onde y (t) E A para todo t E /, então, h (t) = / (y (t)) será diferenciável e h'(t)= 4 [/(?«)] = V/(y(r))- Y ( t ). dt Seja f(x, y) de classe C num aberto ACl e seja (x 0 , y 0 ) um ponto da curva de nível f (x, y) = c; suponhamos V/(xq, y 0 ) + (0, 0). Vamos mostrara seguir que V / (x 0 , >’ 0 ) é perpendicular em (xq, y 0 ) a toda curva y, diferenciável, passando por (xq, y 0 ) e cuja imagem esteja contida na curva de nível/(x, y) = c (nas condições acima, pelo teorema das funções implícitas, uma tal curva existe). Seja, então, y (t), t E /, uma tal curva, com y (t 0 ) = (xq, >’ 0 ); como estamos admitindo que a imagem de y está contida na curva de nível f (x, y) = c, teremos © f(y(t)) = c para todo t no domínio de y. Derivando os dois membros de © em relação a t, obtemos: 4r /(?('))] = 4< c ) dt dt ou V /(y (/)) • y' ( t) = 0, t E /, 246 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e, portanto, V/(y(íg)) • y' (f 0 ) = 0 ou seja, V/(x 0 , y 0 ) é perpendicular a y, em y (f 0 ) = (xg, y 0 ). Dizemos, então, que V /(xg, y 0 ) é um vetor normal à curva de nível /(x, y) = c, em (xg, y 0 ). A reta passando por (xg, y 0 ) e perpendicular a V /(xg, y 0 ) denomina-se reta tangente, em (x 0 , yg), à curva de nível/(x, y) = c. A equação de tal reta é: V/(x 0 ,y 0 ) • [(x, y) - (xg,y 0 )] = 0. EXEMPLO 1 . A curva y (?) passa pelo ponto (1, 2) e é tal que/(y (t)) = 6 para todo t no domínio de y, onde/(x, y) = x y — xy (observe que a imagem de y está contida na curva de mvel/(x, y) = 6). Suponha y(? 0 ) = (1,2) e y (r 0 ) # 0. Determine a equação da reta tan¬ gente a y no ponto (1,2). Solução V/( 1 , 2 ) = f 4^(1. 2 ), 4^0. 2 )) = ( 22 , 11). \ ó»x J A reta tangente a y em y (í 0 ) = (1,2) coincide com a reta tangente à curva de nível/(x, y) = 6 em (1, 2). Assim, a equação da reta tangente a y em (1, 2) é: V/(l, 2) • [(x, y) — (1, 2)] = 0 ou 22 (x - 1) + 11 (y - 2) = 0 y = —2x + 4. ou Gradiente e Derivada Direcional 247 Vejamos como fica, em notação vetorial, a equação desta reta. O vetor (—11, 22) é perpen¬ dicular a V/(l, 2) = (22, 11); logo, ( — 11,22) é paralelo a y' (r 0 ); assim, a equação da reta tangente acima pode, também, ser dada na forma (x, y) = (1,2) + A (-11,22), À G IR. ■ EXEMPLO 2. Considere a equação a derivadas parciais © 2^+^=0 dx dy d) Com argumentos geométricos, obtenha solução de @. b) Suponha/: IR 2 —» IR diferenciável; prove que se /satisfaz @, então existe

’) constante sobre a reta r f{x, y) =/(0, m ), onde 248 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ——— = —, ou, m = ———. Assim, f(x,y) =f( 0, —-—); tomando-se x - 0 2 2 * J \ 2 ) R Assim, as funções sen (2 y — x), e 2y x . * IR é uma função derivável. diferenciável,/(x, y) =

’ 0 ), com >’ 0 = g (x 0 ), um ponto do gráfico de g. Segue que V F (x 0 , y 0 ) é normal ao gráfico de g em (x 0 , >’o)- Como V F (x, y) = (g' (x), — 1) resulta, V F(x 0 ,y 0 ) = (g' C*o)> — 1)- A equação da reta tangente ao gráfico deg, no ponto de abscissa x 0 , é, então Cg' Uo)> _ i) • K-t. y) - (*0’ Jo)] = 0 ou g' (*o) (x- x 0 ) - (y- y 0 ) = o ou, ainda, y ~ y 0 = g' (x 0 ) (x - x 0 ). Por outro lado, a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto de abscissa Xq é: (x, y) = C*ü, y 0 ) + À (g' (x 0 ), -1), A £ IR. Suponhamos, agora, que a função diferenciável y = g (x) seja dada implicitamente pela equação F (x, y) = 0, onde F é suposta diferenciável eVF (x 0 , y 0 ) 4= 0, com y 0 = g (-^b) (observe que a situação anterior é um caso particular desta). Segue que, para todo x no do¬ mínio de g, F (x, g (x)) = 0, isto é, a imagem da curva y (x) = (x, g (x)) está contida na curva 250 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 de nível F (x, y) = 0. Assim, V F (xq, >’q) é normal ao gráfico de g no ponto (x 0 , >’o)- Pode- dF dF ríamos, também, ter chegado a este resultado, no caso —- (x 0 , >’q) ^ 0e -—- (x 0 , >’o) + 0, dy âx observando que dF < \ — (*o. yo) ãy dF âx (-«o. yo) é o coeficiente angular da direção determinada pelo vetor _ dF -* dF "* v F (xq, >'o) = — (x 0 , >' 0 ) i + — (x 0 , >' 0 ) j e que âx ây — Uo,yo) g' (xo) = ~ -jf - — Uo.yo) dy (fórmula de derivação implícita) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de g no ponto (xq, >' 0 ). EXEMPLO 3. y = f(x) é uma função diferenciável definida implicitamente pela equação y + xy + x = 3x. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de/no ponto (1, 1). Solução y 3 + xy + x 3 = 3x -a- y 3 + xy + x 3 — 3x = 0 F (x, y) V F (1, 1) é perpendicular ao gráfico de/no ponto (1, 1). Temos: V F (1, 1) = (1,4), pois, V F (x, y) = (y + 3x 2 - 3, 3y 2 + x) Reta tangente: V F (1, 1) • [(x, y) — (1, 1)] = 0 ou seja, y = 5 4' Reta normal: y - 1 = 4(x- l)ouy = 4x-3. Gradiente e Derivada Direcional 251 Ou, em forma vetorial: (x, y) = (1, 1) + A (1,4), A G IR. Exercícios 13.1 - i . : ... • .... 1. É dada uma curva y que passa pelo ponto y (íq) = (1,3) e cuja imagem está contida na curva de nível x 2 + y 2 = 10. Suponha y' (r 0 ) + 0 . a) Determine a equação da reta tangente a y no ponto (1,3). b) Determine uma curva y(t) satisfazendo as condições acima. 2. Determine a equação da reta tangente à curva yno ponto y (t 0 ) = (2, 5) sabendo-se que y' (tft) í 0 e que a sua imagem está contida na curva de nível xy = 10. Qual a equação da reta normal a y , neste ponto? 3. Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. a) x 2 + xy + y 2 - 3y = 1 em (1, 2). b) e 2 * y + 2x + 2y = 4 em ^ , 1 j. 2 2 4. Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x + y = 3 e paralela à reta 2x + y = 5. 5. Determine uma reta que seja tangente à curva* + xy + y = 7e paralela à reta 4x + 5y = 17. 6. Utilizando argumentos geométricos, determine soluções d a equação a derivadas parciais dada. a) 3 — + 2 — = 0 âx dy »)^-^=o dx dy x àf df <•) — +—= 0 dx dy d)y^-x^= 0 dx dy df df 7. Determine uma função z = f(x, y) tal que — = — e cujo gráfico passe pelos pontos (1,1,3), dx dy (0,0, 1) e (0, 1,2). df df 8. Determine uma função z = f(x, y) tal que — = 2 — e cujo gráfico contenha a imagem da ' dx dy curva y (r) = (t, t, t 2 ), t £ IR. 9. Determine uma curva y (t) = (x (r), y (r)) que passe pelo ponto y (0) = (1, 2) e que intercepte 2 2 ortogonalmente as curvas da família x +2y = c. 10. Determine uma função y = y (x) cujo gráfico intercepte ortogonalmente as curvas da família xy = c, com x > 0 e y > 0, e tal que a)y(l) = 1 b)y( 1 ) = 2 252 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 2 11. Seja z =/( x, y) diferenciável em IR e tal que V f(x, y) = g (x, y) (x, y), para todo (x, y) em R , onde g (x, y) é uma função de R 2 em R dada. à) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar que/ seja constante sobre cada circunferência de centro na origem. b) Prove que fé constante sobre cada circunferência de centro na origem. 2 2 2 (Sugestão: g ( t ) =f(R cos t, R sen t) fornece os valores de/sobre a circunferência x + y = R .) 12. Seja y = g (x) definida e derivável no intervalo aberto /, dada implicitamente pela equação f(x, y) = 0, onde f(x, y) é suposta diferenciável no aberto A C R . Suponha — (x, y) ■ — (x, y) > 0 em A. dx dy a) Com argumentos geométricos, mostre que é razoável esperar que g seja estritamente de¬ crescente em I. b) Prove que g é estritamente decrescente em I. 13.2. Gradiente de Função de Três Variáveis: Interpretação Geométrica 1 3 Seja/(x, z) de classe C num aberto A C IR e seja (xq, y 0 , zq) um ponto da superfície de nível/(x, y, z) = c; suponhamos V/(xq, y 0 , zq) + (0,0,0). Vamos mostrar que V /(xq,>’ 0 , 2 q) é normal em (x 0 , y 0 , zq) a toda curva y, diferenciável, passando por este ponto e cuja imagem esteja contida na superfície de nível /(x, y, z) = c. Seja, então, y (?), t G /, uma tal curva, com y (Zq) = (xq, >’q, Zq); como estamos supondo que a imagem de y está contida na super¬ fície de nível /(x, y, z) = c, teremos © f(y(t)) = c para todo t no domínio de y. Derivando, em relação a t, ambos os membros da equação © obtemos, para todo t G /, V/(y (/)) • y' (r) = 0 e, portanto, V/(y (f 0 )) • y' Uq) = 0 , o que mostra que V/(y (íq)) e V ( ? o) s ^° ortogonais. Fica provado assim que V /(xq, >q, Zq) é normal em (x 0 , >’q, z 0 ) a toda curva diferenciável y passando por este ponto e com imagem contida na superfície f(x, y, z) = o. Diremos, então, Gradiente e Derivada Direcional 253 que V /(xg, y 0 , Zg) é normal à superfície de nível f(x, y, z) = c, no ponto (xg, Zg). O plano passando pelo ponto (x 0 , y Q , zg) e perpendicular a V/(xg, >> 0 , zg) denomina-se plano tangente, em (x 0 , y 0 , zg), à superfície f(x, y, z) = c. A equação deste plano é: V /(*0> ^o- Zg) ' [U y. Z) - (*o> ^0’ Zq) 1 = o. A reta (X, y, z) = (Xg, }>g, Zg) + A V /(Xg, )>g, Zg), A G IR denomina-se reta normal, em (xg, y Q , zg), à superfície /(x, y, z) = c. Seja z = g (x, y) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0 onde F (x, y, z) é suposta de classe C num aberto de R ; seja (x 0 , >> 0 , z 0 ), z 0 = g (xg, >’g), um ponto do gráfico de g, com V F (x 0 , y 0 , zg) # 0. Como o gráfico de g está contido na super¬ fície F (x, y, z) = 0, resulta que toda curva y com imagem contida no gráfico de g tem, tam¬ bém, sua imagem contida na superfície F (x, y, z) = 0; assim, V F (x 0 , y 0 , zg) é normal ao gráfico de g, em (x 0 , v 0 , zg). Observe que se y (?) é uma curva diferenciável com imagem contida na interseção das superfícies F(xj,z) = 0eG (x, y z) = 0, onde FeG são supostos de classe C 1 num aberto -5 de R eVF (x 0 , >> 0 , zg) A V G (x 0 , >> 0 , zg) + 0, então o vetor y' (? 0 ) + 0, tangente a y em y ( to ) = (^ 0 . Zo), é paralelo aVF (x 0 , yg, Zg) A V G (x 0 , yg, zg) (verifique). EXEMPLO 1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície xyz + x 3 -I- y 3 -I- z 3 = 3z no ponto (1, —1,2). Solução xyz + x 3 -I- >> 3 + z 3 = 3z xyz -I- x 3 + >> 3 + z 3 — 3z = 0. F(x, y, z) V F (x, y, z) = í —, —, — ] = (yz + 3x 2 , xz + 3y 2 , xy + 3z 2 - 3). ( dx dy dz J VF(1,-1,2) = (1,5, 8). Plano tangente em < 1, —1, 2): V F (1, -1,2) • [(x, y, z) - (1, -1,2)] = 0 ou (1,5, 8) • [(x, y, z) - (1,-1,2)] =0 ou seja, (x - 1) + 5 (y + 1) + 8 (z - 2) = 0 254 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou, ainda, x + 5y + 8z = 12. Reta normal em (1, —1, 2): (x, y, z) = (1, -1,2) + A (1, 5, 8), A e IR. ■ EXEMPLO 2. Considere a função z = f(x, y) dada por/(x, y) = ^ 8 — 3x 2 — y 2 . Deter¬ mine a equação do plano tangente no ponto (1, 1,/(1, 1)). Solução l.° processo df Z-/( 1,D= tMI.IM* âx D+ ~ (1, D (y - D dy /(U) = 2 âj_ = _ —6x II f—H * ^ | ^ d W) o -3 âx 2- h - 3x 2 - y 2 ' 2 â± = _ -2 y ; logo, ~~(l, l) = ây 1 ây 2- ^8 - 3x 2 - y 2 ' 2 z-2=-\(y-V é a equação do plano tangente em (1,1,/(1, 1)). 2.° processo z = -^8 - 3x 2 - y 1 => z 2 = 8 - 3x 2 - y 1 A função é então definida implicitamente pela equação 3x 2 + y 1 + z 1 — 8 = 0 E(x, v y, z) V F (1,1, 2) é, então, normal ao gráfico de/no ponto (1,1,/(1, 1)). V F (x, y, z) = (6x, 2 y, 2z) =* V F (1, 1, 2) = (6, 2,4). A equação do plano tangente em (1, 1, 2) é: (6, 2, 4) • [(x, y, z) — (1, 1, 2)] = 0 Gradiente e Derivada Direcional 255 ou 6 (x - 1) + 2 (y - 1) + 4 (z - 2) = 0, ou, ainda, z-2 = -|(x-l)- j(y-l). ■ EXEMPLO 3. A imagem da curva y (?) está contida na interseção das superfícies X 2 + 2 y 2 + z = 4ex 2 +y + z=3. Suponha y (?o) = (1,1,1) e y ' (to) =£ 0. a) Determine a reta tangente a y no ponto y (to). b) Determine uma curva y (?) nas condições acima. Solução a) Sejam F (x, y, z) = x 2 + 2 y 2 + z e G (x, y, z) = x + y + z. Para todo ? no domínio de y devemos ter F(y (?)) = 4 e G (y(t)) = 3, pois a imagem de y está contida nas superfícies de nível F (x, y, z) = 4 e G (x, y, z) = 3. Segue que V F (y (? 0 )) • y' (? 0 ) = 0 e V G (y (? 0 )) • y' (? 0 ) = 0, ou seja, y' (? 0 ) é normal aos vetores V F (1, 1, l)eV G(l, 1, 1); logo, y' (? 0 ) é paralelo ao produto vetorial V F(l, 1, 1) A V G(l, 1, 1). Temos: 1 j k V F( 1, 1, 1) A V G(1, 1, 1) = 2 4 1 2 1 1 A equação da reta tangente a y no ponto y (? 0 ) = (1,1, 1) é: (x, y, z) = (1, 1, 1) + A (3, 0, -6), A E IR. b ) \ x2+ iy 2 + z = 4 |x 2 + y + z = 3 2 2 x +y + z= 3=>z = 3— x — y. Substituindo na 1 . a equação vem: x 2 + 2y 2 + 3 - x 2 - y = 4 2 1 e, portanto, 2y — y — 1 = 0, ou seja, y = 1 ou y = — —; isto é, y não depende de x. Como ^ 2 a curva deve passar pelo ponto (1,1,1), vamos tomar y = 1. Segue que z = 3 - x - 1, ou 256 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 seja, z = 2 — x 2 . A imagem da curva y (?) = (t, 1, 2 — í 2 ) está contida na interseção das superfícies e passa pelo ponto (1, 1, 1). Sugerimos ao leitor desenhar a imagem de y. Exercícios 13.2 1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. a) x 2 + 3y 2 +4z 2 = 8em(l, -1, 1) b) 2xyz = 3 em ^ —, 1, 3 j c) ze x ~ y + z 3 = 2 em (2, 2, 1) 3 3 3 2. A função diferenciável z = f (x,y)é dada implicitamente pela equação x + y + z =10. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de/no ponto (1, 1,/(1, 1)). 3. 2 2 2 A A Determine um plano que seja tangente à superfície* + 3y + 2z = —e paralelo ao plano 6 x + y + z = 10. 4. É dada uma função diferenciável z=f(x,y) cujo gráfico está contido n a superf ície x 2 + y 2 + 2 = 1. ' ( —, — ) = Determine a equação do plano tangente ao gráfico de /no \ 2 2 / 2 Sabe-se que / ponto 1 I 2Ü.) 2 2' 2 j 2 2 2 5. A imagem da curva y (r) está contida na interseção das superfícies x + y + z =3 2 2 2 , ex +3 y — z =3. Suponha y (r Q ) = (1, 1, l)e y' (t Q ) =é 0 . Determine a reta tangente a y em y (r Q ). 2 2 6. A imagem d a curva y(t) está contida na interseção da superfície cilíndrica x +y =2 com a 2 2 2 superfície esférica x +y +z — 3. Suponha y (t^) = (1, 1, 1) e -y' (f () ) A 0. a) Determine a reta tangente ayemy (f.). b) Determine uma curva y(t ) satisfazendo as condições acima. 7. É dada uma curva y(t) cuja imagem é a interseção das superfícies 4x 2 + >' 2 = 1 e x + >■ + z = 1. Suponha y (r Q ) = (0, 1,0) e y' (r Q ) i= 0. á) Determine a reta tangente a y em y (r 0 ). b) Determine uma parametrização para a interseção acima. ^8 + x 2 + y 2 8. Considere a função z = - . y a) Determine uma função F (x, y, z), que não envolva radicais , tal que a função dada seja de¬ finida implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0. b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto (2, 2, 1). 2 2 2 9. Determine a equação do plano normal, em (1,2, 3), à interseção das superf íciesx +y +z =14 e xyz = 6. Gradiente e Derivada Direcional 257 10. Determine um plano que passe pelos pontos (5,0,1) e (1, 0, 3) e que seja tangente à superfície x 2 + 2y 2 + z 2 = 7. 13.3. Derivada Direcional Sejam z = /(x, y) uma função, (xq, y 0 ) um ponto de Dj e h = (a, b) um vetor unitário. Suponhamos que exista r > 0 tal que para 1 1 1 < r os pontos da reta (x, y) = (xq + at, y 0 + bt) pertençam ao domínio de /. Como estamos supondo u = (a, b) unitário, a distância de (xq + at, >’o + bt) a (xq, y 0 ) é 1 1 1 (verifique). Pois bem, definimos a taxa média de variação de/, na direção u = (a, b), entre os pon¬ tos (x 0 , >' 0 ) e (x 0 + at, >’ 0 + bt) por 0 /(xp + at, yp + bt) - /(xp, yp) t Vamos destacar, a seguir, o limite de © para t —> 0. Definição. O limite ^ C*ò> yo) = lim j t -* o du f (x 0 + at, yo + bt) - f(x 0 , yo) quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de fno ponto (x 0 , yo) e na direção do vetor u = (a, b), com u unitário. n £ A derivada direcional (xq, y 0 ) denomina-se, também, taxa de variação de fno pon- d u -» to (xq, yo) e na direção do vetor u . Observe: ~ Uo’ yo) du /(xq + at, y 0 + bt) - /(x 0 , y 0 ) t 258 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for I r I. As derivadas parciais de/, em (x 0 , j^), são particulares derivadas direcionais. De fato: ~ (* 0 ’ y6> = d i lim t -»o f(x o + t, >>o) - /U0. yo) df , \ j• f(x 0 ,yo +t)~f(x 0 ,yo) df , — (*o. y<>) = hm --——-— = — yo)- , . r —0 t dy d J ri f ri f Deste modo, —— (x 0 , >’ 0 ) e —- (x 0 , >> 0 ) são, respectivamente, as derivadas direcionais de/, dx dy no ponto (xq, >> 0 ), e nas direções dos vetores i =(l,0)e j =(0,1). f) f A seguir, vamos interpretar geometricamente (x 0 , y 0 ). Para isto, consideremos a curva y ( t ) dada por " u r- onde g (t) = f(x 0 + at, y 0 + bt). fx = x o + at y = y 0 + bt z = g(t) Observe que a imagem de y está contida no gráfico de/. Temos: g' (0) = lim Mzm = lim f(m+°t,yy + b,)-Hx 0 , M ) s if_ f —0 t t -* 0 t du Gradiente e Derivada Direcional 259 ou seja, g' (0) = -“7 (* 0 ’ Jo)- d u í âf ^ Segue que y' (0) = (a, b, g' (0)) = | a,b, —^ U 0 > m)!- Então, d u y' (0) = (a, b, 0) + ( â/ - J. 10, 0,-^Uo, l d u (a, b, 0) r) f Como (a, b) é unitário, (x 0 , y 0 ) = tg /3 (veja figura anterior). d u EXEMPLO 1. Seja f(x, y) = x 2 + y 2 . Calcule (1, 1) onde ué o versor de du a) v = (-1, 1) b) v = (1,2) c) v = (1, 1) Solução r) f —* Inicialmente, vamos calcular —(1,1) onde u = (a, b ) é um vetor unitário qualquer. d u df_ 1} = üm /(! + at,\ + bt) - /(!,!) i —o t du = lim ^ + at)2+ ^ + bt)2 ~ 2 =2a + 2b. r-»0 t Ou seja, ^ (1, 1) = 2 a+ 2b. du 260 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) u (-1, D H(-l, Dll 2.2 ou seja, x + y = J_1_ V2 ’ V2 2 (verifique). u é tangente em (1,1) à curva de nível f(x, y) = 2 Portanto, é razoável esperar que, nesta direção t, a taxa de variação de/, em (1,1), seja nula. (Por quê?) De fato 2 • d u = 0. b) u d, 2) 11(1, 2)11 (— — \ V5 ’ V5 = (a, b) v - (1, 1) _ c) u = - 11(1,1)11 Temos: —]; observe que ué o versor do vetor gradiente V/( 1,1) = (2,2). V2 V 2 7 ’ 0 ) assumirá valor mᬠximo para u igual ao versor do vetor gradiente V /(xq, ^q). u EXEMPLO 2. São dados uma função/(x, y) = x z + , um vetor unitário (a, £>) e um real f3> 2. Suponha que (1 + 5a, 1 + sb) e 11 + -j=-, 1 + j, com s > 0 e t > 0, pertençam Gradiente e Derivada Direcional 261 à curva de nível f(x, y) = /3. Compare a taxa média de variação de/entre os pontos (1, 1) e t (1 + 5a, 1 + sb) e entre os pontos (1, 1) e ^ 1 + -^=-, Solução 1 + l\ +— ,i + -!—) \ síi sfTJ Sendo (a, b) unitário, a distância de (1 + 5a, 1 + sb) a (1, 1) é s; a distância de 1 + — t j=-, 1 + j a (L 1) é t. Se (a, b) ¥= | -JLr, j, teremos r < 5. Como /(I + 5a, 1 + sb) =/ ^ 1 + -^=, 1 + —- j resulta, para (a, b) + | -J=, -J=- j, /[ l + 4-,l + 4-'l — /(l, 1) /(I + 5a, 1 + sfe) - /(l, 1)^1 V2 -ã) < É razoável, portanto, esperar que (1,1) assuma valor máximo para « = | -j=-, -JL. j. du EXEMPLO 3. Seja u = (a, b) um vetor unitário dado. Calcule — (0, 0) onde d u f(x, y) = — - y se (x, y) * (0, 0) x L + y L 0 se (x, y) = (0, 0). Solução a 3 r 3 /(0 + ar, 0 + bt) - /(0, 0) (ar) 2 + (btj 1 a 3 -- =-= _-— = a J , r =?- 0. t t a 2 + b 2 262 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ü (0.0)- lim /(0 + «.0 + fa>-/«>.0>„,3 Cu ou seja, para todo vetor unitário (a, b) (0, 0) = a\ m d u Já vimos que fé contínua em (0,0), mas não diferenciável em (0,0). Este exemplo mostra- nos que uma função pode ser contínua num ponto, ter derivada direcional em todas as di¬ reções neste ponto, e mesmo assim não ser diferenciável neste ponto. 13.4. Derivada Direcional e Gradiente O objetivo desta seção é destacar mais algumas propriedades do vetor gradiente. Inicial¬ mente, vamos provar que se/for diferenciável em (x 0 , ^q), então/admitirá derivada dire¬ cional em todas as direções, no ponto (x 0 , >’q), e cada derivada direcional se exprime de modo bastante simples em termos do gradiente de/em (xq, >> 0 ). 2 Teorema 1. Sejam/: A C IR —* IR, A aberto, (x 0 , ^)£Ae u = (a, b ) um vetor unitário. Se/(x, y) for diferenciável em (x 0 , ^q), então/admitirá derivada direcional em (xq, 3> 0 ), na direção u, e -^4 (^,y 0 ) = V/Uo^o) ‘ «- d u Demonstração Seja g dada por g ( t) = f(xQ + at, y 0 + bt); da diferenciabilidade da/em (x 0 , >’q) segue a diferenciabilidade da g em t = 0 e, pela regra da cadeia, g' (0) = (*0’ yo) a+ Uo> %) b = ^o) • (a- b ) dx dy Como resulta, -^4 Uo- Jfo) = g' (0) d u Gradiente e Derivada Direcional 263 O teorema acima conta-nos que se f(x, y) for diferenciável em (xq, y 0 ), então r) f —* ~~ (^o^o) = v /(*o>:Vo) • «• du Entretanto, se f não for diferenciável em (xg, y 0 ) esta relação não tem nenhuma obrigação de se verificar. (Veja Exercício 21.) De agora em diante, quando nada for dito sobre uma função f(x, y) ficará implícito que se trata de uma função definida num aberto e diferenciável. Vimos na Seção 6.4 que se w e u são vetores não-nulos e 0 o ângulo entre eles, então w • u = II w IIII u II cos 0; se u for unitário, w ■ u = II w II cos 0. Na figura a seguir, a u é a projeção de w na direção u , onde a = II w II cos 6. Diremos que o número a = II w II cos 6 é a componente escalar de w na direção u . Veremos a seguir que —^ (x 0 , y 0 ) é a componente escalar de V /(x 0 , >’ 0 ) na direção u . d U Suponhamos V /(xq, y 0 ) ^ 0 e u unitário. Seja 0 o ângulo entre V/(x 0 , y^) e u . Temos: (* 0 ,yo) = v /(^b.yo) • u = ||V /(-*b. ^o) i • I u II cos 0. â u Como u é unitário 264 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 -T (-* 0 - >()) = 11 V/(xo, y 0 ) I cos 6. d u r) f ( x 0’ >’o) e a componente escalar de V /(xq, y 0 ) na direção u . d u ATENÇÃO: (x 0 , >’ 0 ) é número. d u Teorema 2. Seja/: A C IR 2 —» IR, A aberto, diferenciável em (xq, >>o) e tal que V f(xo, y 0 ) 4= 0. Então, o valor máximo de (xq, yo) ocorre quando u foro.versorde d u Vf(xQ,y 0 \istoé, u = e o valor máximo de (xq, é I! V/(xq,>’ 0 )II. IIV/(x 0 , y 0 )ll â u Demonstração âf d u (*0- ^o) = 11 V/ixo^o) 11 cos e r) f —* (jcq, Jq) tera va ^ or máximo para 6 = 0, ou seja, quando u for o versor de V /(jc 0 , Jq)- d u r) f O valor máximo de (xq, )>q) é então II V /(xq, }>q) II. ■ d u O teorema acima nos diz, ainda, que, estando em (x 0 , ^q), a direção e sentido que se deve tomar para que f cresça mais rapidamente é a do vetor V/(xq, )> 0 ). EXEMPLO 1. Calcule (1,2), onde/(x, y) = x 2 + xy, e u o versor de d u a) v = (1, 1) b) w = (3,4) Solução Como fé diferenciável Gradiente e Derivada Direcional 265 Vf(x,y) = (2x + y, x); logo, V/(l, 2) = (4, 1). a) u _1 _ 1 _ V2 ’ V2 ; assim, (1,2) = (4,1) • d u b) u = íl \5’ 5) ~~ç (1, 2) = (4, 1) d u EXEMPLO 2. Seja/U, y) = x 2 y. (3 4\ = 16 ’ l 5’ 5 ) 5 ' —» d f d) Determine u de modo que ^7 (1,1) seja máximo. â u n f b ) Qual o valor máximo de (1, 1)? d u c ) Estando-se em (1, 1), que direção e sentido deve-se tomar para que /cresça mais rapida¬ mente? Solução V/(l,l) = f^-a, i),^-ai)] = (2, d. [dx dy ) a) Como fé diferenciável em (1, 1 ) e V/(l, 1 ) + (0, 0), segue que 3f ( 1 , 1 ) é máximo V/(l, 1 ) . - para u = -, ou seja, u = HV/( 1 , 1)11 í— — l V5 ’ V5 â u b) O valor máximo de (L 1) é II V/(1, 1) II = -J5. d u c) V/( 1 , 1 ) = (2,1) aponta a direção e sentido em que/cresce mais rapidamente em (1,1). ■ 2 2 EXEMPLO 3. Admita que T(x,y)=x -I- 3 y represente uma distribuição de temperatura no plano xy: T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (supondo T em °C, x e >’ em cm). 266 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) Estando-se em ^ 2, ^ j, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção? b) Estando-se em ^ 2, ^ j, qual a direção e sentido de maior decrescimento da temperatu¬ ra? Qual a taxa de decrescimento nesta direção? Solução a) V T 2, ^ 2, j = (4, 3) = 4 í + 3 j aponta, em ^ 2, ^ j, a direção e sentido de maior vW 2, \ 2 / crescimento de temperatura. Nesta direção, u = ü -jr, a taxa de variação da tem¬ peratura é máxima: vt( ? —^ V’ 2 ; ÍL / 2 i\ = d w vrf 2, -'l I = *> r°i V 2 ! 5 (°C/cm), ^9 o que significa que, a partir do ponto [ 2, — ) e na direção e sentido de V T ^ 2, — j, a tem- \ ’ 2 ) peratura está aumentando a uma taxa aproximada de 5°C por cm: (2 3 1 b) -V T ( 2 ,^-) = -(4 7 + 3 7 r 2 ) (2 D i ) aponta, em ^ 2 , — j, a direção e sentido de maior vrf 2, — ^ V 2 / decrescimento da temperatura. Nesta direção, u = — ü ---rni’ a taxa var i a Ç ao Vt( 2, -) \ 2 ) da temperatura é mínima: Gradiente e Derivada Direcional 267 — (2,-) = vrÍ2,-) \ 2) \ 2) d lí \ 2 ) Vt( 2 ,-) \ 2 ) v t (2 —^ r 2) ou seja, — f 2, -j = - 5 rc/cnu f 1 21 Nesta direção e sentido, a partir de aproximada de 5°C por cm. \ 2 ’ L\ 2)' a temperatura está decrescendo a uma taxa 2 2 EXEMPLO 4. Suponha que 7 (x, y) = 4x + y represente uma distribuição de temperatu¬ ra no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir de (1,1), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da tempe¬ ratura. Solução Por considerações geométricas, é razoável esperar que a trajetória descrita por P coinci¬ da com o gráfico de uma função y = /(x), com/(1) = 1. dy O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de/em (x, y) é — =/' (x). Como dx VT (x, y) = (8x, 2 y) deve ser tangente ao gráfico de/, em (x, y), devemos ter © dy_ = 2y_ dx 8x / _ ly \ I Observe que a direção do vetor V T (x, y) = 8 xi -I- 2y j tem coeficiente angular -—-j Separando as variáveis em © e integrando, obtemos, 268 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ' ny -\' BX+k {S d j’Sh ix \ Para que a condição /(1) = 1 seja satisfeita, devemos tomar k = 0; assim, ln y = — ln x ou y = tfx. 4 Segue que y (t) = (t , ift), t 1, é uma parametrização para a trajetória descrita por P. Um outro modo de resolver o problema é determinar funções x (t) e y (?) tais que a curva y ( t ) = (x (f), y (?)) satisfaça as condições fy'(r) = Vr(y(r)) 1 y (0) = (1,1). Temos: y' (?) = VT (y (0) ~ (i(í), y(í» = (Sx (f), 2y (?)). Deste modo, x(t)ey (?) devem satisfazer as condições i = 8 jc . y = 2y x( 0 ) = 1 e y( 0 ) = 1 . Deixamos a seu cargo verificar que x = e e y = e satisfazem as condições acima. Assim, y (?) = ( e Sl , e 2t ), t > 0 , é, também, parametrização da trajetória descrita por P. m 2 2 EXEMPLO 5. Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x + y no ponto (1, 2) e na dire¬ ção do vetor 2 i — j. Gradiente e Derivada Direcional 269 Solução O que queremos aqui é ( 1 , 2 ) onde ué o versor de 2 i - j. d u assim, V/(l, 2) = (2, 4) e u (2,-1) _/ 2 _J_\ 11 ( 2 ,- 1)11 ÍV 5 ’ V 5 j —(1. 2) = (2, 4) • â u = 0 . Observação. Tudo o que dissemos nesta seção generaliza-se para funções reais de três ou mais variáveis. EXEMPLO 6 . Calcule a derivada direcional de f(x, y, z ) = xyz no ponto (1, 1, 3) e na di¬ reção í + j + k. Solução V/(l, 1 , 3) • u ~~ (1, 1, 3) = d u onde ué o versor de i + j + k. - _ 0,1, D M II a u)« Assim, i'7ri) ev/<1 ' 1 ' 3, “ <3 ' 3 ' ,) (1, 1,3) = (3, 3, 1) • d u V3 ’ V3 ’ V3 I 7 Vã' Exercícios 13.4 1. Calcule —— (j^j, >' 0 ), sendo dados: d u o)f(x, y) = x 2 - 3y 2 , (x 0 , y 0 ) = ( 1 , 2) e u o versor de 2 ( + j . b)f(x,y)= e x * ~ y2 , (x ~ j- X âf “* 3. Seja/(x, y) = xarctg —. Calcule -(1, 1), onde u aponta na direção e sentido de máximo y crescimento de /, no ponto (1,1). 0 u 4. Calcule a derivada direcional de /(x, y) = ^1 + x 2 + y 1 no ponto (2, 2) e na direção a) v = (1, 2) b) w = — i + 2 j 5. Calcule a derivada direcional de/(x, y) = — -—, no ponto (— 1, l)e na direção 2 i +3 j. x 2 + y 2 6. Uma função diferenciável f{x, y) tem, no ponto (1, 1), derivada direcional igual a 3 na direção 3 i + 4 j e igual a -1 na direção 4 i —3 j Calcule fl)V/(l, 1). 9 } b) —(1,1) onde ué o versor de i + j . d u 2 2 7. Admita que T(x, y) = 16 — 2r — y represente uma distribuição de temperatura no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura. 8. Seja/(x, y) = xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de /. 9. Seja/(x, y) = xy. Determine a reta tangente ao gráfico de/, no ponto (1, 2,/(1, 2)), que forma com o plano xy ângulo máximo. 10. Seja/(x, y) = x + 2y + 1. Determine a reta contida no gráfico de/, passando pelo ponto (1,1,4) e que forma com o plano xy ângulo máximo. 2 2 11. Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de/(x, y) = 4x + y . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória forma com o plano xy ângulo máximo. Determine uma parametrização para a trajetória admitindo que ela passe pelo ponto (1, 1,5). 12. Admita que o gráfico de z = xy represente uma superfície própria para a prática do esqui. Ad¬ mita, ainda, que um esquiador deslize pela superfície sempre na direção de maior declive. Se ele parte do ponto (1,2, 2), em que ponto ele tocará o plano xy? Gradiente e Derivada Direcional 271 13. Seja A = {(x, y) £ IR 2 / 5 — x 2 — 4y 2 3= 0}. Suponha que o gráfico de z = 5 — x 2 — 4y 2 , (x, y) E A, represente a superfície de um monte. (Adote o km como unidade de medida.) Um alpinista que se encontra na posição (1, 1,0) pretende escalá-lo. Determine a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior aclive. Sugerimos ao leitor desenhar o monte e a trajetória a ser descrita pelo alpinista. 2 2 14. Suponha que T (x, y) = 40 — x — 2y represente uma distribuição de temperatura no plano xy. (Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura em °C.) Um indivíduo encontra-se na posição (3, 2) e pretende dar um passeio. a) Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deverá percorrer se for seu desejo desfru¬ tar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2). b) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? c) De quanto a temperatura se elevará aproximadamente, caso caminhe 0,01 km na direção encontrada no item bl d) De quanto decrescerá, aproximadamente, a temperatura, caso caminhe 0,01 km na direção j ? 15. Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção »v indicados. a) /(x, y, z) = xyz em ( 1 , 1 , 1 ) e na direção w = 2 i + j — k. 2 2 ~'* b) f(x,y,z) = x + xy + z em (1, 2, — 1) e na direção w = i +2 j + k . 16. A função diferenciável/(x, y, z) tem, no ponto (1, 1, 1), derivada direcional igual a 1 na dire¬ ção 4 j + 3 k , igual a 2 na direção -4 i + 3 j e igual a zero na direção j . Calcule o df valor máximo de (1, 1, 1). d u 2 17. Seja/(x, y) diferenciável e sejam u e v dois vetores de IR , unitários e ortogonais. Prove: V/(x, y) = —^ (x, y) u + (x, y) v . â u d v d f d f ~ —( x , y ) e (x, y) são os componentes de V f(x, y) em relação à base ( u , v ). ( l â u d v 18. Seja g (r, 0) = /(x, y), com x = r cos d e y = r sen 6, onde/(x, y) é suposta diferenciável num aberto do IR .. Sejam u = cos 0 i + sen 0 j e v = — sen 0 i + cos 0 j. Mostre que 272 Um Curso de Calculo — Vol. 2 c) II V /(x, y) II 2 dg_ dr (r, 6) dg_ dd (r, 6) 2 , onde x = r cos dey = r sen 6. 19. Calcule II V/(1, 1) II sendo/(x, y) = arc sen í x 2 + y 2 (Sugestão: Faça g (r, 6) = f(x, y), com x = r cos dey = r sen d e utilize o item c) do exercício anterior.) 20. Suponha f(x, y) diferenciável no aberto A. Sejam (s, t) as coordenadas do vetor (x, jy) em rela¬ ção à base ( u , v ), onde u = (cos a, sen a) e v = (—sen a. cos a). Considere a função g dada por g (s, t) = f(x, y). Mostre que Interprete. dg df dg df — (s, t) = (x, y) e — (s, t) = ~ (x, y). ds dt d u d v x J 21. Seja/(x, y) = — -— se (x, y) ¥= (0, 0) e/(O, 0) = 0. Mostre que x 2 + y 2 — (0, 0) ¥= V/( 0,0) • u , onde u = ^ d u 2 22. Seja/(x, y) diferenciável no aberto A de 15 e sejam y (t) e 8 (t) duas curvas definidas e di¬ ferenciáveis num intervalo aberto I e com imagens contidas em A. Suponha y (t 0 ) = 8 (r 0 ), II y (r 0 ) 1 = 1,15' (íq) II = 1, V/(y(r 0 )) f 0 ey 1 (r 0 ) o versor de V/(-y (íq))- Suponha, ainda, que y' (r 0 ) não seja paralelo a 8' (í 0 ). Prove que existe r > 0 tal que f(y(t)) >f(8 ( t )) para t 0 < t < t 0 + r e f(y (0) ’); na Seção 10.1 vimos como construir as funções — e —. Da mesma forma, podemos, agora, construir as funções: d 2 / d (df\ = _d_ ( df\ d 2 f _ d ( df\ d 2 f _ d (df\ dx 2 dx \ dx )' dy 2 dy ( dy j’ dx dy dx \ dy )' dy dx dy \ dx )' üLL = A_ d3 f = A ( d2 f ) etc dx 3 dx \ dx 2 ; dx dy dx dx ^ dy dx J EXEMPLO 1. Se ja/(.x, y) = 4x 5 _v 4 — 6 .r 2 y + 3. Calcule todas as derivadas parciais de 2. a ordem. Solução — (x, y) = 20x 4 )’ 4 — \2xy e — (x, y) = 1 6x 5 y 2 — 6x 2 . dx dy (*, y) = -fí^-(x, y)) = ^-(20*y -12 xy) = 80x 3 / - 12 y. dx dx \dx / dx ITT- (x ' = = t"( 20 ^V - 12 ^) = 8 °A 3 -12*. dy dx dy \ dx 1 dy d 2 / , , _ d (df \ _ d 5 3 2, _ , s 5 2 TT (*. y) = — — (x, y) = —-(16* y - 6x ) = 48x y . dy dy \ dy ) dy ^ { (*, y) = ~ (x, y)) = -^-(lóxV - 6x 2 ) = 80*V - 12 jc. ■ dx dy dx \ dy ) dx Derivadas Parciais de Ordens Superiores 275 ^2 -f ^2 f Note que, neste exemplo,-(x, y) =-(x, y), para todo (x, y) G IR 2 . dx dy dy dx EXEMPLO 2. Seja/(x, y) = xy J x 2 + y 2 se (x, y) =P (0, 0) se (x, y) = (0, 0). Mostre que à) d 2 f dx dy Solução ( 0 , 0 ) = 0 b) a 2 / dy dx ( 0 , 0 ) = 1 () f a) Devemos, primeiro, determinar—.Para (x, y) # (0, 0), temos: dy df 3xy 2 (x 2 + y 2 ) - 2xy 4 _ xy 4 + 3x 3 y 2 _ (x> y) (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 ) 2 Em (0, 0) temos: ^(0,0) = lim /(0-y)-/(0.0) = Q. Assim, dy y — o y fc..»- dy xy 4 + 3x 3 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 0 se (x, y) = (0, 0). se (x, y) =£ (0, 0) Temos, agora: d 2 f ~~ (x. 0) — ~ (0, 0) 2 (0, 0) = lim ——-—-= 0 ou seja,-(0, 0) = 0. dx dy x — o x — 0 dx dy b) (x, y) = dx y 3 (x 2 + y 2 ) - 2x l y 2 „3 0 {x 2 +y 2 ) 2.2 se (x, y) =£ (0, 0) se (x, y) = (0, 0). (verifique). d 2 f (°> (o. o) d 2 f -— (0, 0) = lim -2Í-=1 ou seja,- J — (0, 0) = 1. dy dx y-»0 y —0 dy dx ^2 / ^2 / O exemplo anterior mostra-nos que a igualdade-(x, y) =-(x, y) nem sem- dx dy dy dx pre se verifica. O próximo teorema, cuja demonstração é deixada para exercício (veja 276 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Exercício 15), fomece-nos uma condição suficiente para que tal igualdade ocorra. Antes de enunciar tal teorema, vamos definir função de classe C n . Uma função /: A C 8 , A aberto, é dita de classe C” em A se /admitir todas as derivadas parciais de ordem n contínuas em A. O teorema que enunciaremos a seguir conta-nos que se/for de classe C 2 em A, A aberto, ... ... d 2 / a 2 / . . . então as derivadas parciais mistas - e -serão iguais em A. dx dy dy dx Teorema (de Schwarz). Seja/: A C 8 , A aberto. Se/for de classe C^emA, jv ( ,.jv dx dy ãyãx para todo (x, y) G A. Exercícios 14.1 1. Calcule todas as derivadas parciais de 2. a ordem. a)f(x, y) = xV c) z = ln (1 + x 2 + y 2 ) b)z = e x2 ~y 2 £) g (*> y) = 4 *V + >' 3 2. Seja f(x, y) = — -—. Verifique que x 2 + y 2 a)x^Ç(x,y) + y-^-(x,y)= ~3^-(x,y) dx z dy dx dx n2 f n2 f b) — t(x, y) + — -x-(x, y) = (x 2 + y 1 ) 2 d 2 f d 2 f 2 2 3. Verifique que —r- H-— = 0, onde f(x, y) = ln (x + y ). dx 2 dy 2 4. Verifique que x - + y —— = 0, onde z = (x + y) e y . dx dy dy 2 2 2 5. Sejam/, g : A C IR —* R, A aberto, duas funções de classe C e tais que 3/ _ dg df _ dg —-e — —-. dx dy dy dx Prove que d 2 f d 2 f d 2 g d 2 g —f f = 0 e —f = 0. dx 2 dy 2 dx 2 dy 2 3 2 6 . Sejam/: A C IR —* IR de classe C no aberto A. Justifique as igualdades. d 2 / d 2 / dx dy dy dx d 2 f _ d 2 } dx dz dz dx a 2 / _ a 2 / dy dz dz dy Derivadas Parciais de Ordens Superiores 277 7. Seja/ (x, y, z) = sj* 2 +y 2 +z 2 Verifique que d 2 f d 2 f d 2 f - — + —— +- — = 0 . dx 2 dy 2 dz 2 2 2 x 2 - y 2 8. Se]?if{x,y) = \ Xy x 2 + 2 se (x, y) * (O, °) Ca lcule (0, 0) e (0, 0). [o *(*>) = <0.0) dxdy dydx 9. Seja u ( x, t) = A sen (aAt + 0. Suponha, ainda, que para todo («, v) E A 3 3 x + y = u — v e xy = u — 2v. dx Calcule — du u = 1 v = 1 12. Seja z = xye y .Verifique que d 3 Z d 3 Z x — T + y -- = 0. dx 3 dy dx 2 2 13. Seja z = f(x, y) de classe C no aberto A e seja (x 0 , y 0 ) E A Suponha que/( xq.^q) == f(x, y), para todo (*, y) E A. Prove que d 2 f d 2 f — e ty^o^o) 50 - dx 2 dy 2 Interprete graficamente. rí 2 -y 1 f / 14. Seja z = J J sen t 2 dt du. Calcule a) d 2 z dx dy b) d 2 z dx 2 x = 1 y = \ r) f () f 15. Seja z = f (x, y), (x, y) E A , com A aberto. Suponha que — e — estão definidas em A e , , 3* dy d 2 f d 2 f que-e-são contínuas em A. Seja (;&), yg) um ponto qualquer de A\ seja B uma dx dy dy dx 278 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 bola aberta de centro (xq, y 0 ) e contida em A. Sejam h e k tais que (xq + h,y 0 + k ) pertença a B. Seja, ainda, H(h, k) = /(x 0 + h,y 0 + k) ~f(x 0 ,y 0 + k) -/(x 0 + h,y 0 ) +f(x 0 ,y 0 ). a) Considere as funções

' 0 e y 0 + k , tais que d 2 f h. H (h, k) = ■ dy dx (r,,^,) = > 0 e >>o + k, tais que à 2 f H (h, k) = e) Prove: d 2 f (•* 0 . yo) d 2 f dx dy (xb.yo)- (f 2 , s 2 ) = p(y 0 + k) - p (y 0 ). dx dy dy dx Observação. A razão de considerarmos a expressão H (h, k) é a seguinte: df , , / (x 0 + h, y 0 ) ~ f (x 0 , > 0 ) — (x 0 . yo) = i™ ---, dx h-*0 h df . . df 2 , — ( x 0 > yo + k) - — (x 0 , y 0 ) d f , , dx dx -(x 0 ,yo)= lim -;- dy dx k -> 0 k /(x 0 + h, y 0 + k) - /(x 0 , y 0 + k) f(x 0 +h,y 0 )-f(x 0 ,y 0 ) lim-lim - = lim k — 0 h - 0 h - 0 = lim k -0 lim h - 0 /(x 0 + h, y 0 + k) - f(x Q, y 0 + k) - f(x 0 + h, y 0 ) + /(x 0 , y 0 ) hk 14.2. Aplicações da Regra da Cadeia Envolvendo Derivadas Parciais de Ordens Superiores Sejam/(x, y), x = x (r) e y = y (t) diferenciáveis. Pela regra da cadeia, temos: Derivadas Parciais de Ordens Superiores 279 ou ~U(x, y)] = V/(x, y) dt I dx dy\ \dt’ ~dt I () f d f Suponhamos, agora, que as funções — e —, sejam também diferenciáveis. O gradien- dx dy te de — em (x, y) é: dx V (x, y) dx =í zr(f Uy> ) ou seja, V^-(x,y) = dx f-,,„).f/u„)|. dx 1 dy dx Temos, então, pela regra da cadeia: d_ dt fu,,) dx = V^(X y)- ( — = ±( !LL (x y)\^L+±(^L( X y)\± dx (X,y) \dt' dt) dx [ dx {X ' y) ) dt dy\dx {X ' y) j dt' Assim, d_ dt fu,„ dx d 2 f dx —f (x, y) — +- dx 2 dt dy dx d 2 / U.,)f dt Da mesma forma, d_ dt (*. y) dy d_ dx *l + ±tÊl (x , y) )ÉL dt dy \ dy ) dt e, portanto, d_ dt fu.,) dy ,JÍL (x , y) ÊL + íf fx , y) ÊL. dx dy dt dy 2 dt EXEMPLO 1. Suponha/(x, y) de classe C 2 num aberto do IR 2 . Seja g (?) =/(3?, 2 1 + 1). Expresse g"(t) em termos de derivadas parciais de/. 8 (0 = f(x, y), x = 3? e y = 2? + 1. g'(t) = 1 f{x, y>] =d f^y)~+ d -f (*• y ) f dt dx dt dy dt Solução 280 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 ou seja, g'(t) 3 — dx (x, y) + 2 — (x, y). dy Então, © g" (í> = 3 — [fu,)l + 2 — d* dt dy Temos: d_ dt dx d 2 f dx 2 dx (x, y) — + dt d 2 f dy dx dt e d_ ~dt 3» dy d 2 f dx d 2 f dy - — (x, y) — + — J T (x, y) —. dx dy d? dy 2 dt Substituindo em©ílembrando que — = 3 e — = 2^,vem: l ^ dt dt ) g" (t) = 9^-(x, y) + 6 ^~(x, y) + 6-^—j—(x, y) + 4^£(x, y). dx^ dy dx dx dy dy z Como/é de classe C 2 ,-= ■-Logo, dy dx dx dy d 2 f d 2 f g "(t) = 9-fUy)+l 2—f- dx z dx dy d 2 f (x, y) + 4—-y(x, y) dy 2 onde x = 3? e y = 2r + 1. EXEMPLO 2. Sejam/(x, y) = x 5 y 4 , x = 3?ey = 2?+l. Calcule g" (?), sendo g(r)=/(3r,2r + 1). Solução 1. ° processo (pela regra da cadeia) g ( t ) =f{x,y),x= 3tey = 2t + 1. Pelo exemplo anterior g" (?) = 9^(x, y) + 12^-(X, y) + 4^-(x, y) Y“ -4 v dx 2 dx dy d ? 2 Derivadas Parciais de Ordens Superiores 281 onde x = 3? e y = 2t + 1. Tendo em vista que d 2 / , x ln 3 4 d 2 / / x 4 3 d 2 f, x n 5 2 — -y(x, y ) = 20x y (x, y) = 20x y e— -^-(x, y) = 12x y dx z dx dy dy L resulta, g" (?) = 180 x 3 / + 240 x 4 > 3 + 48 x 5 > 2 e, portanto, g" (?) = 180 ( 3?) 3 ( 2 ? + l ) 4 + 240 ( 3?) 4 ( 2 ? + l ) 3 + 48 ( 3?) 5 ( 2 ? + l ) 2 .. 2.° processo g (?) = ( 3?) 5 ( 2 ? + l ) 4 . g' (?) = 15 ( 3?) 4 ( 2 ? + l ) 4 + 8 ( 3?) 5 ( 2 ? + l ) 3 . Portanto, g" (?) = 180 (3?) 3 (2? + l ) 4 + 120 (3 ?) 4 (2? + l ) 3 + 120 (3 ?) 4 (2? + l ) 3 + 48 (3 ?) 5 (2? + l ) 2 ou seja, g" (?) = 180 (3 ?) 3 (2? + l) 4 + 240 (3 ?) 4 (2? + l) 3 + 48 (3 ?) 5 (2? + l) 2 ■ EXEMPLO 3. Suponha f{x, y) de classe C num aberto de IR . Seja g dada por g (t) = t 2 ^(x, y), dx onde x = ? 2 e y = ? 3 . Expresse g' (?) em termos de derivadas parciais de/. Solução Pela regra de derivação de um produto, temos: g '( t ) = 2t d -f(x, y) + t 2 — dx dt r<”> Como d_ dt W-O-y)] d dx dx âx J - + (x, y)\ — dt dy \ dx ) dt _ d 2 f dx d 2 f dy dx 2 *’ y dt dy dx (X ’ y dt = 2t í ~{x, y) + 3 ? 2 (x, y) dx A dy dx 282 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 resulta, g' (t) = 2t-~(x, y) + 2t — J T (x, y) + 3 1 3 "/ A d 2 f dx dx 1 dy dx (x, y). EXEMPLO 4. Seja z = /(x,x 2 ) onde / (x,y) é de classe C 2 num aberto de IR 2 . d 2 z Expresse -^-yem termos de derivadas parciais de/. Solução ou seja, Segue que, z = /(x, y), onde y = x 2 . dz d df dx d f dy — = —\f(x, y)] = -7-(x, y)— + -r-(x, y)-f dx dx dx dx dy dx dz _ df df — = —(x, y) + 2x — (x, y). dx dx dy Temos: d 2 z _ dx 2 dx \df . .1 — U y) d + — 2x — (x, y) dx dx dy d_ dx V dx (x, y) = ± (ÍL (X y)\^L + jl ÍÈl (x y)\ ÈL dx \ dx ) dx dy l dx ) dx ou seja, © Temos, também: d d_ dx Bf_ dx ( X , y) J Y ( X ,y)+2x —J-( X ,y). dx dy d X = 2 d -f{x,y) + 2x^ r [^{x,y) dy = 2 —— (x, y) + 2x dy dx \ dy fL (x , y)+ 2 x Çl (x , y) dx dy dy z ou seja, © j- dx 2x (x, y) dy = 2^-(x,y)+ 2x (x, y) + 4x 2 (x, y). dy dx dy dy z Derivadas Parciais de Ordens Superiores 283 Substituindo @ e (5) em (T) e lembrando que/é de classe C 2 , resulta: ff- - ff <*■ * + <*■ » + 412 » + 2 f'?>■ EXEMPLO 5. Seja z =f(u — 2v, v + 2u) onde /(x, y) é de classe C 2 num aberto de [R 2 . d 2 2 Expresse —=- em termos de derivadas parciais de /. du 1 Solução ou seja, Segue que, Z = f(x, y), x = u - 2v e y = v + 2u. dz d rr , d/, , 3/, , dy — = — lf(x, y)] = ~(x, y)— + ~(x, y) — du du dx du dy du dZ df . ..d/, . — = —(x, y) + 2 —(x, y). du dx dy Como d z Z du 2 a + 2 a — (X, y) du [dx J du [dy _d_ du fu.,) dx dx" dy dx resulta _d^ dn ~r u y) dy dx ^ dy ô 2 / dx d /a/ d« dy \ dy d 2 f, dy — -T-u y) + 2 tt ( x ’ *> dx dy dy z du L dx z dx dy dy L EXEMPLO 6 . Mostre que a mudança de variáveis x = e u ey = e v transforma a equação 2 d 2 z . 2 d 2 Z dz d Z dx 1 + y í:L ^-+x - 1 -y — = 1 dy 2 dx ’ dy 284 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 em Solução Temos d 2 Z , <^Z_ du 2 dv 2 = 1 . z = z (x, y), X = e u e y = e . dz _ dz dx dz dy du dx du dy du ou seja, © dz _ u dz du dx ABUSOS DE NOTAÇÃO. Aqui —deve ser olhado como função de x e y, enquanto — dx du deve ser olhado como função de«ev. Segue de © que dz dx o Z udZ u d —«-= e -h e — du 2 dx du Tendo em vista que resulta _d_ dz_ du dx d ( dz\ dx_ + _d_ ( dt\ dy__ qU d 2 z dx \dx) du dy \dx) du dx 2 d 2 Z u dz 2u d 2 Z —=-= e - h e — T . du 2 dx dx 2 Procedendo de forma análoga obtém-se Somando-se @ e @ resulta d 2 Z v dz , 2v d 2 Z —~-= e — + e — dv 2 dy dy 2 d 2 Z ^ d 2 Z _ 2u d 2 z 2v d 2 Z u dz t v dz —— + —— = e —— + e —;=-+ e h e — du z dv z dx z dy Á dx dy 2 d 2 Z , 2 d 2 Z dz dz , dx 2 dy 2 dx dy Derivadas Parciais de Ordens Superiores 285 Exercícios 14.2 (Quando nada for dito sobre uma função, ficará subentendido que se trata de uma função de classe 2 C num aberto.) 1. Expresse g' ( t ) em termos de derivadas parciais de/, sendo g dada por d f 2 a) g (t) = — (x, y), x = t e y = sen t. dx b) g (r) = r 3 ^-(3 1 ,2 /). dx ■c ) g(t)=^~ (r 2 , 2t) + 5- f - (sen 3 1.1). dx dy 2. Expresse g" ( t ) em termos de derivadas parciais de/, sendo g(t) = f (5 1, 4 1). 3. Considere a função g ( t ) = f(a + ht,b + kt), com a, b, he k constantes. 2 2 a) Supondo f(x, y) de classe C num aberto de R , verifique que g" (0 = h 2 (x, y) + 2hk ^ (x, y) + k 2 —^ (x, y) dx 2 dx dy dy 2 onde x = a + ht e y = b + kt. 3 2 b) Supondo/ ( x, y) de classe C num aberto de R , verifique que 3 d 3 / 2 d 3 / g"'(t) = h 3 ^- (x, y) + dh 2 k -~ L - dx 3 dx 2 dy onde x = a + ht ey = b + kt. (. x, y) + 3 hk 2 d 3 / dx dy 2 (x,y) + k 3 d 3 / dy 3 (x.y) 2 2 2 2 2 4. Considere a função h (x, y) =/(x + y , x — y ), onde/(«, v) é suposta de classe C . Verifique que d 2 h dx 2 ~(x,y) = 2 — (u, v) + — (m, v) du dv + 4x d 2 / d 2 / ô 2 / -- (X, V) + 2-— («, v) + —f («, v) du dv dv 1 2 2 2 2 onde h = x + y e v = x — y . f) f 5. Considere a função z = — (x, sen 3x). Verifique que âx ~ -(x, sen 3x) + 3 cos 3x-(x, sen 3x). ííx Ôx" 6. Considere a função z = x — (2x, x 3 ). Verifique que dy dy dx — = ^-(2x,x 3 ) +x ííx dy d / 3 2 d 2 / , 2-— (2x, x 3 ) + 3x 2 — J - (2x, x 3 ) dx dy dy 2 7. Seja g (w, v) = f(2u 4- v, u - 2v), onde /(jc, y) é suposta de classe C . Verifique que d 2 g , d 2 g _ 5 d 2 / , 5 d 2 / diC dv" dx z dy" 286 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 8. Seja v (r, ff) = u (x, y), onde x = r cos Oey = r sen 9. Verifique que d 2 u d 2 u _ d 2 v 1 5v 1 ô 2 v dx 2 + dy 2 dr 2 + r dr + r 2 d6 2 ' 2 2 9. Sejam/( x, y) de classe C num aberto de IR , g (jc) derivável até a 2“ ordem num intervalo aberto I e tais que, para todo x £ /, f(x, g (jc)) = 0 (isto é, y = g (x)é dada implicitamente pela equação/(*, y) = 0). Expresse g" (x) em termos de derivadas parciais de /. 10. Suponha que /(jc, t) satisfaça a equação d 2 f d 2 f © dx 2 dt 2 ' a) Verifique que g (u, v) = f(x, t), onde x = u + vet = u — v satisfaz a equação b) Determine uma coleção de funções/(x, t) que satisfaçam ©. 11. Suponha que /(jc, t) satisfaça a equação d 2 g 5v du = 0 . © a 2 / dt 2 a / dx 2 (c 0 constante). a) Determine constantes m, n, peq para que g (u, v) = f(x, t), onde x = mu + nv e t = pu + qv satisfaça a equação a 2 g du dv = 0. b ) Determine uma família de soluções de ®. 12. Seja F (r, 6, t) = f (x, y, t) onde x = r cos 9 ey = r sen 9. Suponha que (c i= 0 constante) aV =c 2 dt 2 r ^2 d 2 f d 2 f + —rr dx 2 dy 2 Mostre que d 2 F ~dP~ d 2 F j_ i_ af dr 2 + r 2 d9 2 + r dr d 2 £ 13. Sejam z = z (jc, y), x = e u cos v e y = e u sen v. Suponha que —— H-— = 0. Calcule dx 2 dy 2 d 2 Z d 2 Z du 2 âv 2 ' 14. Sejam G ( u, v) = d 2 G F (x, y) d 2 F ,u = x + ye,v = —. Suponha que - x x dx 2 - 2 ■ â 2 F d 2 F dx dy dy 2 = 0 . Calcule - dv 2 2 2 15. a) Ache uma função u (x, y) da forma u (x, y) = F(x + y ) que satisfaça a equação de Laplace dx 2 dy 2 = 0 . Derivadas Parciais de Ordens Superiores 287 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis. 16. Verifique que a mudança de variáveis x = s cos 6 — t sen de y = s sen 8 + t cos 6 com 8 constante, transforma a equação em d 2 u d 2 u dx 2 + dy 2 = 0 (u = u (x, y)) du dv Determine, então, uma coleção de soluções de (D. 18. Suponha que z = z(x,y) satisfaça a equação 15 Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 15.1. Teorema do Valor Médio Um dos teoremas centrais do cálculo de funções reais de uma variável real é o teorema do valor médio (TVM). Nesta seção, vamos estendê-lo para o caso de funções reais de duas variáveis reais e deixaremos a cargo do leitor a tarefa de generalizá-lo para funções reais de três ou mais variáveis reais. Antes de enunciar e demonstrar tal teorema, vamos introduzir os conceitos de segmento e poligonal. Sejam P 0 e P\ dois pontos do IR 2 ; o conjunto P 0 P\ = {P G R 2 I P = P 0 + A (/>! - P 0 ), 0 « A « 1} denomina-se segmento de extremidades P 0 eP\. Sejam, agora, P 0 , P\ , P 2 , ..., P n , n + 1 pon¬ tos distintos do R 2 ; o conjunto p q p x u/y» 2 u ... up n — \P n segmento de extremidades P Q e poligonal de vértices P Q . P^. P y P e P^ Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 289 2 Teorema (do valor médio). Sejam A um subconjunto aberto do IR , P 0 e P l dois pon¬ tos de A tais que o segmento PqP\ esteja contido em A. Nestas condições, se f(x, y) for diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto P interno ao segmento PqP\ (isto é, P pertence a PqP\ mas não é extremidade) tal que f(P l )-f(P 0 ) = V/( P)-(P { -p 0 ). Demonstração Consideremos a função g : [0, 1] —» R dada por g(t) =f(P 0 + t(P x -P 0 )),0«í« 1. Esta função g fornece os valores que /assume nos pontos do segmento P 0 Pi- Da diferenciabilidade de/em A, segue que g é contínua em [0, 1] e derivável em ]0, 1[. Pelo TVM existe i em ]0, 1 [ tal que g(l)-g(0) = g'(t). (7-0), ou seja, g (D - g (0) = g’ (i ). Como g (1) = /(Pj) e g (0) = / (P 0 ), resulta /(Pj) -/(P 0 ) =g’(i). Pela regra da cadeia g 1 (/) = v/(P 0 + r(Pj - p 0 )) • y ( t) onde 7 (t) = P 0 + t (Pj — Pq). Temos 7 (t) = P 0 + t ( P l - Pq) ^ Y (t) = Pj - Pq. Assim, g'(í) = V/(P 0 +í(fl-7b))-(fl - Tb) onde P = Pq + t (P\ — Pq) é um ponto interno ao segmento PqP\ poisO < i < 1. Portanto, f(Pi)-f(P 0 ) = Vf(P)-(P\- Po) ■ Pelo TVM existe P interno ao segmento P 0 Pj tal que /(/j) - f(fb) = V/(P) • (P{ - Tb) = V/(P) • ^ II P, - Po II. II Pj - P 0 II 290 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 —* P\ — Pç\ Fazendo u = -resulta, WPl-Po" ou seja, f(P\) ~/(Pq) = ($f(P) * u)\\P x -P 0 II â u ou ainda, fW-fUb) = ( p. d - (fl */b) Assim, se f(x, y) for diferenciável no aberto A e se P 0 P l C A, então existirá P interno a _ — * p p PqP i tal que a derivada direcional defem P ,e na direção u = yy-— y , é a taxa mé¬ dia de variação de f entre os pontos P^e P\, Pq¥= P j . Observação. O enunciado do TVM para função real de n variáveis (n > 2) é o acima, subs¬ tituindo IR 2 por IR". Exercícios 15.1 .. . • —■ 1. Determine P = (x, y) como no teorema do valor médio, sendo dados: a) f(x, y) = 2x 2 + 3y, P 0 = (1, 1) e P, = (2, 3). b) f(x, y) = 2x 2 - 3y 2 +xy,P 0 = (1, 2) e P, = (4, 3). c) f(x, y) = x 3 + xy 2 , P 0 = (l, 1) e P, = (2, 2). 2 2. Seja/(x, y) diferenciável em IR e suponha que existe Aí > 0 tal que IIV f(x, >')H Aí, para todo ( x , >'). Prove que f(x, y ) ~f(s, t)l =s Aí II ( x , y) - (í, t) II quaisquer que sejam ( x , y) e (s, t) em IR . 3. Seja f(x, y) = ln (x + y). Prove que f (x, y) ~ f{s,i) I =s II ( x, y) - (s. t) II quaisquer que sejam ( x , y) e (s, t), com jc>l,y>l,s>lef>l. 15.2. Funções com Gradiente Nulo Estamos interessados, agora, em estudar as funções que têm gradiente nulo num aberto. Se /(x, y) for constante num aberto A de IR 2 , então V f(x, y) = (0, 0) para todo (x, y) G A. Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 291 Entretanto, pode acontecer de uma função ter gradiente nulo em todos os pontos de um aberto sem ser constante neste aberto: a função / (x, y ) = sey>0e00 el 0,0 < x < 1 ou 1 < x < 2}, mas não é constante em A. Provaremos a seguir que se uma função admitir gradiente nulo em todos os pontos de um conjunto A conexo por caminhos, então a função será necessariamente constante em A. Dizemos que um conjunto aberto A é conexo por caminhos se, quaisquer que forem os pontos P e Q pertencentes a A, existir uma poligonal, de extremidades P eQ, contida em A. EXEMPLOS 2 a) A = IR é conexo por caminhos. b) Toda bola aberta é conexa por caminhos. c ) l é conexo por caminhos d) A = {(x, y) G IR 2 I y > 0, 0 < x < lou 1 0, não pertencem a A.) m 2 Teorema. Seja A C IR aberto e conexo por caminhos. Nestas condições, se V/( x, y) = (0, 0) para todo (x, y) em A, então/será constante em A. Demonstração Seja P 0 = (x 0 , yç)) um ponto de A; vamos provar que para todo P = (x, y) G A,f(x, y) = /(x 0 , j^). Como A é conexo por caminhos, existem pontos P|,P 2 > ■ -,P„ - i eP n = P pertencentes a A tais que a poligonal PqP\ U P\P^ U ... U P n _ \P n está contida em A. Pelo teorema do valor médio, para todo i existe fj- interno a P t _ l P t (i = 1 , 2 ,..., n) tal que /(/>,) -f(P; _ ,) = V/( Pi) • (P, ~ P t _ ,) e como V/( P t ) = 0 (hipótese) resulta f{P^=f{Pi- X ) para i = 1, 2,..., n; assim, f(P 0 ) =/(Pj) =f(P 2 ) = ... =f(P n ) =f(P) e, portanto,/(x, y) = /(x 0 , ^q). Fica provado assim que, para todo (x, y) E A,f(x, y) =/(x 0 , >> 0 ), ou seja,/é constante em A. m 15.3. Relação entre Funções com Mesmo Gradiente 2 Teorema 1. Seja A C IR aberto e conexo por caminhos e sejam f g duas funções que admitem derivadas parciais em A. Nestas condições, se V/(x, y) = Vg (x, y) para todo (x, y) G A, então existirá uma constante k tal que g (x, y) = /(x, y) + k para todo (x, y) em A. Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 293 Demonstração Seja h (x, y) = g (x, y) - f(x, y), (x, y) G A; como Vh (x, y) = V g (x, y) - V/(x, y), (x, y) G A, segue da hipótese que V h (x, y) = (0,0) para todo (x, y) G A. Como A é conexo por caminhos, resulta que h é constante em A; logo, existe uma constante k tal que h (x, y) = k em A, ou seja, g U y) = f(x, y) + k para todo (x, y) G A. ■ O teorema acima nos diz que duas funções com gradientes iguais num conjunto conexo por caminhos diferem, neste conjunto, por uma constante. 2 EXEMPLO 1 . Determine todas as funções /(x, y), definidas em [R , tais que © Solução = 3xV + 4 dx - Ix^y + y 2 dy Observe que duas funções que satisfazem © terão gradientes iguais; logo, deverão diferir por constante, pois [w é conexo por caminhos. Basta, então, determinar uma solução de © e qualquer outra será esta mais uma constante. A função xV + 4x satisfaz a l. a equação (obtém-se tal função integrando-se a 1 . a equação de © em relação ax, mantendo-se y constante). Por outro lado, 3 2 x >> satisfaz a 2. a equação de ©. Segue que satisfaz ©. (Por quê?) Logo, xV + 4x+ L. 3 /(x, y) = xV + 4x + + k (k G IR) é a família das soluções de © ■ 2 Sejam P (x, y) e Q (x, y) duas funções dadas, definidas num aberto A do [R .0 problema que se coloca é o seguinte: o sistema 294 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 j- = p ( x > y) âx Í = Q (x, y ) ây admite sempre solução? A resposta em geral é não. A seguir apresentaremos uma condição necessária para que o sistema admita solução. Teorema 2. Sejam P (x, y) e Q (x, y) duas funções definidas e de classe C 1 num aberto A do IR 2 . Uma condição necessária para que exista uma função/: A —* R 2 tal que, para todo (x, y) G A. ™ (ac, y) = P(x,y) âx % (*, y) = Q(x,y) dy àQ âP é que — = — em A. âx ây Demonstração Suponhamos que tal/exista; assim ~ (.x, y) = P(x,y) . * emA. — (oc, y) = Q(x,y) ây Derivando os dois membros da primeira equação em relação a y e os da segunda em relação a x, obtemos, para todo (x, y) G A, d 2 f âyâx (x,y) SP ây (x,y) d 2 f âxây (x,y) âQ âx (x,y). 1 2 Como P e Q são supostas de classe C , resulta que / será de classe C ; pelo teorema de â 2 f _ â 2 f âxây âyâx ■ Logo, Schwarz Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 295 EXEMPLO 2. Consideremos o sistema d d 2 2 Como — (xy) * — (y) em R , segue que não existe função definida em IR que satisfaça dydx o sistema. ■ EXEMPLO 3. Determine, caso existam, todas as funções z = f(x, y) tais que Solução e _ x ** x2+ y 2 em R 2 -{(0,0)} £. = l -e-y ây x 2 + y 2 dl x \ _ — 2xy dy \ x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2 ±( y -e-y)= ~ 2xy dx(x 2 +y 2 I (x 2 +y 2 ) 2 Assim, = ^ em R 2 -{(0,0)} ây âx onde P (x, y) = — ^ - e Q(x, y) = y -e~y. x* + y í x L + y í A condição necessária está verificada; o sistema pode admitir soluções. Deixamos a seu cargo verificar que z = ~ ln (x 2 + y 2 ) + e > + k (k GR) é a família das soluções do sistema. ■ Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: a condição necessária do teorema 2 é também suficiente? A resposta é não. (Veja Exercícios 9 e 10.) Entretanto, se algumas restrições forem impostas ao conjunto A a condição será, também, suficiente. Este proble¬ ma será discutido no Vol. 3. 296 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Exercícios 15.3 1. Determine todas as funções/: R —* IR tais que a) — = 9x 2 y 2 - 10x, — = 6x 3 >’ + 1 dx dy b) —— = y cos xy 4- 3x 2 — y, — = x cos xy — x + 3y 2 dx dy 1 c)^ = 2xe xl+ y 1 ,^ = lye x2+ y 2 + dx dy 1 + y 2 2 2. Determine a função /: R —> R cujo gráfico passa pelo ponto (1,2, 1) e tal que V f(x. y) = (2xy 3 - 2x, 3 x 2 y 2 + 2y - 1 ). 2 3. Determine a função /: IR —» R cujo gráfico passa pelo ponto (0, 0, 2) e tal que V /(x. 1 + x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 + ye y '\ 4. Existe função/: IR Z —> IR tal que V/(x, y) = (x 2 +y z + 1 , x 2 -y 2 + 1 ). para todo (x, y) em IR ? Justifique. 5. Determine z = (x, y), y > 0, tal que 0, V 2 ( — 1, 1) = - e, para todo x < 0, 7. Seja A = {(x, y) G. IR 2 \y > 0} U {(x, y) E IR 2 lx < 0}. Determine z =

’q) E A e (h, k) # (0,0) tais que o segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (xq + h,y 0 + k) esteja contido em A. Consideremos a função g dada por 8 ( t ) =/(xq + ht, y 0 + kt), t G [ 0 , 1 ], A g fornece os valores que a /assume nos pontos do segmento de extremidades (xq, }’q) e (x 0 + h,y Q + k). Esta função g desempenhará o papel de ligação na extensão da fórmula de Taylor para funções de duas variáveis reais. Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma variável, temos: © g(D = g(0) + g'(0)(i -o)+ ^p yo) h + ~~( x 0, yo) k + E (h, k) âx dy 1 j 2 f f f ' (h,k) = - —f (x, y)h 2 + 2 -f- (x, y)hk + —f (x, y)k 2 2 dx L dxdy dy L para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k). Demonstramos, assim, o seguinte teorema. 2 2 Teorema. Seja f(x, y) de classe C no aberto A C IR e sejam (x 0 , yp) E A e (h, k) + (0, 0) tais que o segmento de extremidades (xq, y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k) esteja contido em A. Nestas condições, / (xo + h,y 0 + k) = fix 0 , y 0 ) + -^(x 0 , yo) h + -^Uo- yo) k + E (h, k) âx dy onde E ih, k) = - \4L (x, y)h 2 + 2 4J- (jf f y)hk + (x, y)k 2 2 dx z dxdy dy L para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , yo) e (xq + h,y 0 + k). 300 Um Curso de Cálculo — Vol.2 Observação. Fazendox = x 0 + /i e y = y 0 + &, obtemos f (x, y) = f(x o, yo) + -^-(x 0 , y 0 ) (x - X 0 ) + ^-(x 0 , yo) (y ~ yo) + E x (*, y) âx dy ' ^~u7y) onde (D Ei (x, y) = 1 â f (x,y)(x-x 0 ) 2 + 2 (x, y)(x - x 0 )(y ~ yo) dx dxdy + ^r(*’y)(y-yo ) 2 para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x, y). O polinómio -\f (x, y) = /(xo, yo) + ~(*o> yo) (x - x 0 ) + ~(x 0 , yo) (y - yo) dx dy denomina-se polinómio de Taylor de ordem 1 de f(x, y) em volta de (x 0 , y 0 ). Observe que o gráfico de P x (x, y) é o plano tangente ao gráfico de/em (x 0 , yo,/(x<), yo))- £] (x, y) é o erro que se comete na aproximação de/(x, y) por P x (x, y); (3) é a expressão do erro na forma de Lagrange. (Às vezes, usa-se a expressão resto em lugar de erro.) EXEMPLO. Seja/(x, y) = ln (x + y). a) Determine o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de tl L\ 12 ’ l) 1 2 b) Mostre que para todo (x, y), comx + y > 1,1 ln (x + y) — (x + y — 1) I < — (x + y — 1) . Solução a) Pi (x, y) = / a iw éLíí l\ i x -L\ + #a h (y-D \2'2) dx \2'2) \ 2) dy \2' 2} \ y 2) Como resulta: j- ( x >y) = âx x + y dy 1 df , x 1 e -E- (x,y) = x + y P\ (x, y) = 0 + x /.-IWfy-Ü \ 2) v 2 r ou seja, P, (x, y) = x + y - 1. b) ln (x + y) = P l (x, y) + E (x, y), onde E (x, y) = - 2 d 2 f dx 2 (X + 2 d 2 f dx dy (x Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 301 para algum (jc, y) interno ao segmento de extremidades e (x, y). Temos: d 2 f {x,y) = ãx 2 '■ •” (x + y) 2 Aày " ây 2 Como estamos supondo x + y > 1, teremos, também, 3c + y > 1. Assim, para todo (x, y), -1 com x + y > 1, (x + y) 2 < 1. Segue que \E(x,y)\<- ou /,_I^ + 2^-lW y -lVy-I^ 2 l 2) \ 2)\ y 2) \ y 2) \E(x,y)\<^(x + y-\) 2 para todo ( x , y), com x + y > 1. Assim, ou I ln (x + y) - P x (x, y) I < | (x + y - l) 2 I ln x + y) - (x + y - 1) I < ^ (x + y - l) 2 para todo ( x, y), com x + y > 1. Exercícios 15.4 : 1. Determine o polinómio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta do ponto Uq, y 0 ) dado. a) f(x, y) = e x + 5> ' e U 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ). b) /( x, y) = x + y 3 - x 2 + 4y e (x^, y 0 ) = (1, 1). c) f(x, y) = sen (3x + 4y ) e (x 0 , y 0 ) = (0, 0). 2. Sejam f(x, y) = e x + 5y e P\ (x, y) o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de (0, 0). à) Mostre que para todo (jc, y), com x + 5y < 1, \e x + 5y - P ] (x. y) I < | (x + 5y ) 2 b) Avalie o erro que se comete na aproximação f + 5y = P\ {x, y) parax = 0,01 ey = 0 , 01 . 3 3 2 3. Sejam/ (x, y) = x +y —x + 4ye P\ (x, y) o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y), com I x — 1 I < 1 e I y — ll< 1, I/(Jt. y) ~ P x (x, y) I < 7 (x - l ) 2 + 6 (y - l ) 2 3 3 2 4. Sejam/(;t, y) = x +y —x + 4y e P\ (x, y) o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de ( 1 , 1 ). a) Utilizando P\ (jc, y), calcule um valor aproximado para f(x, y), sendo x = 1,001 e y = 0,99. b) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a). (Sugestão: Utilize o Exercício 3.) 302 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 5. Seja (xq, y 0 ) um ponto crítico de/(x, y) e suponha que/seja de classe C na bola aberta B de centro (x^, y 0 ). Prove que para todo (x, y) em B, existe (x, y) interno ao segmento de extremi¬ dades (x 0 , >'q) e (x, y) tal que 1 f d^f f(x, y) - /(* o- To) = — —Y (*. y) (x - x 0 ) 2 +2 -— (x, y) (x - x 0 ) (y - y 0 ) 2 dx 2 ãxdy d 2 f + -f ©T) • ày 2 2 6. Seja/ (x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + m (a, b, c, d, e, m constantes) e seja (x 0 , y 0 ) um ponto crítico de /. Prove que, para todo (h, k), f(x o + h, y 0 + k) - /(x 0 , y 0 ) = ah 2 + bhk + ck 2 . 2 7. Sejam/ (x, y) e (x 0 , y 0 ) como no exercício anterior. Prove que se a > 0 e b — 4 ac < 0, então /(x 0 + h,y 0 + k) >/(x 0 ,y 0 ) para todo (h , k) (0, 0). Como é o gráfico de/? 8. Suponha f(x, y) da classe C na bola aberta B de centro (x^, y 0 ) e que as derivadas parciais de 2. a ordem sejam limitadas em B. Prove que existe M > 0 tal que, para todo (x, y) E B. l/(x, y) - P j (x, y) I S M II (x, y) - (x Q , y 0 ) II 2 onde P | (x, y) é o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de (x 0 , y 0 ). 9. Considere o polinómio P (x, y) = a(x — xq) + b (y — y 0 ) + c, coma, b, c, x 0 ey 0 constantes. Suponha que exista M > 0 tal que, para todo (x, y), IP(x,y)l «Mil (x,y)-(x 0 ,y 0 ) II 2 . Prove que P (x, y) = 0 em IR 2 . 2 2 10. Seja/(x, y) de classe C no aberto ACR e seja (x 0 , y 0 ) um ponto de A. Seja o polinómio P (x, y) = a (x — xq) + b (y ~ y 0 ) + c, com a, bec constantes. Suponha que existam M> 0 e uma bola aberta B de centro (xq, y 0 ), com B C A, tal que, para todo (x, y) em B, l/(x, y) - P (x, y) I « AÍW (x, y) - (x 0 , y 0 ) II 2 . Prove que Pé o polinómio de Taylor de ordem 1 de/em volta de (x 0 , y 0 ). 15.5. Polinómio de Taylor de Ordem 2 Suponhamos/(x, y) de classe C no aberto A C IR . Sejam (x 0 , y 0 ), (x 0 + h, y 0 + k) e 8 (t) = f ( x o + M To + kt) como na seção anterior. Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma variável segue que © g ( 1 ) = g ( 0 ) + g' ( 0 ) (1 - 0 ) + (1 - O ) 2 + (1 - 0) 3 para algum i em ] 0 , 1 [. Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 303 Vimos no parágrafo anterior que g’(t) = ~(x, y)h + ~ (x, y)k dx dy e g"(t) = u. y)h 2 + 2 (jt , y)hk + £L(x, y)k 2 dx^ âx dy dy L onde x = xq + ht e y = y 0 + kt. Deixamos a seu cargo verificar que g'"(t) = (*. y)h 3 + 3 -^L (*. y)* 2 * + 3 hk 2 + (x, y )* 3 áx J dx^ dy dxdy 2 - dy i onde x = xq + ht e y = y 0 + kt. Temos: g(l) = /(xo + /t^o + k), g(0) = f(x 0 , y 0 ), g'(°) = Uo, y 0 )h + (xo, y 0 )k, âx dy © ■ g"(0) = ^j-(x 0 ,y 0 )h 2 +2-^-(x 0 ,yo)hk + (x 0 ,yo)k 2 e dx 2 dx dy dy 2 g"'(i) = £t(x, y)h 3 + 3 -^L- (x, y)h 2 k +3 ~^t(x, y)hk 2 + <*’ ?)* 3 dx J (5bc z ^y (5tc^y z dy J onde x = xq + hi e y = yo + kt. Substituindo ©em © resulta: f(x o + h,y 0 + k)= /( x 0 , y 0 ) + (xq, y 0 ) h + ^- (x 0 , y 0 ) k ax ay + ^-í-(xo,yo)h 2 +2^-^-(x Q ,yo)hk +^-Ç(xo,yo)k 2 + E(h, k) 2 dx“ dxdy dy 2 onde E ( h, k) = — (x, y)/i 3 + 3 (x, y)h 2 k + 3 -^4- © 50 hk 2 3! ác 3 dx 2 dy dxdy 2 + ^4r(x,y)kA, dy i para algum (3c, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , ^q) e (x 0 + h,y 0 + k). Demonstramos assim o seguinte 3 2 Teorema. Seja/x, y) de classe C no aberto A C IR e sejam (xq, ^q) E A e (h, k) ¥= ( 0 , 0 ) tais que o segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x 0 + h,y 0 + k) esteja contido em A. 304 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Nestas condições, /C*ò + h -yo + Q =f(* o. yo) + ~ (xo.yo) h + -f- k dx dy + 4 -r{-(~ x o^yo)h 2 + 2^-^-( x 0 ,y 0 ) hk + ^-(x 0 ,y 0 )k 2 + E(h, k) 2 dx L dxây dy L 1 \d 3 f f f E ( h , k) = -f (x, y)h 3 + 3 — (3c. y)& 2 * + 3-V (x, y)M 2 3! [áx 3 dx 2 dy dxdy 2 + ^-(x, y)* 3 l. para algum (x, y ) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (xq + h, y 0 + k). denomina-se polinómio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x 0 , y 0 ). Fazendo x = x 0 + /i e y = y 0 + & no teorema acima, resulta: /(x, y) = P 2 (x, y) + E 2 (x, y) onde E\ (x, y) = (x, y) (x - x 0 ) 3 + 3 (x, y) (x - x 0 ) 2 (y - y 0 ) 3! dx 3 dx L ây + 3 -Êíi (í ’ 30 “ *>> (y ~ yo) 2 + ^4- (x, y) (y - yo) 3 dxdy^ dy 3 para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (*■ y)- Exercícios 15.5 ~ 1. Determine o polinómio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x 0 , y 0 ) dado. a) f(x, y) = x sen y e (x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ). b) /(x, y) = x 3 + 2x 2 y + 3y 3 + x - y e (x 0 ,y 0 ) = (1, 1). 3 2 3 2. Expresse o polinómio f(x,y) = x + 2x y + 3y + x — y como soma de termos do tipo a(x- lf(y- l) q . 3. Seja P 2 (x, y) o polinómio de Taylor de ordem 2 de/(x, y) = x sen y em volta de (0,0). Mostre que Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 305 1 / (x, y ) - Pi (x, y) I < I jcl H-I v I 3 para todo (x, y), com I x I < 1 . 4. Seja f(x, y) de classe C 3 no aberto A C IR 2 e seja y 0 ) um ponto de A (lembre-se de que/de classe C em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A). Prove que existem uma bola aberta B de centro (xq, y 0 ), com B 6 A,eum número M > 0 tais que, para todo (x, y) e B, i/(x, y) - P2 (*. y) 1 *= M 11U. y) - C*o. >o ) ||3 onde P 2 (x, y) é o polinómio de Taylor de ordem 2 de/em volta de (x 0 , y 0 ) . Conclua que lim (x,y) —(x 0 ,y 0 ) E(x, y) (x, y) - (x 0 , yo)H = 0 onde E (x, y) = /(x, y) — P 2 (•*, isto é, o erro E (x, y) tende a zero mais rapidamente que II (x, y) - (x 0 , y 0 ) II 2 , quando (x, y) -> (x 0 , y 0 ). 5. Sejam /(x, y), P 2 (x, y) e (xq, y 0 ) como no Exercício 4. Prove que existe uma função tp (x, y) definida em A tal que, para todo ( x , y) em A. f(x, y) = P 2 (x, y) + tp (x, y) II (x, y) - (x 0 , y 0 )ll 2 com lim tp (x, y) = tp (x 0 , To) = 0. (x,y) -» (x 0 ,y Q ) 6 . 3 2 — Seja/(x, y) de classe C no aberto A C IR e seja (x 0 , y 0 ) um ponto de A. Seja P 2 (x, y) um polinómio de grau no máximo 2. Prove que se lim (jc.y) — (jr 0 , v 0 ) / (x, y) - P 2 (x, y) II(x, y) - (x 0 , y 0 ) II 2 = 0 então /*> (x, y) é o polinómio de Taylor de ordem 2 de/em volta de (x 0 , y 0 ). 15.6. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange Suponhamos/(x, y) de classe C ” + 1 no aberto A C IR 2 . Sejam (x 0 , y 0 ), (x 0 + h, y 0 + k) e g (?) = f( x 0 + M To + como na seção anterior. Vimos que g'(t) = (x, y)h + (x, y)*, dx ây = (o)í^ + (í) 2 \ ’ 0 + k). Fica provado assim o seguinte Teorema ( Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja f(x, y) de classe C n no aberto áCK 2 e sejam (xq, y 0 ) £ A e (h, k) + (0,0) tais que o segmento de extre¬ midades (x 0 , >»o) e (xq + h, >>o + k) esteja contido em A. Nestas condições f(x 0 + h,y 0 + k)=f(x 0 ,y 0 )+ 2 -7 2 („) T~/—r (x 0 , yo) h r p k p r = l r\ p = q\P) dx r P dyP + E (h, k ) E(h, k) = --- 2 f n + 1 )- ~TT~ —~-(x, y) + 1 “ kP (n + 1 )! p Z 0 \ PJâx n + l -PâyP para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (*o + h, >’ 0 + k). 16 Máximos e Mínimos 16.1. Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo Seja f(x, y) uma função a valores reais e seja (xg, y 0 ) E A, com A C Dj. Dizemos que (x 0 , Jo) ® P onto de máximo de f em A se, para todo (x, y) em A, f(x,y)^f(x 0 ,y 0 ). Sendo (xg, >’ 0 ) ponto de máximo de/em A, o número/(x 0 , >’g) será denominado valor máximo de/em A. Dizemos que (x 0 , y 0 ) G é ponto de máximo global ou absoluto de / se, para todo (x, y) E Df , f(x,y) ^f(xQ,y 0 ). Diremos, neste caso, que/(x 0 , >’q) é o valor máximo de/ Finalmente, diremos que (xg, >’g) E Djé ponto de máximo local de/se existir uma bola aberta B de centro (x 0 , >’g) tal que f(x, y) ^f(xQ,y 0 ) para todo (x, y) E B D Dj. Deixamos a seu cargo definir ponto de mínimo de/em A C Dj, ponto de mínimo global e ponto de mínimo local. Os pontos de máximo e de mínimo de uma função/denorninam-se extremantes de /. EXEMPLO 1. (0, 0) é ponto de mínimo global de/(x, y) = x 2 + y 2 e/(0,0) = 0 é o valor mínimo de/ pois,/(x, y) S 5 /(O, 0 ), para todo (x, y) em R 2 . ■ EXEMPLO 2. Seja/(x, y) = 2x — y e seja A o conjunto determinado pelas condições x 5= 0, >’ 0, x + ^ 3 e y S 5 x. Estude/com relação a máximo e mínimo em A. 308 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução Tal estudo será feito com auxílio das curvas de nível de/. z = 2x - y z = 0 <=> y = 2x z = - 3**y=2x+3 [/(O, 3) = - 3] 3 o 3 z = — o y = 2x - — 2 2 f (l 12 ’ 2 ) 2 1 3 3\ Vemos, geometricamente, que ^ —, —j e (0,3) são, respectivamente ,pontos de máximo /3 3\ 3 e de mínimo de/emA;/ 1 ^, — 'j= — éo valor máximo e/(0, 3) = — 3 é o valor mínimo de /em A. Para comprovar analiticamente que o que dissemos acima está correto, podemos proceder do seguinte modo: para todo (x, y) em A 2 * 0 /(*> y) ~ /(|, I) = 2x - y - | = -í|| - X y~iy - x) • 0 ousej»,/( í .y)*/(|.|). 5 = 0 - /' N f(x, y) -/(O, 3) = 2x — y + 3 =( 3x + ((3 ~ x - y)) 0 ou seja, f(x,y)>f{ 0,3). EXEMPLO 3. Seja (x, y) definida em [R 2 dada por f(x, y) = fx 2 + y 2 {l-(*-3) 2 se x 2 + y 2 ^ 4 — y 2 se x 2 + y 2 > 4. (0, 0) é ponto de mínimo local; (3,0) é ponto de máximo local e todo (x 0 , >’q) pertencente à circunferência x 2 + y 2 = 4é ponto de máximo global de / Deixamos a seu cargo fazer um esboço do gráfico de/e verificar as afirmações acima. Máximos e Mínimos 309 16.2. Condições Necessárias para que um Ponto Interior ao Domínio de /seja um Extremante Local de / O teorema que enunciaremos e demonstraremos a seguir fornece-nos um critério para selecionar, entre os pontos interiores de Dj, candidatos a extremantes locais de/. Teorema 1. Seja (x 0 , >’ 0 ) um ponto interior de D f e suponhamos que— (xq, >’ 0 ) J dX f) f e — (xq, >’q) existam. Nestas condições, uma condição necessária para que (x 0 , y 0 ) dy ' r n /■ seja um extremante local de fé que—(x 0 , y 0 ) = 0 e —(x 0 , >’n) = 0. dx dy Demonstração Suponhamos que (x 0 , >’q) seja um ponto de máximo local de /. Como (x 0 , >’q) é ponto interior de Df, existe uma bola aberta B C Dj, B de centro (x 0 , >’q), tal que, para todo (x, y) em B f(x, y) ^f(xQ,y 0 ). Por outro lado, existe um intervalo aberto /, comx 0 £ /, tal que para todo x £ /, (x, y 0 ) £ B. Consideremos a função g dada por g(x) =/(x, y 0 ),x£ /. 310 U m Curso de Cálculo — Vol. 2 Temos: g é derivável em x 0 (g'(xo) = (*o> >’o)'] V dx / xq é ponto interior de / e Xq é ponto de máximo local de g daí g' (-*o) = 0 e, portanto, Í f_ dx (•% >’o) = 0- d f De modo análogo, demonstra-se que — (jcq, yn) dy Segue deste teorema que se (x 0 , y 0 ) for interior a Cy,/diferenciável em (x 0 , >’ 0 ) e (x 0 , >’q) extremante local de/ então o plano tangente ao gráfico de/em (xq, }'q,/(xq, y 0 )) será para¬ lelo ao plano xy. Dizemos que (x 0 , >’ 0 ) é um ponto crítico ou estacionário de/se (xq, y 0 ) for interior a Dy e se V /(xq, >’q) = ( 0 , 0 ). O teorema anterior nos diz que se f admite derivadas parciais em todos os pontos interiores de Dy, então os pontos críticos de f são, entre os pontos interio¬ res de Dy, os únicos candidatos a extremantes locais de f. Um ponto (x 0 , >’q) G A que não é ponto interior de A denomina-se ponto de fronteira de A. O teorema anterior não se aplica a pontos de fronteira de Dy ; um ponto de fronteira de Dy pode ser um extremante local sem que as derivadas parciais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente. EXEMPLO 1. Seja/(x, y) = x 2 + y 1 . Como Dy é um conjunto aberto (Dy = IR 2 ), de y-u y) = 2x dx y) = 2 x dy segue que (0, 0) é o único candidato a extremante local. Como/(x, y) 3= /(0, 0) = 0, para todo (x, y) em R 2 , resulta que (0,0) é um ponto de mínimo global de/ ■ EXEMPLO 2. O único ponto crítico de f(x, y) = x 2 — y 2 é (0,0). Verifica-se sem dificul¬ dade que ( 0 , 0 ) não é extremante local (para uma visualização geométrica, desenhe as inter¬ seções do gráfico de/com os planos yz e xz). O ponto ( 0 , 0 ) denomina-se ponto de sela. O gráfico desta função tem o aspecto de uma “sela de cavalo”: tente desenhá-lo. ■ Máximos e Mínimos 311 EXEMPLO 3. Seja z = /(x, y), com domínio A = {(x, y) G [R 2 1 x 5* 0 e y 0}, onde /(x, y) = x 2 y + 3x. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo de/em A pois /(x, y) 5* /(O,0) em d f d f A. Como — = 2 xy + 3, segue que —(0, 0) = 3 # 0. Este fato não contradiz o teorema 1, dx dx pois ele só se aplica a pontos interiores de Dj e (0,0) não é ponto interior de Dj{Dj = A), m Suponhamos, agora, que o domínio de /seja aberto e que/seja de classe C . Suponha¬ mos, ainda, que (x 0 , >’ 0 ) E Dj seja um ponto de máximo local de/ Consideremos a função g (x) dada por g (x) = /(x, y 0 ). Tendo em vista as hipóteses sobre /, segue que xq é ponto interior do domínio de g e, além disso, é ponto de máximo local de g; como g é, também, de classe C 2 teremos que ter neces¬ sariamente g' (x 0 ) = 0 e g" (xq) =s 0 (observe que se tivéssemos g" (xq) > 0, x 0 teria que ser ponto de mínimo local de g). Da mesma forma, considerando a função h (y) = /(x 0 , y), teremos que ter necessariamente h' 0 > 0 ) = 0 e h" (>> 0 ) =£ 0. Fica provado assim o seguinte teorema. Teorema 2. Seja/de classe C 2 e seja (xq, >> 0 ) um ponto interior do domínio de/ Uma condição necessária para que (xq,>’ 0 ) seja ponto de máximo local de fé que (x^, >» 0 ) seja ponto d 2 f d 2 f críticode/e, além disso,— y-(xQ, >’ 0 ) 0 e—y 0 )« 0. (Interprete geometricamente.) dx z dy l ^2 í ^2 s Se no teorema acima as condições —~(x 0 , >> 0 ) ^ 0 e — ~(xq, >>o) 0 forem trocadas dx z dy z ^ 2 f ^2 T por —4-(x 0 , y») ^ 0 e —“(x 0 , >>o) 3= 0 teremos uma condição necessária para (x 0 , wO ser dx z dy z ponto de mínimo local def. EXEMPLO 4. Determine os candidatos a extremantes locais de /(x, y) = x 3 + y 2 - 3x - 3>> + 4. Solução Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos, pois o domínio de f{Dj = R 2 ) é aberto. De — (x, y) = 3x 2 - 3 e — (x, y) = 3y 2 - 3 dx dy resulta que os candidatos a extremantes locais são as soluções do sistema 312 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 3x —3=0 3y 2 — 3 = 0. As soluções do sistema são: (1, 1), (—1, 1), (1, — 1) e (— 1, — 1). Temos: r)2 f ^2 f r(x,y) = 6x e —f(x,y) = 6y. dx z dy z $2 f ft2 f — 2 ~{l, 1) = 6 e ^ 2 (1, 1) = 6; logo, (1, 1) é candidato a ponto de mínimo local. dx 2 dy z ^2 / ^2 / —4-( — 1, 1) = —6 e—f(—1, 1) = 6; logo, (—1, 1) não é extremante local. O mesmo dx z dy z acontece com o ponto (1, —1). (Interprete geometricamente.) ^2 z * ^2 £ (—1, — 1) = —6 e —=-(— 1, — 1) = —6; logo, (—1, — 1) é candidato a ponto de má- dx 2 ximo local. dy Seja (xq, >’q) um ponto crítico de f(x, y). Sejam g (x) = /(x, y 0 ) e h(y) = /(xq, y). Obser¬ vemos que se x 0 não for extremante local de g, então (x 0 , >’q) não será extremante local de /. Da mesma forma, se y 0 não for extremante local de h, então (x 0 , >’q) não será extremante local de/. (Verifique.) Exercícios 16.2 —- Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo/ (x, y) = 1. 2x 2 + y 2 — 2xy + x — y. 2. x 2 - y 2 + 3 xy — x + y. 3. x 3 - y 2 + xy + 5. 4. x 3 + y 3 - xy. 5. x 4 + y 4 + 4x + 4y. 6. x 5 + y 5 - 5x - 5y. 16.3. Uma Condição Suficiente para um Ponto Crítico Ser Extremante Local 2 Seja/(x, y) de classe C . A função H dada por H(x,y) d 2 f dx z d 2 f (x,y) dxdy denomina-se hessiano de/. Observe que _ d 2 f (x, y) H{x,y) dx *±1. dy 2 d 2 f dxdy d 2 f (x, y) dy 2 (X, y) 2 (x ' y> tt (x ' y ) _ ô 2 / dxdy U,y) Máximos e Mínimos 313 O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para um ponto crítico de /ser extremante local de/. 2 Teorema. Sejam/(x, y) de classe C e (x 0 , y 0 ) um ponto interior de Dj. Suponha¬ mos que (x 0 , >’q) seja ponto crítico de/. Então d 2 f a) Se — 2 _ (- JC o, >’o) > 0 e // (x G , y 0 ) > 0, então (x 0 , y 0 ) será ponto de mínimo local de/ d 2 f b) Se 2 (xp, >’q) < 0 e // (x 0 , y 0 ) > 0, então (x 0 , y 0 ) será ponto de máximo local de / c) Se H (jcq, }>q) < 0, então (x 0 , >’ 0 ) não será extremante local. Neste caso, (x 0 , y 0 ) será ponto de sela. d) Se H (jcq, >’ 0 ) = 0, nada se pode afirmar. Demonstração Veja Exemplos 3, 4 e 5 da Seção 16.6. ■ EXEMPLO 1. Seja f(x, y) = x + y 3 — 3x — 3y + 4. Os pontos críticos de/são: (1,1), (1, — 1), (-1, l)e (-1,-1). Temos: ui \ 6x0 d 2 / H{x 'y ) = 0 6y e ~Sx 2 ^ X ’ ^ = ÓX Então: // (1,1) = 36 > 0 e —~-(l, 1) = 6 > 0; logo, (1,1 ) é ponto de mínimo local. Note que (1,1) dx z não é ponto de mínimo global, pois/( —3, 0) 0 e —H-l, -1) = - 6 < 0; logo (-1, — 1) é ponto de máximo dx z locai, entretanto, (-1,-1) não é ponto de máximo global, pois/(4,0) >/( — 1, — 1). Como «(-1,1) < 0e«(l,-l) < 0, segue que (— 1, 1) e (1, -1) não são extremantes, são pon¬ tos de sela. ■ EXEMPLO 2. Seja f(x, y) = 3x 4 + 2_y 4 O único ponto crítico de fé (0,0) e temos H( 0,0) = 0; logo, o teorema não nos fornece informação sobre este ponto crítico. Trabalhando direta¬ mente com a função verifica-se sem dificuldade que (0,0) é ponto de mínimo global. ■ EXEMPLO 3. Seja f(x, y) = x 5 + 2y 5 . O único ponto crítico é (0,0) e H (0,0) = 0. Como x = 0 não é extremante local de /(x, 0) = x 5 , resulta que (0,0) não é extremante local de/. ■ EXEMPLO 4. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepí¬ pedo-retângulo e com 1 m 3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material. 314 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução abc = 1 ou c = —. ab O problema consiste em minimizar f(a, b) = 3 (2 ac + 2 bc) + ab, onde c = ab ou Temos f(a, b) = — + — + ab, a > 0 e b > 0. b a 6 , df - —+ b e — = a 2 db - r + b = 0 a z 6 b 2 + a = 0 a 2 b = 6 ab 2 = 6 a 2 í> = ab 1 <=> <3 6. Assim, (a, í?) = , Vó jé o único ponto crítico de/. Como 3/6 j > 0 e ôV ôa 2 ( 3 / 6 , 3 / 6 )> 0 (verifique) resulta que (3/6,3/6 jé ponto de mínimo local. Pela natureza do problema, é razoável esperar que este ponto seja de mínimo global. As dimensões que minimizam o custo são: a = 3/6, b = 3/6 e c = . (Umaforma elegante de justificar que (3/6,3/6 jépontodei : mínimo global é a seguinte: para cada a > 0, seja h (a) o valor mínimo de g (b) = — + — + ab, b > 0; a b Máximos e Mínimos 315 verifique, então, que o valor mínimo processo.) de h (a) é f(%[ 6, ^6 j. Descreva geometricamente este Exercícios 16.3 1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função/(x, y) = 2 . a) x 2 + 3ry + 4> 2 — 6x + 2y c) x 3 + 2xy +y 2 - 5x e) x 3 - 3x 2 }' + 27} g) ijx 2 +2xy + 4y 2 - 6x - I2y i) x 4 + xy + y 2 - 6x — 5y Dx 5 +y 5 - 5x-5y b) x 2 + y 3 + xy — 3x - 4} + 5 d) - x 2 + y 2 + 2ry + 4x - 2y f) x 2 - 4xy + 4y 2 - x + 3y + 1 h) x 4 + / - 2x 2 - 2> 2 j) x + y 4 + 4x + 4 y m) + — + xy, x > 0 e } > 0 y 2 2 Seja /(x, y) = ax + by + cxy + dx + ey + l, onde a, b, c, d, ee l são constantes. Prove que se (Xfl, >'q) for extremante local de /, então será extremante global. ( Sugestão: Observe que o gráfico de g ( t ) = /(xq + ht,y ] Q + kt)(hek constantes) é uma parábola.) 3. Estude com relação a extremantes globais a função/(x, y) = a) x 2 + Ixy + 2y 2 — x + 2y c) x + 2y — 2 xy — x 2 — 3> 2 e) x 2 + 2y 2 +3xy + 2x + 2y b) x 2 - y 2 - 3xy + x + áy d)3x 2 + y 2 + xy-2x-2y f)x +y 2 - 2x-4y (Sugestão: Utilize o Exercício 2.) 4. Determine o ponto do plano x + 2y — z = 4 que se encontra mais próximo da origem. 5. Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números (aj, b j), (a 2 , b ^),..., (a„, b n ), com n & 3, em geral não existirá uma função afim/(x) = ax + (3 cujo gráfico passe por todos os n pontos. Entretanto, podemos determinar/de modo que a soma dos quadrados dos erros /(a,-) — b i seja mínima. Pois bem, determine a e /3 para que a soma n E (a, (3) = ^ [/(a, ) - f>, ] 2 i = l seja mínima. 6. Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados: a) (1, 3), (2, 7) e (3, 8) b) (0, 1), (1, 3), (2, 3) e (3, 4) 7. Determinado produto apresenta uma demanda}’ (em milhares) quando o preço, por unidade, é x (em R$). Foram observados os seguintes dados: X y 5 100 6 98 7 95 8 94 A tabela nos diz que ao preço unitário de 5 reais a demanda foi de 100.000 unidades; ao preço unitário de 6 reais a demanda foi de 98.000 unidades etc. a) Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados observados. 316 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 b ) Utilizando a reta encontrada no item a), faça uma previsão para a demanda quando o preço, por unidade, for 10 reais. 8. Considere as retas reversas r e s de equações (x, y, z ) = (0, 0, 2) + A (1, 2, 0), A £ IR e (x, y, z ) = (0, 0, 4) + M (1, 1, 1), p. £ IR respectivamente. Determine P e Q, com P £ r e Q £ s, de modo que a distância de P a Q seja a menor possível. 9. Duas partículas P i e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades constantes vi =(1,1,0) e V 2 = (0, 1, 1), respectivamente. No instante t = 0 a P\ encontra-se na posição (1,1, 3). Sabe-se que a trajetória descrita por P 2 passa pelo ponto (1, 1, 0). Qual deverá ser a posição de P 2 no instante t = 0 para que a distância mínima entre elas seja a menor possível? 10. Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p\ e p 2 , respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: p i = 120 — 2x e p 2 = 200 — y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x 2 + 2y 2 + 2xy. Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 11. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z, uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y. Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por z = 900 — x — y 2 + 32x + 41y. Determine a produção que maximiza o lucro. 12. Considere o sistema de partículas P ( , P 2 . P n , localizadas nos pontos (X|,V|), (x 2 , y 2 ),..., (x„, y n ) e de massas m \, m 2 ,..., m n . Seja N = (x, y). Determine N para que o momento de inércia do sis¬ tema, em relação a N, seja mínimo. Conclua que o N encontrado é o centro de massa do sistema. (i Observação. O momento de inércia de P, em relação a N é o produto de m ; pelo quadrado da distância de P l a A; o momento de inércia do sistema em relação aNé a soma dos momentos de inércia, em relação a N, das partículas que compõem o sistema.) 13. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja somados quadrados das distâncias a (0,0,0) e (1, 1, 1) seja mínima. 2 2 14. Considere a função /(x, y) = 1 — x — y , x 0 ey 3= 0. Determine o plano tangente ao gráfico de/que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo. 2 15. Seja/(x, y, z) de classe C e seja (x 0 , y 0 , zq) um ponto interior de Df Suponhamos que (xq, y 0 , zq) seja ponto crítico de /. Sejam H (x, y, z) e // (x, y, z) dadas por d 2 f d 2 f dx 2 dx dy dx dz a 2 / a 2 / H = d 2 f d 2 / d 2 f e tf, = dx 2 dx dy dx dy dy 2 dy dz a 2 / d 2 f d 2 f à 2 f d 2 f dx dy dy 2 dx dz dy dz dz 2 Pode ser provado (veja 16.6) que: d 2 / ( 1 ) se (x 0 , y 0 , Zq) > 0, //, (x 0 , y 0 , z@) > 0 e H (x 0 , y 0 , Zo) > 0, então (x 0 , y 0 , zq) será ponto de mínimo local. Máximos e Mínimos 317 (ii) se —— (x 0 , >' 0 , zq)< 0 ,H 1 (x 0 , y 0 , zq) > o e W (x 0 , y 0 , zq) < 0, então (x 0 , y 0 , zq) será ponto dx L de máximo local. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função / (x, y, z) = a) x + 5y 2 + 2z 2 + 4xy - 2x - 4y - 8z + 2. b) x 3 + y 3 + z 3 - 3x - 3y - 3z + 2. c) x 3 + Ixy + y 2 + z 2 - 5x - 4 z. d) x 2 - y 2 + 4 2 + 2xz - 4>’Z - 2x — 6z. 2 16. Seja /(ac, y, z) de classe C e seja (xq, y 0 , zq) ponto interior de Dj. Suponha que (x 0 , y 0 , Zq) seja ponto crítico de /. Prove: d2 j ^2 j ^2 j a) — J — (ac 0 , y 0 , zq) s® 0, — J — (ac 0 , y 0 , Zq) ^ 0, e — (ac 0 , y 0 , Zq) 2* 0 é uma condição necessária dx z dz dz para o ponto crítico (xg, y 0 , zg) ser ponto de mínimo local de/. d 2 / O*" J Õ*" f b) (x 0 , y 0 , Zq) o, —(ac 0 , y 0 , Zq) « 0 e — (a^, y 0 , Zq) 0 é uma condição necessária dx 1 dy l dz para o ponto crítico (a^, y 0 , zg) ser ponto de máximo local de/. 2 2 2 17. A função/ (ac, y, z) = ac + y — z — 5 ac + 2y — z + 8 admite extremante local? Por quê? 2 2 18. Seja /(ac, y) definida e de classe C no aberto A de IR . Suponha que, para todo (ac, y) G A, d 2 } d 2 / df df ~-T (x, y) "1 ~ (ac, y) + 2 (ac, y) + 3 (ac, y) > 0. dx 2 dy 2 dx dy Prove que/não admite ponto de máximo local. 19. Seja /(ac, y) = ac (y - ac ) e considere, para cada v = (h, k). a função g ■ (r) = f(ht, kt ) (observe que g- fornece os valores de / sobre a reta (ac, y) = t ( h , k )). Verifique que t = 0 é ponto de máximo local de cada g - mas que (0, 0) não é ponto de máximo local de /. V 2 20. Seja/ ( ac, y) uma função que admita derivadas parciais em todo IR . Suponha que/admita um único ponto crítico (a^, y 0 ) e que este ponto crítico seja ponto de máximo local. Pode-se con¬ cluir que (xq, y 0 ) é ponto de máximo global? 16.4. Máximos e Mínimos sobre Conjunto Compacto Nas seções anteriores determinamos condições necessárias e condições suficientes para que um ponto de Dy seja um extremante local de/. Entretanto, para muitos problemas que ocorrem na prática é importante determinar os extremantes em um subconjunto A de Df. O teorema de Weierstrass, que é o próximo teorema a ser enunciado, fornece-nos condições suficientes para a existência de tais extremantes. Para enunciar o teorema de Weierstrass precisaremos antes definir conjunto compacto. Seja A um subconjunto do IR 2 ; dizemos que A é um conjunto limitado se A estiver conti¬ do em alguma bola aberta de centro na origem. Dizemos, por outro lado, que A é um con¬ junto fechado se o seu complementar {(x, y) G [R 2 1 (x, y) A} for um conjunto aberto. Pois bem, dizemos que A é um con junto compacto se A for fechado e limitado. 318 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 1. Toda bola fechada A de centro (x 0 , y 0 ) e ra i° r > 0, A = {(x, y) E [R 2 I II (x, y) — (xq, >’q) I *£ r} é um conjunto compacto, pois é limitado e fechado. A é um conjunto limitado e seu complementar é um conjunto aberto. ■ EXEMPLO 2. A = {(x, y) G IR I >’ 5= x }é um conjunto fechado, mas não limitado, logo, A não é compacto. m EXEMPLO 3. A = {(x, y) G [R 2 I x 2 + 4y 2 = 1} é um conjunto limitado e fechado, logo compacto. m O teorema de Weierstrass, que enunciaremos a seguir (para demonstração veja Exercíci¬ os 9 a 12), conta-nos que se / for contínua no compacto A, então f assumirá em A valor máximo e valor mínimo. Teorema (de Weierstrass). Se/(x, y) for contínua no compacto A, então existirão pontos (x 1( )>j) e (x 2 , y 2 ) em ^ ta is 9 ue > P ara todo (x, y) em A, /(*i,)'i) «/(*> y) ^f(x 2 ,y 2 )- O teorema de Weierstrass garante-nos que se / for contínua em Ae A compacto, então existirão pontos (xj, yj) e (x 2 , y 2 ) em A tais que/(x,, >’,) é o valor mínimo e/(x 2 , y 2 ) é o valor máximo de/em A Resta-nos, agora, o problema de determinar tais pontos. Suponha¬ mos que/admita derivadas parciais nos pontos interiores de A. Sabemos, então, que entre os pontos interiores de A os únicos com possibilidades de serem extremantes são os pontos críticos: a nossa primeira tarefa consiste, então, em determinar os pontos críticos de/que estão no interior de A. Em seguida, procuramos determinar os valores máximo e mínimo de /na fronteira de A. Comparamos, então, os valores que /assume nos pontos críticos com o valor máximo de/na fronteira de A: o maior destes valores será o valor máximo de/em A. De modo análogo, determina-se o valor mínimo. EXEMPLO 1. Determine os extremantes de /(x, y) = x 3 + y 3 - 3x - 3y em A = {(x, y) E [R 2 I 0 x ^ 2 e I y I ^ 2}. Solução Como fé contínua e A compacto, vamos proceder como dissemos anteriormente. Máximos e Mínimos 319 Pontos críticos defno interior de A y~(x, y) = 3x 2 ~3 e— (x, y) = 3y 2 - 3. dx dy As soluções do sistema 3x 2 - 3 = 0 3y 2 - 3 = 0 são: (1, 1), (1, — 1), ( — 1, 1) e ( — 1, — 1). Segue que (1, 1) e (1, — 1) são os únicos pontos críticos no interior de A. Temos /(1,1)= -4 e /(l, — 1) = 0. Análise dos pontos de fronteira g(y)= /(2, y) = >> 3 - 3y + 2, -2 « y « 2, g (-2) = 0, g (-1) = 4, g (1) = 0 e g (2) = 4. Assim, o valor máximo de/no segmento NP é 4 e o valor mínimo é 0. O valor máximo é atingido nos pontos (2, — 1) e (2, 2): /(2, —1) = 4 e/(2, 2) = 4. 320 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 O valor mínimo é atingido nos pontos (2, — 2) e (2, 1): /(2, —2) = 0 e/(2, 1) = 0. Raciocinando de forma análoga sobre os segmentos PQ, MQ e MN, concluímos que o valor máximo de/sobre a fronteira é 4 e este valor é atingido nos pontos (2, — 1) e (2, 2); o valor mínimo de /sobre a fronteira de A é —4 e este valor é atingido no ponto (1, —2). Conclusão. Comparando os valores que/assume nos pontos críticos com os valores máximo e mínimo de/na fronteira resulta: o valor máximo de/em A é 4 e é atingido nos pontos (2, — 1) e (2, 2); o valor mínimo de/em A é - 4 e é atingido nos pontos (1,1) e (1, -2). ■ EXEMPLO 2. Determine os extremantes de f(x, y) = xy em A = {(x, y) G IR 2 1 x 2 + y 2 =£ 1}. Solução fé contínua e A compacto; logo,/assume em A valor máximo e valor mínimo. O único ponto crítico no interior de A é (0, 0), e este ponto crítico não é extremante (verifique). Se¬ gue que os valores máximo e mínimo de/, em A, são atingidos na fronteira de A. Os valores de / na fronteira de A são fornecidos pela função F(t) = /(cos t, sen t) = — sen 2t, 0 =£ t =£ 2tt. „ , . . ti 5/r . , , . 3/r F atinge o valor máximo em t = — e t = —/atinge o valor mínimo em t = — e 4 4 4 V2 /2 V2 /2 t = —.Segue que I e I — são os pontos de máximo de/em A; V2 V2\ /V2 _ V2 2 ’ 2 C 2 ’ 2 são os pontos de mínimo de/e m A. O va/or máximo de/em A é ^, e o va/or mínimo, — A figura seguinte, na qual estão desenhadas algumas curvas de nível de /, fornece-nos uma visão geométrica do problema: Z = xy Máximos e Mínimos 321 EXEMPLO 3. Determine os extremantes de f(x, y) = 2x + y em A dado por x + y=£4e3x + y=s6. Solução /assume em A valor máximo e valor mínimo, pois fé contínua e A, compacto. Como / não admite ponto crítico, os valores máximo e mínimo são atingidos na fronteira de A. z = 2x + y Como fé uma função afim e a fronteira de A é formada por segmentos de retas (A é um polígono), resulta que entre os vértices de A existe pelo menos um ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo. Calculando os valores de/nos vértices encontramos: /(1, 3) = 5 valor máximo e/(0, 0) = 0 valor mínimo. ■ Exercícios 16.4 . 1. Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. a) f (x, y) = 3x — y no conjunto A de todos (x, y) tais que x s 0, >' s 0, >■ - x í 3, x + y í 4 e 3x + y =£ 6. b) f{x, y) = 3x - y em A = {(x, y) G IR 2 I x 2 + y 2 =£ 1}. c) /(x, y) = x 2 + 3xy - 3x em A = {(x, y) G IR 2 I x 3s 0, ySsOex + y^ 1}. d) /(x, y) =xyemA = {(x, y) G IR 2 I x 3s 0, y 3s 0 e 2x + y =£ 5}. e) /(x, y)=y 2 -x 2 emá = {(x, y) G IR 2 I x 2 + y 2 =S 4}. /)/(x, y) = x 2 - 2xy + 2y 2 em A = {(x, y) G IR 2 11 x I + I y I =£ 1}. 2 2 2. Determine (x, y), com x + 4y =£ 1, que maximiza a soma 2x + y. 2 2 3. Suponha que T (x, y) = 4 — x — y represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja A = {(x, y) G IR Ix35 0,y35xe2y+x=£4}. Determine o ponto de A de menor temperatura. 4. Determine o valor máximo de/(x, y) = x + 5y onde x e y estão sujeitos às restrições: 5x + 6y =£ 30, 3x + 2y =£ 12, x 3* 0 e y 3* 0. 5. Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de dois de seus produtos, designados I e II. Para fabricar estes produtos ela utiliza um tipo de máquina que tem uma disponibilidade de 200 máquinas-hora por mês e um tipo de mão-de-obra com uma disponibilidade de 240 homens-hora por mês. Para se produzir uma unidade do produto I utilizam-se 5 horas de máquina e 10 horas de mão-de-obra, enquanto para o produto II utili- 322 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 zam-se 4 horas de máquina e 4 horas de mão-de-obra. Espera-se uma demanda de 20 unidades por mês do produto I e 45 do produto II. Calcula-se um lucro, por unidade, de R$ 10,00 para o produto I e R$ 6,00 para o II. Determine as quantidades de cada produto que deverão ser fabri¬ cadas por mês, para o lucro mensal ser máximo. 2 2 . . v 6. Determine (x, y ) que maximiza (minimiza) a função f(x, y) = x + 2y , com x e y sujeitos as restrições: y = 1 — 2x, 0«xS^. 2 7. Dê exemplo de uma função contínua num conjunto limitado A C IR , mas que não assuma em A valor máximo. 2 2 8. Considere a forma quadrática Q (x, y) = ax + 2bxy + cy . Sejam Q (X|, jq) e Q (x 2 , >’ 2 ) os valores mínimo e máximo de Q em A = {(x, y) £ IR 2 I x 2 + y 2 = 1}. Prove: (i) se Q (xi, > 1 ) > 0, então Q (x, y) > 0 para todo (x, y) + (0, 0). (ii) se Q (x 2 , >' 2 ) < 0, então Q (x, y) < 0 para todo (x, y) + (0,0). 2 9. Suponha A um subconjunto fechado do IR e (x 0 , y 0 ) um ponto de acumulação de A. Prove que (x 0 , >' 0 ) £ A. 10. Prove que se/(x, y) for contínua em (x 0 , >’q) £ Dy, então/será localmente limitada em (x 0 , >’o) (f localmente limitada em (x 0 , y 0 ) significa que existem ac fie uma bola aberta B de centro (x 0 , >'q) tais que a ’ 0 ) é um extremante local, é razoável esperar que a curva de nível de/que passa por este ponto seja “tangente”, neste ponto, à restrição g (x, y) = 0, isto é, os vetores V/(x 0 , >> 0 ) e Vg (x 0 , y 0 ) devem ser paralelos e como Vg (xq, >>o) # ( 0 , 0 ) deverá existir um Aq tal que YAxq^o) = Vg (x 0 , j-o). Geometricamente, chegamos à seguinte condição necessária: uma condição necessária para que (jcq, }’q) G B seja um extremante local de fem B é que (xq, jft) torne compatível o sistema ÍV/(x, y) = A Vg (x, y) 1 «(xj) = 0 324 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Este processo de se determinar candidatos a extremantes locais é conhecido como método dos multiplicadores de Lagrange\ os À que tomem tal sistema compatível denominam-se multiplicadores de Lagrange para o problema em questão. Teorema 1. Seja /(x, y) diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y) G A\g(x,y) = 0), onde g é suposta de classe C 1 em A, e Vg (x, y) 4= (0, 0), para todo (x, y) G B. Uma con¬ dição necessária para que (xq, y 0 ) £ B seja extremante local de/em B é que exista um real Aq tal que V/ÍXq^o) = *0 (*o> 7o)- Demonstração Suponhamos que (x 0 , >’ 0 ) G B seja um ponto de máximo local de /em fi; isto significa que existe uma bola aberta V de centro (x 0 , >’ 0 ) tal que f(x,y) «/(x, 0 ,y 0 ) para todo (x, y) E B Cl V. ((x, y) E B Cl V <=> g (x, y) = 0 e (x, >’) G V). Consideremos, agora, uma curva y diferenciável num intervalo aberto / tal que 7 ( ? o) = (*b> 7o)> { o ^ A y' ( ? o) ^ 0 e g (y (t)) = 0, para todo t EI{ a existência de uma tal curva é garantida pelo teorema das funções implícitas). Da continuidade de y segue que existe 5 > 0 tal que Daí, t G ]?q — 5, t 0 + 5[ => y (?) G B n V. f (7 (')) =5/(7 (íq)) para todo t E ]r 0 — ô, t 0 + S[; assim, t 0 é ponto de máximo local de F (?) = f(y (?)) e como ? 0 é ponto interior a /, resulta F' (? 0 ) = 0, ou seja, © V/(-y (? 0 )) • 7 ' (t 0 ) = 0. Por outro lado, de g (y (?)) = 0 em / resulta © Vg (y (? 0 )) • 7'(? 0 ) = 0. Tendo em vista que V g(y (? 0 )) 4= 0 , segue de © e © que existe Aq tal que V/(7 (t 0 )) = Aq Vg (7 Máximos e Mínimos 325 Então, sendo /(x, y) diferenciável no aberto Ae B = {(x, y) £ A I g (x, y) = 0}, onde g é suposta de classe C 1 em A e Vg(x, y) + (0, 0) em B, os candidatos a extremantes locais de f em B são os (x, y)£A que tomam compatível o sistema í V/(x, y) = À V g (x, y) 1 gUy) =0 Estabelecemos assim uma condição necessária para um ponto (xq, y^) ser um extremante local de /em B. Trabalhando diretamente com a função o aluno deverá decidir quais dos candidatos encontrados são realmente extremantes locais. Observação. Se no teorema 1 acrescentarmos as hipóteses/de classe C 1 e V/(x 0 , y^) (0,0), então poderemos afirmar que a curva de nível de/que passa pelo ponto (x 0 , >’q) tangencia, neste ponto, a restrição g (x, y) = 0. Entretanto, nada podemos afirmar com relação à tangência se V /(xq, y 0 ) = (0, 0) (veja Exercícios 1 (/) e 1 (g)). 2 2 EXEMPLO 1. Determine os extremantes de/(x, y) = 3x + 2)>com a restrição x +y = 1. Solução 2 2 Seja g (x, y) = x + y — 1; o que queremos são os extremantes de /em B = {(x, y) G [R 2 | g (x, y) = 0}. Como g é de classe C 1 e Vg (x, y) = (2x, 2y) =A (0,0) em B, resulta que os candidatos a extremantes locais são os (x, y) que tomam compatível o sistema í V/(x, y) = A Vg(x, y) I g (x, y) = 0 ou que é equivalente a í(3,2) = A(2x, 2y) \x 2 + y 2 = l [3 = 2Áx 2 = 2Ay |x 2 +/ = l. Como À =£ 0, das duas primeiras equações resultam x = J3_ 2à Substituindo estes valores em x 2 + r 1, vem 9 4À 2 + ' . loui=I ÜI A 2 2 326 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Segue que (3 VÍ3 3 VT3 2VÍ3\ [ 13 13 j 13 ' 13 são os candidatos a extremantes lo- . j.( 3 VÍ3 2VÍ3U A 3VÍ3 2/Í3\ cais. Como B e compacto e/ -,- > / —-, —- .resulta que V \ 13 13 j \ 13 13 / 4 / 3 VT3 2 VÍ3 \ , [ 13 ’ 13 j é ponto de máximo e — 13 13 (Interprete geometricamente.) 3 VÍ3 2 VT3 \ , 13 13 é ponto de mínimo de/em B. 3 EXEMPLO 2. Estude, com relação a máximo e mínimo, a função f(x, y) = y + x com a restrição y — x 3 = 0. Solução g (x, y) = y - x 3 e B = {(x, y) G IR 2 I g (x, y) = 0}. 1 2 Como g é de classe C e Vg (x, y) = (-3x , 1) (0,0) em B, resulta que os candidatos a extremantes locais são os (x, y) que tomam compatível o sistema í V/(x, y) = AVg (x, y) \ g (x, y) = 0 ou í (3X 2 ,1) = AÍ-3X 2 , 1) \y ~ x 3 = 0. O único candidato é (0,0) que não é extremante de/em B, pois/(x, >’) > 0 para x > 0 e y > 0 e/(x, y) < 0 parax < 0 e y < 0. EXEMPLO 3. Encontre o ponto da curva xy=l,x>0ey>0 que se encontra mais pró¬ ximo da origem. Solução 2 2 Trata-se aqui de se determinar o mínimo de/(x, y) = x + y com a restrição xy = 1 (f(x, y) é o quadrado da distância de (x, y) a (0, 0)). Máximos e Mínimos 327 ÍV/ (x, y) = AVg (x, y) í(2x, 2y) = A (y, x) jg (*, y) = 0 jxy - 1 = 0 O único candidato é (1, 1) e, por inspeção, verifica-se que (1, 1) é ponto de mínimo. As¬ sim, (1, 1) é o ponto da curva xy = l,r>0ey>0 que se encontra mais próximo da origem. 2 y EXEMPLO 4. Determine a reta tangente à curva x -\ -- 1, x > 0 e y > 0 que forma 4 com os eixos triângulo de área mínima. Solução 2 y 2 Seja (a, b) (a > 0 e b > 0) um ponto da elipse x + — = 1. A equação da reta tangente em (a, b) é: ( \ 2a, 2) [(x, y) - (a, b )] = 0 ou by ax + -2-= 1. 4 328 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 2 A área do triângulo OMN é: A = —.O problema consiste em minimizar A = —coma res- ab ab 2 b 2 tnção a + — = 1 . y__?_ -A_\= x i 2a i\ \ a 2 b ’ ró 2 / r’ 2 / ou a 2 + — = 1 1 a}b 4 afc 3 = A = A + = 1 . Das duas primeiras equações segue b = 2a. Substituindo na última equação obtemos a = A equação da reta que resolve o problema é: 2 x + y = 2 VI. ■ PROBLEMA 2. Seja /(x, y, z) diferenciável no aberto ACR 3 e seja B = {(x, y, z) G AI g (x, y, z) = 0}, onde g é suposta de classe C 1 em A e Vg (x, y, z) # (0,0,0) em B. Qual uma condição necessária para que (x 0 , y Q , z 0 ) G B seja extremante local da/em BI Raciocinando geometricamente, como no Problema 1, chega-se à condição: a condição necessária para (x 0 , >’ 0 , Zq) C B ser extremante local de/em B é que exista A q tal que V/(xq, y 0 . zo) = Vg (*o> yo> zò)- Deixamos para o leitor a prova desta afirmação. Deste modo, os candidatos a extremantes locais de/em B são os (x, y, z) G A que tomam compatível o sistema f V/(x, y,z) = A Vg (x, y, z) } g (x, y, z) = 0 ■ 2 2 2 EXEMPLO 5. Determine o ponto do elipsóide x +2y + 3z =1 cuja soma das coorde¬ nadas seja máxima. Solução 2 2 2 Queremos maximizar/(x, y, z) = x + y + z com a restrição x + 2y + 3z =1. |v/(x, y, z) = A Vg(x, y, z) í(l, 1,1) = A (2x, 4y, 6 z) lg (x, y, z) = 0 [x 2 + 2 y + 2>z ~ 1 = 0 . g (x, y, z) 1 1 1 Como A deve ser diferente de zero, da l. a equação tiramos: x = — ,y = — e z = 77 - Subs- 2A 4A 6 A tituindo na última equação obtemos: 1 2 + 4A 2 16A 2 36A 2 = 1 ou A = ± —. M 24 Máximos e Mínimos 329 Os candidatos a extremantes são: x =l± IE ± IE ± ÍJl) x =[-- (H -i ÍJ± _i ÍIM 1 ^2 V24’4 V24’6 V24 j 6 2 2 V 24 ’ 4 V 24 ’ 6 V 24 J' Da compacidade de B, da continuidade de/e de/(Xj) >/(X 2 ) segue que o ponto procu¬ rado é M (Tf ÍTT fiX\ (2 v 24’ 4 v 24 ’ 6 V 24 ■ O próximo teorema fornece-nos uma condição necessária para (x 0 , y 0 , zq) ser um extremante local de/(x, y, z) com as restrições g (x, y, z) = 0 e h (x, y, z) = 0. Para a demonstração de tal teorema vamos precisar do seguinte resultado (cuja prova fica para o leitor): sejam u , v, w e c # 0 vetores do IR 3 tais que u A v ^ 0, u ■ c = 0, v • c = 0 e w • c=0; então existem reais Aj e À 2 tais que w = A l u + A 2 v . Teorema 2. Seja/(x, y, z) diferenciável no aberto A C R e seja B = {(x, y, z) £ A I g (x, y, z) = 0 th (x, y, z) = 0}, onde g e h são supostas de classe C 1 em A e V g (x, y, z) A V h (x, y, z) + 0 em B. Nestas condições, uma condição necessária para que (x 0 , >’q, Zq) & B seja extremante local de/em B é que existam reais A[ e A 2 tais que v /(^ >■(). Zq) = A, Vg (XQ, y 0 , 2 o) + A 2 Vh (x 0 , V 0 , Zo). Demonstração Suponhamos que (x 0 , y 0 , zq) seja ponto de máximo local de/em B, o que significa que existe uma bola aberta V de centro (x 0 , >’q, Zq) tal que, para todo (x, y, z) £ B n V, f(x,y, z) ^/(x 0 , >’ 0 , Zq) o (como A é aberto, podemos supor V C A). Consideremos uma curva diferenciável -y: I—> R , I intervalo aberto, tal que 7 (? 0 ) = (x 0 , >’q, Zo). V /q) ^ 0 e 7 (t) £ B para todo t em I (a existência de uma tal curva é garantida pelo teorema das funções implícitas). Da continui¬ dade de 7 , segue que existe 5 > 0 tal que t e ]r 0 - 5, t 0 + 5 [ => 7 (0 e b n v. Assim, para todo t E ]? 0 — 5, t 0 + 5[ tem-se /(7 «)«/(7 (ío)). Logo, ? 0 é ponto de máximo local de F (t) = / (7 (?)) e daí F' (r 0 ) = 0, ou seja, © V/(7 (r 0 )) • 7' ( 2 + z 2 = 4}. Observe que B é compacto. Os candidatos a extremantes locais são os (x, y, z) que tomam compatível o sistema í Vf (x, y, z) = A Vg (x, y,z) + fi Vh (x, y, z) g (x, y, z) = 0 | h (x, y, z) = 0 . 2x = A + 2/xx 2y = A + Sfiy 2z = A + 2/u z x + y + z = \ x 2 + 4y 2 + z 2 = 4 2x (1 — fi) = A © 27(1 - 8/x) = A © 2z(l-/*) = A © *,+ y V = 2 1 ® X 2 + 47 2 + Z 2 = 4 © O Máximos e Mínimos 331 De ® e (D segue 2x(l - fi) = 2z (1 - n). Para fi # l,x = z. Substituindo em © e © 2x + y = 1 2x 2 + 4/ = 4 ou V = 1 - 2x 2 , ~ 2 T x + 2y =2. x + 2 (1 - 2x) 2 = 2 <» 9x 2 - 8x = 0 <» x = 0 ou x = 9 Temos, então os candidatos: (0, 1,0) e f —, ——\. Para a = 1, teremos À = 0. Segue de \9 9 9) @ que y = 0 ; substituindo em © e ® (x + z = l Ix 2 + Z 2 = 4 + (l-x) 2 = 4<*2x 2 -2x-3 = 0<*x = 1±V7 Segue que 1 + V7 „ 1-V7\ /1-V7 „ 1 + V7 -. 0 , 0 , são outros candidatos a extre- 2 2 mantes. Como fé contínua e B compacto, basta comparar os valores de/nos pontos encon¬ trados: /(0, 1,0) = 1,/f-, —, \9 9 9) 81 / 1-V7 1 + V7 0 , = 4 = / o,i^I Conclusão. 1-V7 „ 1 + V7\ /1 + V7 1-V7 -, 0 , -, 0 , são os pontos mais afastados da origem. Por outro lado, (0, 1,0) é o mais próximo da origem. Exercícios 16.5 1. Estude com relação a máximos e mínimos a)f(x, y) = 3 x + yex 2 + 2y 2 = 1 c) f(x, y) = x 2 + 2y 2 e 3x + y = 1 e) f(x,y) = xyex 2 + 4y 2 = 8 g)f(x, y) = jr - Tjcy + y 2 e x 2 + y 2 = 1 0 f(x, y) = x + y 3 - 3x - 3y e x + 2y = 2 2. Determine a curva de nível de f(x, y) = x + Qual o ponto de tangência? função dada com as restrições dadas. b) f(x, y) = 3x + yex 2 + ly 2 =s 1 d) f(x, y) = x 2 + 4y 2 ejry = l,x>0ey>0 f)f(x.y) = x 2 + 2xy + v 2 ex + 2 y - 1 = 0 b) /(x, y) = x 2 - ly 2 ex 2 + y 2 - 2 x = 0 1 j)f (x, y) = x 2 - 2xy + 3y 2 ex 2 + 2y 2 = 1 2 5y que seja tangente à curva xy = l,x>0ey>0. 3. Determine o ponto da reta x + 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo. 2 4. Determine o ponto da parábola y = x mais próximo de (14, 1). 2 2 2 5. Determine o ponto do elipsóide x + 4y + z =1 que maximiza a soma x + 2y + z. 2 2 2 6. Determine a superfície de nível da função/ (x, y, z) = x +y +2z que seja tangente ao plano x + 2y + 3z = 4. Qual o ponto de tangência? 332 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 7. 8 . 9. 10 . 11 . 12 . 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20 . 21 . 22 . 23. 24. 25. Ache o valor máximo e o valor mínimo da função /(x, y, z) = x + 2y + z com a restrição 2 ,- 2 , 2 . x +2 y + z =4. Determine o ponto do plano x + 2y — 3z = 4 mais próximo da origem. Determine o ponto da reta í x + 2y + z = 1 \2x + y + z = 4 que se encontra mais próximo da origem. 2 2 2 Maximize /(x, y, z) = x + 2y + 3z sujeita às restrições x + y + z =4ex+y+z= 1. 2 2 Encontre os pontos da elipse x + xy + y = 3 (de centro na origem) mais próximos e os mais afastados da origem. Desenhe a elipse. 2 2 Encontre o ponto da curva x — 2xy + y - 2x— 2y + 1 = 0 mais próximo da origem. 2 2 Encontre os pontos da curva x — 6xy — ly + 80 = 0 mais próximos da origem. Desenhe a curva. Determine o ponto da superfície xyz = 1, x > 0 e y > 0 que se encontra mais próximo da origem. Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo. Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima. (Sugestão: Utilize a fórmula A = (p — d) (p — ti) (p — c) que fornece a área do triângulo em função dos lados a, be c, onde pé o semiperímetro.) 3 Verifique que ^—j é o valor máximo de xyz, x S 5 0, y S 5 0 e z S 5 0, com a restrição x + y + z = c (c > 0). Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à média aritmética destes números. Determine, entre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima. 3 Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m de volume e com a forma de um parale¬ lepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais. Determinar as dimensões da caixa que minimiza o custo do material. 2 Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total 100 cm . Determine as dimen¬ sões para o volume ser máximo. Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com arestas paralelas aos eixos, inscrito no elipsóide Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com três de suas faces nos pla¬ nos coordenados, contido no tetraedro {(x, y, z) GE IR 3 I x + 2y + 3z *£ 12, x 3= 0, y ^ 0 e z 3= 0}. 2 A temperatura T em qualquer ponto (x, y, do espaço é dada por T = 100 x yz. Determine a temperatura máxima sobre a esfera x + y L + z =£4. Qual a temperatura mínima? 2 2 2 x L y L 4 Determine o plano tangente à superfície + — = l,x>0, y>0ez>0, que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo. 2 2 Determine P na elipse x + 2y = 6 e Q na reta x + y = 4 de modo que a distância de P a Q seja a menor possível. Máximos e Mínimos 333 2 2 26. Considere a forma quadrática Q (x, y) = ax + 2 bxy + cy onde a, b, c são constantes não simul- 2 2 taneamente nulas. Seja g (x, y) = x + y — 1. Suponha que (x^, y 0 , Aq) seja solução do sistema VQ (x, y) = A Vg (x, y) x 2 + y 2 = 1 ■ Prove que g (x 0 , >o) = V (Sugestão: Como Q é homogênea de grau 2, utilize a relação de Euler. Veja Exercício 26 da Seção 12.1.) 27. Sejam Q (x, y) e g (x, y) como no exercício anterior. Suponha que os multiplicadores de La- grange associados ao problema I Ve (x, y) = A Vg (x, y) 1 x + y 2 = 1. sejam estritamente positivos. Prove que Q (jc, y) > 0, para todo (x, y) =£ (0, 0). (Sugestão: Utilize o Exercício 26.) 28. Prove que os multiplicadores de Lagrange associados ao problema do exercício anterior são as raízes da equação a — A b b c — A 29. Sejam Q (x, y) e g (x, y) como no Exercício 26. Sejam Aj e A 2 , Aj A 2 , as raízes da equação a — A b b c — A Prove que Aj e A 2 são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de Q sobre a circunfe- 2 2 rencia x + y = 1. 16.6. Exemplos Complementares EXEMPLO 1. Seja/(x, y) de classe C 2 num aberto A do IR 2 . Suponha que (x 0 , y 0 ) G A seja um ponto crítico de/. Prove que uma condição necessária para (x 0 , >’q) ser um ponto de mí¬ nimo local de/é que ~T >*o) /(2 + 2 yd> hk + ( *0’ ?o) * 2 58 0 ox dx ây dy z para todo (h, k). Solução Seja v = (h, k) + (0, 0) e consideremos a função g-(t) =/(x 0 + ht, >’ 0 + kt). Suponhamos que (x 0 , y 0 ) seja ponto de mínimo local de/, então t = 0 será ponto de mínimo local de g- e, portanto, deveremos ter necessariamente g"- (0) 0. Como «5 <°) = TT <«>’ >’o) ^ 4 2 44 t (jc O’ >’o) hk + 4r (-*0» >’o) dx" 1 dx dy dy z 334 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 \ *''(•*<). + th , y o + tk ) 'Uo.^o) (verifique) resulta que XT (jí O’ yd> h2 + 2 77^’ ?o) hk + XT y o) k2 55 0 para todo (h, k), é uma condição necessária para (x 0 , y 0 ) ser ponto de mínimo local de / ■ Observação. Note que g ■ fornece os valores que /assume sobre o trecho da reta (x, y) = (xq, >’q) + t (h, k) contido em Dj. EXEMPLO 2. Considere a forma quadrática Q (h, k) = ah 2 + 2 bhk + ck' 2 onde a, bec são constantes. Suponha a + 0. Verifique que a b t b \ 2 b C r, Q(h,k) = alh -\—&} +—-— k 2 . \ a J a Solução ah 2 + 2bhk + ck‘' = a h 2 + 2 — hk + — k 2 a a = a h 2 + — hk + k 2 - k 2 + — k 2 a a 1 a 1 a i h + t t f + sicfL k 2 2 a b Q (h, k) = a(h + — k\ + —— -k 2 . \ a ) a ou seja, Máximos e Mínimos 335 EXEMPLO 3. Considere a forma quadrática Q (A, k) = ah 2 + 2 bhk + ck 2 . Prove: (i) se a > 0 e a b\ b c > 0, então Q (h, k) > 0, para todo (A, k) ¥= (0,0). (ii) se a b b cl < 0, então existem (Aj, gj) e (l^, k 2 ) tais que Q (A f , k t ) < 0 e Q ( h 2 , k 2 ) > 0. Solução Pelo Exemplo 2, sendo a # 0, Q(h, k) = a (yh + llrY + k 2 . (i) imediata. (ii) se a = 0, teremos necessariamente b # 0; neste caso, existe a tal que Q(a,\)eQ(a,—\) terão sinais contrários. (Verifique.) Se a # 0, Q (1, 0) e Q (—, — l ) terão sinais contrá- V a / r a b\ rios ea,o) = aeef-,-i) = \ a / b c a 2 2 EXEMPLO 4. Seja/(x, >’) de classe C num aberto A do IR e seja (x 0 , >’q) G A um ponto crítico de /. Prove que se h (*o- yo) à 2 f âx 2 d 2 } âx ây (■«O. yo) •Uo. yo) então (xq, y 0 ) não é extremante local de /. d 2 f âx ây iV ây 2 ( xq , yo) (■to. yo) <0 Solução Seja g- w (t) =f(x 0 + Ar, y 0 + kt) ( v = (h, k)). Pela regra da cadeia, g" (°) = ^-4- (xo, yo)A 2 + 2 d { (x 0 , y 0 ) Ag + 4^-(x 0 , y 0 ) A 2 . 336 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Pelo Exemplo 3 (ii) d 2 f d 2 f - = ^(1 o. »>•» = — d 2 f (x 0 , y 0 ) e c = —Y (x 0 , yo)| existem ày vi ={h x ,k x ) e v 2 =(h 2 ,k 2 ) tais que g" (0) < 0 e g” (0) > 0. V, v 2 Assim, t = 0 é ponto de máximo local de g- (?) e ponto de mínimo local de g- (?). Logo, V, v 2 (x 0 , >’q) não é extremante local de/. Seja (xq, >’q) G Djum ponto crítico de/. Dizemos que (x 0 , )’q) é ponto de sela de/se em toda bola aberta de centro (xq, y 0 ) existirem pontos (x,,}’,) e (x 2 ,y 2 ) com/(x,, >’ f ) ’ 0 ) e /( x 2> > 2 ) > /( x o> ^o)- 2 2 Seja/(x, >’) de classe C num aberto A de IR Z e seja (x 0 , y 0 ) G A um ponto crítico de/. Segue do Exemplo 4 que se H(x 0 , y 0 ) < 0, então (x 0 , >’q) será ponto de sela de/(verifique). EXEMPLO 5. Sejam/(x, y) de classe C e (xq, >’q) um ponto interior de Dj. Suponha que (x 0 , >’q) seja ponto crítico de/. Prove: a) Se e± dx 2 (xq, >’q) > 0 e H (x 0 , >’o) > 0, então (xq, >’q) será ponto de mínimo local de/. b) Se à 2 f dx 2 (xq, >’q) < 0 e H (x 0 , >’q) > 0, então (xq, y 0 ) será ponto de máximo local de/. Solução a) Da hipótese e da continuidade das funções (x, y) e H (x, y) (■x, y) £lL âxdy (x, y) â 2 f dx ày iV ?V 2 ■ (x, y) (x, y) Máximos e Mínimos 337 segue, pelo teorema da conservação do sinal, que existe uma bola aberta B de centro Ocq, y 0 ) (podemos supor B C Dp pois (x 0 , y 0 ) é ponto interior de Df tal que, para todo (x, y) em B, â 2 f âx 2 (x, y) > 0 e // (x, y) > 0. Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange (veja teorema da Seção 15.4), para todo (h, k), com (x 0 + h, y 0 + k) E B, existe (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , yp) e (x 0 + h, y 0 + k) tal que /(xo + K y 0 + k) — /(xq, y 0 ) = ^ (jc. y) h 2 + 2 (x, y) hk + (x, y) k 2 2 dx L dx ây dy L 'VÇ 'VÇ lembre-se de que — (xo, yo) = 0 = (xo, yo)> P°' s (xo, yo) é ponto crítico de / dx ây Como (x, y) G B, à 2 f dx 2 (x, y) > 0 e H(X, y) = à 2 f dx 2 (x,y) £j_ àxdy (x, y) d 2 í dx ây dj± dy 2 (x, 30 (x, y) >0; tendo em vista o Exemplo 3, para todo (h, k) # (0, 0), com (x 0 + h,y 0 + k) E B, f(x 0 + h,y 0 + k)~ /(xq, y 0 ) > 0, ou seja, f(x,y) >/(x 0 ,y 0 ) para todo (x, y) em B, com (x, y) # (x 0 , y 0 )- Portanto (x 0 , y 0 ) é ponto de mínimo local de / b) Fica a seu cargo. [Basta verificar que (x 0 , yp) ® ponto de mínimo local de g (x, y) = ~fix, y)]. ■ EXEMPLO 6. Sejam a, /3, y, ô, e e tp números reais dados. Considere a forma quadrática Q ( r, s, t) = ar 2 + {is 2 + yt 2 + 2ôrs + 2 ert + 2 0,1 a) Se b) Se 8 p

0 e a > 0, então Q (r, s, t) > 0, para todo (r, s, t) + (0, 0,0). < 0 , a 8 8 p > 0 e a < 0, então c) Se I a ô ô p Q (r, s, t) < 0, para todo (r, s, t) + (0, 0,0). |< 0 e a > 0, então existem (r l5 Sj, e (r 2 , s 2 > ta * s c l ue Q ( r i* s i> ?i) < 0 e Q ( r 2 > s 2' *l) ^ 0 - Solução a) e b) são conseqüências imediatas do Exemplo 6. a ô c)C(l,0, O) = ae0(-,-l, oj = — —assim, Q (1,0,0) e q [^-> _ 1. oj têm sinais contrários. [Sugerimos ao leitor determinar outras situações que levam à existência de (/■], Jj, íj) e (r 2 , s 2 , t 2 ) com Q (r 1; s 1; t x ) < 0 e Q (r 2 , s 2 , t 2 ) > 0.] ■ Deixamos a cargo do leitor a demonstração do resultado que aparece no Exercício 15 da Seção 16.3. (i Sugestão : Proceda como no Exemplo 5.) 17 Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 17 . 1 . Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras. Sejam A,BtC três pontos do IR", e consideremos os ve¬ tores a = B — C, b = C — At c = B — A. Suponhamos que os vetores b e c sejam ortogonais, isto é, que o produto escalar b ■ c = 0 . Nessas condições, tem-se a II 2 = II b II 2 + II c II 2 . De fato, observando que a = c — b e, para todo v , II v II 2 = v • v , e lembran¬ do, ainda, das propriedades do produto escalar, vem II a II 2 = a • a = (c — b) ■ (c — b) = c ■ c —2 b ■ c + b ■ b . E, portanto, tem-se a relação de Pitágoras II a II 2 = II b II 2 + II c II 2 - Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 341 Uma conseqüência importante do teorema de Pitágoras e que será utilizada logo é a se¬ guinte: Sejam A, B dois pontos do IR” e seja fl o conjunto, contendo A, de todos os pontos C de R” tais que C — A seja ortogonal a B — A, Nestas condições, para todo C em fl, II B — A II ss II B - C II ou seja, para todo C em fl, a distância de B a A é menor ou igual à distância de B a C. De fato, pelo teorema de Pitágoras, II B - C II 2 = II B ~ A II 2 + II C - A II 2 . Como II C — A II 2 3= 0, resulta II B — C II 2 s* II B — A II 2 e, portanto, II B — A\\ « II B — C II • ■ Observação. Lembre-se de que, sendo X e Y dois pontos do R”, a distância de X a Yé II X — y II. Assim, se fl for uma reta ou um plano em R 3 (ou no R”), então IIZ? — All será a distância de B a fl. 17.2. Solução LSQ de um Sistema Linear com Uma Incógnita Vamos começar considerando um sistema linear 5, no plano, com uma incógnita. S: a n t = b\ a 2\t = t>2- Esse sistema, no sentido habitual, poderá ter solução ou não. Terá solução se o ponto B = (i>j, b 2 ) pertencer à reta r, dada, em forma paramétrica, por (x = a n t r ' [y = a 2 \t- Se o ponto B = (b^ , è 2 ) não pertencer à reta r, o sistema S não admitirá solução, no sentido habitual, mas admitirá solução LSQ ou solução dos mínimos quadrados. Definição (de solução LSQ). Dizemos que ? 0 é uma solução LSQ ou solução dos mínimos quadrados do sistema linear S se t = r 0 tomar mínima a distância do ponto B = (b j, b 2 ) ao ponto X = {a n t, a 2 \t), t real. 342 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Consideremos os pontos A = (a l ^q, a 2 i ? o)’ B = (b^, b 2 ) e X = (a n t, a 2 \i). Pensando geo¬ metricamente, Iq será uma solução LSQ do sistema linear 5 se o vetor B — A for ortogonal à reta r ou, de forma equivalente, se B — A for ortogonal ao vetor X — A, ou seja, se (B - A)-(X - A) = 0. De fato, se para t = ? 0 0 vetor B — A for ortogonal a X — A, pelo que vimos na seção ante¬ rior, teremos, para todo t, \\B - AW^WB - X\\ e, portanto, A é o ponto da reta r que se encontra mais próximo de B. Observe: se t = t 0 for solução do sistema S no sentido habitual, será, também, solução no sentido LSQ. Você concorda? Vejamos como achar rapidamente a solução LSQ do sistema S. Primeiro devemos escre¬ ver o sistema S em forma vetorial. A seguir, em vez de representar um vetor em linha, va¬ mos representá-lo em coluna, usando colchetes. Façamos n = ail a 2l e b = Assim, o sistema S poderá ser reescrito na forma b\ h. S : {t vj = b . Como X — A é paralelo a vj , pois vi é o vetor diretor da reta r, deveremos ter então b — Iq v i ortogonal a vj , ou seja, ( b - r 0 v i )' v t = 0 . Tendo em vista a distributividade do produto escalar em relação à adição, resulta Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 343 e, portanto, b ■ vi t 0 = — v l • v \ Nada muda se S for um sistema linear com uma incógnita no IR”. Vamos resumir o que fizemos anteriormente supondo S no IR”. Solução LSQ de um sistema linear, com uma incógnita, no IR”. Seja S o sistema linear a\\ t = b\ a\\ 'b\ ' S: . a 2l { = h. , Vi = a 2l II t-C u h ãn\ t — a n\ b n A solução LSQ de S é a raiz da equação vi • v, Um outro modo de se determinar a solução LSQ do sistema linear S é usando o cálcu¬ lo: determina-se t que toma mínimo o quadrado da distância do ponto B = (b l ,b 2 , ■■■,b n ) ao ponto X = ü 2 \t , a nl t). Indicando por IVo quadrado da distância de B a X, temos: n k = 1 Derivando, obtemos dW dt n 2 (b k - ta ki ) (~a kl ) = 2 k = 1 n n ta k \a k \ ~ 2 ^ k = 1 b k a k \. n Igualando a zero e lembrando que k = 1 n ta k\ a k\ ~ 1 ^ k = \ a k \a k \, resulta 344 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 n ^ a k\ a k\ k = 1 Como o gráfico de W = W (?) é uma parábola com concavidade voltada para cima (de acor¬ do?), segue que o valor de t acima toma mínimo o valor de W. EXEMPLO. Determine a solução LSQ do sistema \3x = 5 \x = 8 [2x = 7. Solução Aqui, ■3 '5 Vi = 1 e b = 8 2 7 A solução LSQ do sistema é _ b • vi _ 15 + 8+14 vi • vi 9 + 1 + 4 37 14 Conclusão: x = — é a solução LSQ do sistema dado. (Observe que esse sistema não admi- 37 te solução no sentido habitual. Observe, ainda, que, para t = —, a distância do ponto B = ( 5,8 ,7) ao ponto (3r, t, 2 1 ) é exatamente a distância de B à reta dada, em forma paramétrica, por x = 31, y = t e z = 2 1 .) m ATENÇÃO: Na HP-48G, a solução fornecida pelo aplicativo SOLVE LINEAR SYSTEM é uma solução LSQ. No Apêndice 2, mostramos como trabalhar nesse aplicativo. Exercícios 17.2 — ■ ..._ 1. Determine a solução LSQ do sistema dado. a) b) x = 3 3x = 1 ' x = 2 2x = 3 Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 345 2. Seja o ponto P = (2,1 ,3) e considere a reta r dada em forma paramétrica por x = 3 1 r : ■ y = t z = 2 1 Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P. 3. Seja o ponto P = (1 , 1 , 1 ) e considere a reta r dada em forma paramétrica por (x = t + 1 r: íy = 21 [z = t + 2 Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P. 17.3. Solução LSQ de um Sistema Linear com Duas ou Mais Incógnitas Inicialmente, vamos considerar um sistema com duas incógnitas. Seja, então, S o siste¬ ma linear S: a \\* + a l2 y = b\ 021 x "l" a 22 y = ^2 a n \ x + a n2 y=b n Definição (de solução LSQ). Dizemos que (x 0 , jft) é uma solução LSQ de S se (x, y) = (jcq, y Q ) tomar mínima a distância do ponto 'b \' a n x + a l2 y B = h ao ponto X = a 2 \ x + a 22 y b n a n 1 x + a n 2 y Fazendo A = «11 *0 + a 12 >"0 «21 -^0 + a 22 yo a n \xq + a n 2 supondo que o vetor B — A seja ortogonal a X — A e procedendo como na seção anterior, resulta, para todo (x, y). II B- A II « II fi — XII. 346 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Façamos Observando que 'b\ ' «i i «12 ' h 7 - «21 „ r* _ «22 ’ 1 ” e V2 — y «nl «n2 X - A = (x ~ x 0 ) vj + (>> - y 0 ) v 2 segue, se B — A for ortogonal a vi e a V 2 , ou seja, se (B — A) • v\ =0 (B ~ A) ■ v 2 =0 então B — A será, também, ortogonal a X — A. Como A = vj + >> 0 v 2 , o sistema acima poderá ser reescrito na forma ( b ~ x 0 vi - >>o v 2 ) • vi =0 (b - xo v i “ yo v 2 ) ‘ v 2 = 0 que é equivalente a *0 v i • v i + yo v 2 • v l = b • V! jcq v i ' v 2 + }>o v 2 ' v 2 = b • V2 Resumindo: Solução LSQ de um sistema linear, com duas incógnitas, no IR”. Seja S o siste¬ ma linear «11 x + n 2 l y = bi «tf «21 b\ S : . a 2l x + a 22 y = b 2 ^ = «21 , v 2 = «22 e b = b2 ««1 x + a n2 y = b n «nl a n2 bn A solução (ou soluções) LSQ de S é (são) a solução (ou soluções) do sistema auxiliar vi ■ vi x + vj • v 2 y — b • vj v l ■ v 2 x + v 2 ■ v 2 y = b ■ v 2 Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 347 ATENÇÃO: Prova-se em Álgebra Linear que o sistema SA é sempre compatível, no senti¬ do habitual. Será compatível determinado, ou seja, admitirá uma única solução, se V[ e V 2 forem linearmente independentes. Será compatível indeterminado, ou seja, admitirá uma infinidade de soluções, se vq e V 2 forem linearmente dependentes. MODO PRATICO PARA SE OBTER SA Primeiro escreve-se S na forma vetorial: S : {* Vi + yV 2 = b . Em seguida, multiplicam-se escalarmente os dois membros por V] e, depois, por V2, para obter SA : J ■ n + yv2 ■ V\ = ■ Vi I x vj ■ V2 + yv2 ■ V2 = b • V2 . Um outro modo de se obter a solução LSQ do sistema linear S é determinar, por meio do cálculo, o ponto que minimiza o quadrado da distância de B a X. Chamando de W o quadra¬ do dessa distância, temos: n w= 2 (ükxX + ük7y ~ bk)2 ' A solução (ou soluções) LSQ de S será (serão) então a solução (ou soluções) do sistema ãW v» „ , , , dW A — = 2j 2 (a kl x + a k 2 y - b k ) a kl e — = ^ 2 << a k\ x + *10? ~ b k> a k 2 resulta n n n x ^ “*1 + y 2 akiük2 = 2 bkãkX k = \ k = 1 k = l n n n * ^ a k\ a k 2 + y 2 a k 2 = 2 b k a k 2 >t = 1 >t = 1 348 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 que nada mais é do que o nosso SA acima. EXEMPLO 1. Resolva, no sentido LSQ , o sistema x + 2y =3 3x - y = 1 x - y = 2 x + 3y = 1. Solução Aqui Temos: T ■ 2 .3. —* 3 —* -1 —* 1 Vl = 1 , v 2 = -1 e b = 2 1 3 1 V] -V] = 12, V 2 • v i =1, b -V] = 9, V] • V 2 = 1, V 2 ■ V 2 = 15 e b ■ \>2 = 6. O nosso sistema auxiliar é então SA : J1 2x + y = 9 jx + 15;y = 6 , . . 63 129 cuja solução e x = -e y = -. 179 179 Conclusão: x = -e v = -é, então, a solução LSQ do sistema dado. ■ 179 179 Observação: Observe que, no sentido habitual, o sistema do exemplo acima não admite solução. EXEMPLO 2. Considere no R 4 o conjunto í> = {(«, v,w,t)\u = x + 2y,v = 3x — y,w = x — y,z = x + 3y,xey reais). Determine o ponto de 3> que está mais próximo de B = (3, 1, 2, 1). Solução O ponto (m, v, w, z) de que está mais próximo de B é aquele obtido com (x, y) solução LSQ de Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 349 x + 2y = 3 3x- y = l ' x — y = 2 x + 3y = 1 que nada mais é que o sistema do exemplo anterior. Como vimos, a solução LSQ desse sistema 63 129 . . , . J „ , / 321 60 -66 450\ e x = -e y = -. O ponto de

'2' T Vi = 2 , v 2 = 4 e b = 1 3 6 1 Observe que V2 = 2 vj , logo vj e V2 são linearmente dependentes. O sistema admitirá infinitas soluções LSQ. De fato, que é equivalente a SA : f14x + 28y = 7 |28x + 56y = 14 Í2x + 4y = \2x + 4y = 1 Conclusão: As soluções LSQ do sistema dado são todos os pares (x, y) tais que 2x + 4y = 1. (Vejamos um outro modo de resolver o problema acima. Colocando o sistema S em forma vetorial, temos S : {x vj + y V 2 = b . Tendo em vista que v 2 = 2 V! , resulta: S \ {(x + 2y) vj = b . Fazendo t = x + 2y, obte¬ mos o sistema, com uma incógnita, S : {t V] = b 350 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 cuja solução LSQ é vi • V! 1 _ 14 2 ' Então, as soluções LSQ de S são todos os pares ( x , y) tais que x + 2y = — , ou seja, tais que 2x + 4y = 1.) Para finalizar a seção, observamos que o procedimento para se resolver um sistema, no sentido LSQ , com mais de duas incógnitas é análogo ao procedimento para duas variáveis. Consideremos, por exemplo, o sistema linear com três incógnitas S: a\\x + a \2 y + ai 3 Z = b\ <221 X + <222 y + a 23 z = h. a n 1*+ a n2 y + a«3Z = V Em forma vetorial, o sistema acima se escreve 5 : {* V] + yv2 + Z V 3 — b O sistema auxiliar SA será, então, SA : xvj • vi + yv 2 • vi + zv 3 • V] = b • vj x V[ • V 2 + y V 2 ' V 2 + Z V 3 ' V 2 = b ■ V 2 x vi • V 3 + y V 2 ■ V 3 + z V 3 ■ V 3 = b ■ V 3 . A mesma observação é válida para o sistema SA. Tal sistema será sempre compatível, no sentido habitual: admitirá uma única solução se vj, V 2 e V 3 forem linearmente indepen¬ dentes; caso contrário, admitirá uma infinidade de soluções. ■ Exercícios 17.3 -:- 1. Resolva, no sentido LSQ, o sistema linear dado. A solução encontrada é solução no sentido habitual? b) 2x + y = 3 x y = 0 x + 2y = 3 3x - 2y = 1 (x + y = 2 a) I* - y = 1 \x + 2y = 3 (2x + y = 4 c) J 4x + 2y = 1 6 x + 3y = 4 Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 351 2. Considere o plano a dado em forma paramétrica por a : x = 2 u + v y = u — v z = u + v. Seja B = (3, 0, 1). Determine o ponto do plano a que se encontra mais próximo de B. Qual a distância de B a a? 3. Seja a o plano do exemplo anterior. Uma partícula desloca-se sobre o, e sabe-se que no instan¬ te t a posição da partícula é dada, em forma paramétrica, por: x = t, y = 2tez = z (t). a) Determine z (í). b) Determine o instante em que a partícula se encontra mais próxima do ponto (1,0,2). 17.4. Ajuste de Curva: A Reta dos Mínimos Quadrados Consideremos a tabela X y x \ y\ x 2 yi y s *n y n Sabemos que por dois pontos distintos sempre passa uma reta. Por mais de dois pontos, só com muita sorte! Mas, de qualquer forma, vamos proceder como se houvesse uma reta passando por todos os pontos da tabela. Seja y = mx + q a reta que estamos interessados em determinar. A notação y, que é usual em estatística, indica que o valor y correspondente ao valor de x é apenas uma estimativa para o verdadeiro valor de y. Para que tal reta passe por todos os pontos, devemos ter mx i + q= y\ s . \mx 2 + q = yi mx n + q = y n . Definição (de reta dos mínimos quadrados). Dizemos que y = mx + q é a reta dos mínimos quadrados para os dados da tabela acima se (m, q) for a solução LSQ do sis¬ tema S. Se os pontos da tabela forem colineares, então a reta y = mx + q passará por todos os pontos >>,■), i = 1,2, n. Mas, de modo geral, isso não ocorrerá. Assim, em geral, o valor p,-, = mxj + q, será apenas uma estimativa para o valor y l da tabela (é comum 352 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 referir-se a esse y t como valor observado). Desse modo, quando usamos _V; para estimar y t , estamos cometendo um erro £,■: E i = h - yt = mXj + q - y t , i = 1 , 2, n. Segue que a soma W dos quadrados dos erros é n n w= 2 E ? = 2 ( mx i + 4-yif- i=i i=i Como m e q da reta dos mínimos quadrados v = m x + q é a solução LSQ do sistema 5, resulta que tal reta é determinada de modo que a soma dos quadrados dos erros seja mínima. A retados mínimos quadrados é a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros Ef EXEMPLO. Considere a tabela X 2 4 6 8 10 y 5 4 8 6 12 a) Construa o diagrama de dispersão. b) Determine a reta dos mínimos quadrados. c) Utilizando a reta dos mínimos quadrados, estime os valores de y para x = 5 e x = 8. d) Calcule as médias aritméticas x e y dos x i e dos y t , respectivamente. e) Verifique que a reta dos mínimos quadrados passa pelo ponto ( x, y). — 9 f) Calcule a soma dos quadrados (y i — y) . A — 2 g) Calcule a soma dos quadrados - y). Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 353 h) Calcule a soma dos quadrados dos erros 5 _ 5 5 i) Verifique que ^ (y,- — y) 2 = ^ (y,- ~ y) 2 + ^ (y,- — y,) 2 . (Está parecendo í = l 1=1 1=1 teorema de Pitágoras, não? Veremos mais adiante que isso ocorre sempre!) j) Justifique a afirmação: “É razoável esperar que os yi se concentrem mais em torno de y do que os y,.” k) Calcule o coeficiente de determinação F? ^ (y; - y ) 2 i = l J (y, - y ) 2 1 = 1 (Observe que 0 ^ R ^ 1. 2 Observe ainda que, quanto mais próximo de 1 estiver o R , melhor deverá ser o ajuste da reta dos mínimos quadrados aos pontos da tabela. De acordo?) Solução a) O diagrama de dispersão é a representação gráfica dos pontos da tabela. 15 - 12 9 6 3 - 0 -- 0 10 12 b) Seja y = mx + q a reta procurada. Temos S : '2 m + q = 5 4m + q = 4 6m + q = 8 8m + q = 6 10m + q = 12. S:{mvi+<7V2= b Em forma vetorial, temos 354 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 onde O sistema auxiliar é 2 ' _ 4 _ vi = 6 , v 2 = 8 10 1 5 ' 1 _ 4 1 e b — 8 1 6 1 12 Conclusão: A reta dos mínimos quadrados é y = 0,8x + 2,2. c) Para* = 5, y = 6,2; parax = 8, y = 8,6. 2 - - í = i d) x = - 5 2 + 4 + 6 + 8 + 10 „ - í = i --—-———■ = 6 ey = - 5 5 5 + 4 + 8 + 6 + 12 Assim, x = 6 e y = 7. e) y = 0,8x + 2,2; para x = 6, tem-se y = 7. Logo, a reta y = 0,8x + 2,2 passa pelo ponto ( x, y) = (6, 7). Então, a reta dos mínimos quadrados pode ser colocada na forma y - 7 = 0,8 (x - 6). Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 355 Para resolver os próximos itens, vamos precisar da seguinte tabela. x i y, y, 0/ - 7 ) 2 (9i- 7) 2 (»• - 9i) 2 2 5 3,8 4 10,24 1,44 4 4 5,4 9 2,56 1,96 6 8 7 1 0 1 8 6 8,6 1 2,56 6,76 10 12 10,2 25 10,24 3,24 0 2) (y/ ~ y) 2 = (5 - 7) 2 + (4 - 7) 2 + (8 - 7) 2 + (6 - 7) 2 + (12 - 7) 2 = 40. i = 1 5 g) 2 (yi-y? = ( 3 ’ 8 - 7 ) 2 + < 5 ’ 4 - 7 ) 2 + (7 - 7 ) 2 + (8,6 - 7) 2 + (10,2 - 7) 2 . i = :1 5 Assim, ^ (y,- - y) 2 = 25,6. i = 1 5 h) ^ _ > _ > _ > n = ^ X k , v 2 • v 2 = n e b ■ v 2 = ^ Lembrando das fórmulas para o cálculo das médias aritméticas x e y, resulta V[ • v 2 = m e b • v 2 = ny. Então, o sistema auxiliar será equivalente a m vi ■ vi + nxq = b ■ v\ nxm + nq = ny. Multiplicando a segunda equação por — x e somando com a primeira, obtemos b • V[ — nxy * -2 vj -V] — nx *kyk - nxy 2 “2 x k~ nx Da segunda equação de SA, obtemos q = —m x + y. Para verificar que n n ^x k y k -nx]y ^ (x k - x)(y k - y) 2 “2 rf — Mv j? (.Xk - x) 2 é só desenvolver o numerador e o denominador do segundo membro. Vamos lá. n n ^ (Xk - x) (y k - y) = ^ (X k y k - x k y - xy k + x y). 358 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 De e segue n n 2 x k y = y J x k= y n / ^ \ 2j Xk k = 1 k=\ k =1 = n x y, \ / V x y k = n x y * = 1 xy + xy + ...+ xy = nxy n parcelas 2 (Xk k = 1 *K y k ~ y) = ^ Xtf k -n X y. k = 1 n n Para verificar que V (x k — x) 2 = x k ~nx , basta substituir, na relação acima, *=1 * = l y* por x k e y por x. Existe uma outra maneira, bastante interessante, d e verificar a relação © anterior. O caminho para essa outra maneira é lembrar que a reta dos mínimos quadrados passa pelo ponto ( x, y ). Seja y — y = m(x — x) a reta dos mínimos quadrados para os pontos (x ( -, y ( ), i = 1, 2Então, a reta Y =mX será a reta dos mínimos quadrados para os pontos (X,, K,), onde X l = x i — x e K, = y f — y, pois o que fizemos com essa mudança de variável foi apenas uma translação. Então, o coe¬ ficiente m será a solução LSQ do sistema f(*l - x)m = yi - y_ (x 2 - x)m = y 2 ~ y (x n - x) m = y n ~ y. S: Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 359 Sendo X\ — X y\ - y *2 X e b = yi~ y ” ■ _ ' ’' _ Xn ~ X y n ~ y teremos o sistema auxiliar e, portanto, SA : {m v — b - y)(xk - *) n (Xk - x) 2 O que você achou? Exercícios 17.4 1. Considere a tabela X 0 i 2 3 4 5 y -i 2 1,5 3,5 3,8 4,5 a) Construa o diagrama de dispersão. b) Determine a reta dos mínimos quadrados. c) Determine o coeficiente de determinação n. 2. A tabela a seguir apresenta as vendas semanais (em toneladas) de arroz, das últimas 6 semanas, de um supermercado. (Na linha dos x, o —6 estará representando seis semanas atrás, o —5 cin¬ co semanas atrás etc.) X -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 2 2,4 1,9 1,8 2,1 2,2 (Pela tabela, há seis semanas foram vendidas 2 toneladas de arroz; há cinco semanas, 2,4 tone¬ ladas etc.) a) Determine a reta dos mínimos quadrados. b) Estime a venda para a semana atual (x = 0). 2 c) Determine o coeficiente de determinação R . 17.5. Coeficiente de Determinação. Correlação Consideremos os pontos (*,-, y t ), i = 1, 2, ..., n. Seja y = mx + q a reta dos mínimos quadrados desses pontos. Nosso objetivo a seguir é mostrar que 360 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 V (y* - y ) 2 = ^ (k ~ y ) 2 + ^ ^k~ h ) 2 k = l k=1 *=1 Temos, para k = 1, 2, n, (yk ~ y ) 2 = (y* _ k + y* - y ) 2 daí (y* ~ y) 2 = (yk ~ k) 2 + 2(y k - k)(k ~ y) + (k ~ y) 2 - Para concluir a veracidade da relação acima, basta, então, mostrar que n ^ (y* - y*) (y* - y) = o. í = i De y* - y = m (x k — x) e de y t - y^ = y* — y — (y* - y), segue que a relação acima é equivalente a n ^ [y* - y - w (jc* - *)] (** - í) = o. k = \ A seguir, vamos mostrar que essa última relação realmente se verifica. Vimos no final da seção anterior que Y = mX é a reta dos mínimos quadrados para os pontos ( X k , Y k ), onde X k = x k — x e Y k = y k — y, para k = 1, 2, 3, .... n. Assim, mé a solução LSQ do sistema 5 : {m v = b onde X\ — X >i - y X2 — x e b = yi -y ■■■ _ x n ~ X y n - y Sabemos que, seméa solução LSQ de S, deveremos ter Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 361 que é equivalente a n 2 [C y k - y) - m (x k - x)] (x k - x) = 0. k = 1 De acordo? Fica provado assim o seguinte importante resultado: Se y = mx + q é a reta dos mínimos quadrados dos pontos (x^, y k ), k = 1, 2,3,.... n, então tem-se 2 (y*- y ) 2 = k = 1 2 (ífc - y) 2 + 2 ^ yk) 2 - k = 1 Desta segue que n ~y ) 2 ^ 2 * = i (y* - y) sendo que a igualdade só ocorrerá se a soma dos quadrados dos erros E k = y k — y k for igual a zero, ou seja, se y k = y *, para k = 1,2, ..., n, e, portanto, se os pontos (x^, £ = 1, 2,..., n, forem colineares. Definição (de coeficiente de determinação). Sendo y = mx + q a reta dos mínimos quadrados dos pontos (x k , y k ), k = 1, 2, 3, ..., n, definimos o coeficiente de determi¬ nação R z dessa reta por R 2 = í- 2 ) - y ) 2 ^ (?* ~ y) 2 k = 1 2 2 Do que vimos acima, resulta 0 « R =£ 1, e, quanto mais próximo de 1 estiver R , mais próximo de zero estará a soma dos quadrados dos erros E k . Portanto, o ajuste da reta dos mínimos quadrados aos pontos ( x k , y k ), k = 1,2 será tanto melhor quanto mais pró¬ ximo de 1 estiver R 2 . 362 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 D e y — y = m(x— x) segue, para& = 1,2 y k ~ y = m (x k — x). Desse modo, o coeficiente de determinação poderá ser colocado na seguinte forma: R 2 = ^ (x k ~ x) 2 k = 1 2 O* - y ) 2 * = i Lembrando que resulta Definição (de correlação). O número n ^ (** - *)(?* _ y) = *=i ^ (** - *) 2 - y)2 *=i \*=i denomina-se correlação entre os números x k e y k . Das definições acima, segue que o coeficiente de determinação é o quadrado da correla¬ ção. De R 2 « 1, resulta — 1 =£ R *£ 1. Lembrando da definição de co-seno de ângulo de dois vetores, a correlação entre os números x k e y k , k = 1,2nada mais é do que o co-seno do ângulo formado pelos vetores de componentes Oi - x, x 2 - x, ...,x n - x) e O-, - y, y 2 ~ y, ...,y n ~ y). Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas 363 17.6. Plano dos Mínimos Quadrados. Ajuste Polinomial Consideremos os pontos ( x k , y h z k ), k = 1,2, Dizemos que z = ax + by + c é o plano dos mínimos quadrados para os pontos acima se (a, b, c) for a solução LSQ do sistema 5: x\ a + y\b + c = zi X 2 a + y 2 b + c = Z2 x n a + y n b + c = z n . Da mesma forma que fizemos para a reta dos mínimos quadrados, mostra-se que o plano dos mínimos quadrados passa pelo ponto ( x, y, z), e, portanto, a equação dos planos dos mínimos quadrados pode ser colocada na forma z ~ z = a(x - x) + b(y - y). Prova-se, ainda, que é válida a relação 2 (Z k -z) 2 = 2 Czk~z) 2 + 2 iZk ~ ~ Zk)2 ' k = 1 k = 1 k = 1 2 De maneira análoga, define-se, então, o coeficiente de determinação R : R 2 = — 2 (z* - z ) 2 ^ Uk - z) 2 k = 1 Deixamos para o leitor provar o que dissemos acima e generalizar para p variáveis. Consideremos, agora, os pontos do plano ( x k , y k ), k = 1, 2Suponhamos que o diagrama de dispersão desses pontos tenha a “cara” de uma parábola. Então, a idéia é pro- curar ajustar aos pontos uma função do tipo y = ax + bx + c. Isso nos levará ao sistema x 2 a + x\b + c = y\ x%a + X 2 b + c = y 2 x%a + x n b + c = y n . S: 364 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Se considerarmos os pontos do IR 3 ( x %, x k , y k ), k = 1, 2, ..., n, o problema é exatamente o mesmo que vimos anteriormente. Para esse ajuste, o coeficiente de determinação será R 2 = - y ) 2 2 (yk - y ) 2 *=i No Apêndice 2, veremos como lidar com esses problemas na HP-48G e no EXCEL. Apêndice 1 Funções de uma Variável Real a Valores Complexos Al.l Funções de uma Variável Real a Valores Complexos Uma função de uma variável real a valores complexos é uma função cujo domínio é um subconjunto de IR e cujo contradomínio é C. EXEMPLO 1. Considere a função/dada por f(t) = t 2 + i cos t. a) Qual o domínio? b) Calcule/(O) e/(y). Solução a) O domínio de/é IR. *0/(0) =í 'e/(y) 2 ) EXEMPLO 2. Seja/dada por f(t) = cos t + i sen t. Desenhe a imagem de / Solução Para cada t,f(t) identifica-se com o ponto (cos t, sen t). A imagem de/é a circunferência de centro na origem e raio 1: 366 Um Curso de Cálculo — Vol.2 Seja/: A —» C, A C IR, uma função de uma variável real a valores complexos; então existem, e são únicas, duas funções_/j ( t ) e/ 2 (í), definidas em A e a valores reais, tais que /(?) = /] (?) + i/ 2 (?), para todo ? £ A. Pois bem, diremos que fé contínua em ? 0 E A se e somente se /, e/ 2 forem contínuas em ? 0 . Diremos, ainda, que fé derivável em ? 0 se e so¬ mente se /] e/ 2 forem deriváveis em ? 0 . Sendo/derivável em ? 0 , definimos a derivada de/ em ? 0 por /' ob) =/r Ob) + ifi «o)- Seja/: A —* C, A C IR; dizemos que F:A—* C é uma primitiva de/se F' (?) = /(?), para todo ? e A. A notação J* f(t)dt será usada para indicar a família das primitivas de/. Teorema. Seja/: /—» C, onde /é um intervalo em R. Se/' (?) = 0, para todo ? £ /, então existe uma constante complexa k tal que/(?) = k, para todo ? em /. Demonstração Seja/(?) = /] (?) + i/ 2 (?). Segue da hipótese que/j' (?) = 0 e/ 2 ' (?) = 0 em /; assim, existem constantes reais k i ek 2 tais que, para todo ? £ /, /l (?) = *1 e / 2 (0 = * 2 - Portanto, para todo ? £ /, /(?) = £) + f* 2 . ■ Como conseqüência deste teorema resulta que se/:/— > Ce g:I— >C,7 intervalo, forem tais que/' (?) = g' (?) em /, então existirá uma constante complexa k tal que, para todo ? em /, g(t)=f(t) + k. De fato, pela hipótese, para todo ? em /, [g (t) -/(?)]'= 0 e, pelo teorema acima, existe uma constante & tal que, para todo ? em /, *(?) ~f(t) = k. Funções de uma Variável Real a Valores Complexos 367 EXEMPLO 3. Seja /(?) = cos t + i sen t. a) Calcule/' (?). b) Verifique que/' (?) = ?/(?). Solução a) f (?) = [cos t + i sen ?]' = — sen t + i cos ?. b) f (?) = i sen ? + i cos ? = i (cos ? + i sen ?) = ?/(?). ■ EXEMPLO 4. Seja u (?) = e at (cos /3? + i sen /3?) onde a e /3 são constantes reais. Seja X = a + i 13. Verifique que Solução — = a e al [cos Bt + i sen fSt] + e al [—(3 sen /3? + i(S cos /3?] dt = ae al [cos fit + i sen fit] + /3ie at [cos /3? + i sen /3?] = (a + (j3) e aí [cos /3? + i sen (St). Portanto, — = Am. dt Exercício Sejam feg duas funções a valores complexos, definidas e deriváveis num intervalo I. Prove que, para todo t em /, tem-se: a) [/(?) +*(?)]'=/' (?) + «'(?)• b) [ £/(?) ]' = A/' (?), onde k é uma constante complexa. c) [/(?)*(?)]' =/'(?)«(?)+/(?)«' (?). d) /(?) g(?) [g (?)1 2 em todo í G /, com g (?) # 0. A 1.2 Definição de com A complexo Seja À um número real; já vimos que u (?) = e Aí é a única função definida em IR e que é solução do problema. dt u( 0) = 1. Suponhamos, agora, À = a + ?/3, onde ae (S são constantes reais. Vamos mostrar a seguir que m (?) = e°“ (cos (St + i sen (St) 368 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 é a única função de IR em C que é a solução do problema © í du \di [m(0) = 1 De fato, u (0) = 1. Pelo Exemplo 4 da seção anterior, — = À u. Deste modo a função dt u (t) = e at (cos pt + ( sen Pt) é a solução de ©. Como I u (t) I = e at , segue que u(t) =/= 0 em R. Suponhamos, agora, que v = v (r), t G R, seja, também, solução de ©, isto é: fv'(?) = Av(r), para todo t, e 1 v (0) = 1 Vamos mostrar que v (r) = u ( t ) em R. Temos: v(0 u(t) v'(t) u(t) - v(r) u'(t) _ Av(r) u(t) - Av(r) u(t) [u(t)] 2 [u(t)] 2 Assim, existe uma constante complexa k tal que, para todo t em R, u(t) Como v (0) = u (0) = 1, resulta k = 1. Portanto, v (t) = u ( t) em R. Fica provado que u ( t) = e 01 (cos pt + í sen p t) é a única função de R em C satisfazendo 0. Nada mais natural do que a seguinte definição. Definição. Seja A = a + t/3, com ae/3 reais. Definimos = e^ a + ' = e al (cos Pt + í sen Pt) (relação de Euler) para todo t real. Fazendo t = 1 na definição acima resulta: £ a + i/3 _ £ a ^ cos p _|_ ■ sen pj JP = cos p + i sen P Se a = 0 Funções de uma Variável Real a Valores Complexos 369 Seja z = e a + Observe que I z I = e a e que /3 é um argumento de z: Seja À uma constante complexa. Do que vimos anteriormente resulta: [ ]' = Àe Aí , para todo t real. O próximo exemplo mostra-nos que a propriedade gA, + K = gK • gA 2 é válida em C. EXEMPLO 1. Sejam À[ e À 2 complexos dados. Mostre que ^À| + A2 = gA| . ^ Solução u ( t) = e ÍA ' + ' é a única função de IR em C que satisfaz o problema -j- ~ (A] + A 2 ) u at «(0) = 1. Por outro lado, v (?) = t e IR, também satisfaz @ (verifique). Portanto, para todo t real, g(A| + À 2 )? = gA,? 1 Em particular, para t = 1, gAi + Aj = gA, . ^>A 2 EXEMPLO 2. Verifique que, para todo ? real, e" + e cos t 2 e sen ? = 2/ 370 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução © e lt = cos t + i sen t. e = cos ( — t) + i sen (— t) ou seja, © Somando membro a membro © e @ resulta e “ = cos t — i sen t. cos t = e lt + e Subtraindo membro a membro © e @ resulta sen t = „ií _ 0-it 2 i Sendo À + 0 uma constante complexa, de {e Kt ) = \e Át segue I e ÁI dt = — e Xt + k. A EXEMPLO 3. Calcule: à) Je“ dt Solução a) J e lt dt = — e " + k. Je' cos t dt = Je' b) J ' e r cos t dt. b) e" + e '' dt = jJ [eO + Oí +e (i-i)t] d{ M+i)t M - i)I + ■ 1 + í 1 — í + k. Ou seja, 1 / e ' cos t dt = — e' 2 l + i 1 — í Como e“ = cos t + i sen (es lt = cos t — i sen t, resulta: + k. 1 / e ' cos t dt = — e l 2 cos t + i sen t cos t — i sen t + k = — e 2 ' [cos t + sen í] + k. 1 + i 1 - i Funções de uma Variável Real a Valores Complexos 371 pois cos t + i sen t cos t — i sen t , -+- = cos t + sen t (verifique). ■ 1 + i l—i EXEMPLO 4. Mostre que cos 30 = cos 3 0—3 cos 6 sen 2 9 e sen 30=3 cos 2 6 sen 6 — sen 3 6. Solução e‘ e = cos 6 + i sen 6. Por outro lado, Segue que Temos, também, Assim, (D Temos: (cos 6 + i sen 0) 3 ou seja, © (cos 6 + i sen 0) 3 = cos 3 6—3 cos 6 sen 2 6 + i [3 cos 2 6 sen 6 — sen 3 6], De (3) e @ resulta: cos 36 = cos 3 6—3 cos 6 sen 2 6 e 3 ' 6 = (cos 6 + i sen 0) 3 . e 3ld = cos 36 + i sen 36. (cos 6 + i sen 0) 3 = cos 3 6 + i sen 36. = cos 3 0+3 cos 2 0(i sen 0) + 3 cos 0(i sen 0) 2 + (i sen 0) 3 , e sen 30=3 cos 2 0 sen 0 — sen 3 0. ■ EXEMPLO 5. Sejam z = e a + com 0 < (3 < —, e 0 um real com 0 < 0 < —. Repre- ■ Q ^ 2 sente geometricamente z e ze . Solução Para fixar o raciocínio, vamos supor -y < 0+ /3< rr.SejaZj = ze ld . Temos: Z\ = e a+ ,À=—1 + j'ouà=— 1— i. A solução geral é: = A l e i l + i)t + B l e { - 1 - 0 1 OU jt = e 1 [A x e‘‘ + B l e "] (A 1; B x G C). Lembrando que e" = cos t + i sen t e e " = cos t — i sen t, resulta x = e 1 [(Ai + B\ ) cos t + (í'Ai — iB\ ) sen f], A B ou seja, x = e ' [ A cos t + B sen t ] (A, BE. C). 2 Observação: Se a t e a 2 forem reais e se as raízes da equação À + ctjA + a 2 = 0 forem complexas, então tais raízes serão números complexos conjugados: À = a ± t/3. Assim, a solução geral de será d 2 x dt 2 dx + a\ -1- a?x dt 0 x = A l e (a+i ^ ), + B 1 e {a - í / 3 ) t OU x = e a, [ A x i* + B ie - ií} '] (A,, B x G C). Como e‘P‘ = cos (lt + i sen (lt e e l ^' = cos /3t — i sen (lt resulta: 376 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 x = e at [04j + õj) cos (3t + (;A| — iB{) sen (3t] ou x = e°“ [A cos /3 1 + B sen (3t ] (A, B £ C). A1.4 Equações Diferenciais Lineares, de 3. a Ordem, com Coeficientes Constantes Consideremos, inicialmente, a equação homogênea (D d^x d 2 x dx ^ + ai ^ + * 2 ^ + fl3 * onde a>, a 2 , a-, são constantes dadas. Se iam À,, À 9 e A-> as raízes da equação característica A 3 + ajÀ 2 + a 2 A + a 3 =0. Temos: í A l + A 2 + A 3 - ~a\ J A[A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 = a 2 (relações de Girard). [AjA 2 A 3 = —aj Substituindo em (/) obtemos: d^x d 2 x dx —jjT ~ ( A l + A 2 + A 3 ) + (AjA 2 + A,A 3 + A 2 A 3 ) — - AiA 2 A 3 x = 0 que é equivalente a: d 2 dx . . . , d dx 1 + AjA 2 dx 1 d, 2 — — A 3 x dt - (Ai + A 2 ) —- dt - — ÀtX dt . — - A 3 x dt u u u Segue que x = x ( t ), t £ IR, será solução de (/) se e somente se u = — — A 3 x for solução dt da equação linear de 2 . a ordem ~ - (A, + A 2 ) — + A,A 2 n = 0. dt 2 1 2 dt 12 Portanto, x = x(t) será solução de (/) se e somente se ou dx dt A 3 jc = A\e K '' + B\e se Aj + A 2 Funções de uma Variável Real a Valores Complexos 377 — - A 3 x = A\e K '‘ + B\te k '‘ se À) = À 2 dt Deixamos a seu cargo concluir que a solução geral de (T) será: x = Ae k J + Be k i ! + Ce k}l se A,- + A j para i =£ j. ou x = Ae k,t + Bte + Ce k}t se Aj = A 2 ^ A 3 , ou x = Ae kl ‘ + Bte k ' 1 + Ct 2 e k '‘ se Aj = A 2 = A 3 . As equações lineares de 3. a ordem, não-homogêneas, com coeficientes constantes, são tratadas do mesmo modo que as de 2. a ordem. Fica a seu cargo estender os resultados até aqui obtidos para equações lineares, com coeficientes constantes, de ordem n > 3. Apendice 2 Uso da HP-48G, do EXCEL e do MATHCAD* A2.1 As Funções UTPN, NXÍVX e NXÍVA A função UTPN é uma função da calculadora e que se utiliza para cálculo de probabili¬ dade na distribuição normal N (fi, cr 2 ). Esta função é dada por UTPN = UTPN (n, x) = P (X ^ x). UTPN (/a, a,x) = e -tx-ti) 2 l2 5) = 0,69146. b) Entre com 6 , 4 e 8 , nessa ordem, e pressione UTPN para obter0,15865. Assim, P( X^S) = 0,15865. c) P (5 « X « 8 ) = P (X 25 5) - P (X 2= 8 ) = 0,53280. ■ EXEMPLO 2. Considere a variável aleatória X com distribuição normal N ( 6 , 4). Calcule P (gi — a X =£ fji + oj. Solução gi = 6 edecx 2 = 4 segue a = 2. O que queremos é P (4 =£ X =£ 8 ). Temos P (4 =£ X =£ 8 ) = P (X & 4) - P (X ^ 8 ). Procedendo como no exemplo anterior, obtém-se P (X sz 4) = 0,84134 e P (X ^ 8 ) = 0,15865. Assim, P (4 =£ X ^ 8 ) = 0,68268. (Esse resultado já é nosso conhecido, lembra-se? Es¬ queceu?? Volte para o Cap. 4.) ■ O que é muito importante em estatística é determinar o valor de x quando se conhecem jLt, o^ e P(X S 5 x). Na HP-48G não existe função que realize esse cálculo diretamente. Entre¬ tanto, podemos criar uma função que nos permitirá realizar essa tarefa. Tal função será re¬ presentada pela variável NMVX (que lembra: normal, média, variância e x): NMVX = NMVX ( M , V, X). Essa função fará o que a UTPN faz, e com uma vantagem: a calculadora não reconhece UTPN ( M , V, X) como uma expressão nas variáveis M, V e X, mas reconhecerá NMVX (M, V, X) como tal. Esse fato nos permitirá criar a equação NMVX (M, V, X) = a 380 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e resolvê-la no SOLVE EQUATION quando houver apenas uma variável desconhecida: se forem conhecidas Aí, V e a, determinamos X. Vamos então criar tal função. Na verdade, o que faremos é criar um programa e armazená- lo na variável NMVX. Estando no ambiente HOME, entre no nível 1 com o programa (tecle a para escrever) « -> M VX « M VX UTPN » » ATENÇÃO. « » é a função roxa na tecla menos ( — );—> é a função verde na tecla 0. Localizou? Observamos que entre —Aí, V e X deve haver um espaço. Agora, digite: NMVX. Em seguida, pressione a tecla STO para armazenar o programa na variável NMVX. Vamos destacar no quadro a seguir o que fizemos para criar a variável NMVX. Criando a variável NMVX Nível 1: MVX«MVXUTPN»» Digite: NMVX e pressione STO Pronto. A variável NMVX já está na memória da calculadora e pronta para ser usada. Para localizá-la, pressione a tecla VAR (VAR = VARIÁVEIS) para abrir o menu das variáveis. Agora, tente localizar tal variável no menu dentro do visor; se for necessário, pressione NXT para virar a página do menu. Localizou? Está, então, criada a função NMVX = NMVX (Aí, V, X). Caso você queira visualizar o programa ou corrigir algum engano que porventura tenha ocorrido, pressione MEMORY (função verde na tecla VAR), e, na caixa de diálogo que se abre, leve a barra de destaque para cima da variável NMVX e em seguida pressione EDIT no menu do aplicativo (tecla branca da letra A); pressione novamente EDIT no menu do apli¬ cativo que se abre. Visualize o programa ou faça a correção. Para confirmar a correção, pressione ENTER três vezes. Pronto, você está de volta ao ambiente HOME, com as corre¬ ções confirmadas. Para visualizar o que está armazenado numa variável, ou para fazer cor¬ reção, proceda sempre da mesma maneira. Corrigindo ou visualizando o conteúdo de uma variável Pressione MEMORY (função verde da tecla VAR), pressione EDIT (no menu, tecla branca da letra A), pressione novamente EDIT (no menu), faça as correções ou ape¬ nas visualize o conteúdo, e em seguida pressione ENTER três vezes para confirmar as correções e voltar para HOME. Para testar o programa, ou a função que acabamos de criar, vamos calcular P(X^ 5), onde X é a variável aleatória do Exemplo 1, X: N (6,4). Primeiro, precisamos localizar a variável no menu VAR. Para isso, pressione a tecla VAR e localize a variável. Vamos em frente. Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 381 Antes lembramos que pressionar NMVX significa pressionar a tecla branca corresponden¬ te ao retângulo onde está alojada a variável. OK? Vamos então ao cálculo da probabilidade: entre com 6, 4 e 5 e pressione NMVX O resultado obtido concorda com aquele do Exemplo 1? Se concorda é porque está tudo certo. Se não concorda, reveja o programa, como descrito anteriormente, verifique onde está o erro, corrija-o e faça novamente o teste. No próximo exemplo, veremos como determinar o valor de x quando são conhecidas a média, a variância e a probabilidade P (X x). ATENÇÃO. MUITA ATENÇÃO. Se a sua calculadora estiver configurada de modo que o ponto seja o separador decimal (por exemplo, 5.3 é cinco inteiros e 3 décimos), então o ponto da calculadora é realmente ponto e a vírgula é realmente vírgula. Se no entanto sua calculadora estiver configurada de modo que o separador decimal seja a vírgula (por exem¬ plo, 5,3 é cinco inteiros e 3 décimos), então quando você pressionar o ponto aparecerá vír¬ gula e quando pressionar a vírgula aparecerá ponto-e-vírgula. MORAL DA HISTORIA: Se o ponto for o separador decimal, teremos NMVX = NMVX (M, V, X); se a vírgula for o separador decimal, teremos NMVX = NMVX (Aí; V; X). EXEMPLO 3. Sendo X uma variável com distribuição normal N( 6,4), resolva a equação P(X^x) = 0,2. Solução Sabemos que NMVX (6, 4, x) = P (X 2= x). Então o que precisamos é resolver a equação NMVX (6, 4, X) = 0,2 (Trocamos o x minúsculo pelo maiusculo simplesmente porque é mais fácil digitar letra maiuscula do que minúscula.) Agora, entre no SOLVE EQUATION (para isso pressione SOLVE na tecla 7 e escolha a opção Solve equation), entre com a equação no campo de EQ, entre com a estimativa 6 no campo da variável X, traga a barra de destaque para o cam¬ po da variável X e pressione SOLVE (último retângulo da direita do menu do aplicativo) para obter X : 7,68324. ■ Um outro modo, e muito rápido, para determinar X é por meio do programa que criare¬ mos a seguir e que será armazenado na variável NMVA. Sendo dados Aí (Aí = /x), V(V = o 2 ) eA(A = P(X> x)), tal programa resolve a equação NMVX (Aí, V, X) = A na variável X e com a estimativa Aí para X. 382 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Criação do programa NMVA Nível 1: « -> Aí VA « ' NMVX (Aí, V,X) = A ' ' X' AÍROOT»» Digite: NMVA e pressione STO Para testar o programa, vamos resolver a equação do Exemplo 3, onde são conhecidos Aí = 6, V = 4 e A = 0,2 (em estatística, em vez de A utiliza-se com freqüência a letra grega a). Primeiro localize NMVA: pressione VAR e procure por NMVA no menu das variáveis; se necessário, pressione NXT para virar a página do menu. Vamos ao cálculo de X. Utilizando NMVA para calcular X Digite: 6 ENTER 4 ENTER 0,2 Em seguida, pressione NMVA no menu das variáveis O valor obtido para X deverá ser o mesmo do Exemplo 3: X = 7,68324. Se foi este o resul¬ tado que você obteve, o seu programa passou no teste e está pronto para ser usado. Com a função NMVX e com o programa NMVA, você resolverá os cálculos mais freqüentes, relativos à distribuição normal, sem sair do ambiente HOME. Gostou? Espero que sim! EXEMPLO 4. Seja X uma variável aleatória com média 10, desvio padrão 3 e distribuição normal. à) Calcule P (7 X 12). b) Determine x para que se tenha P (X S 5 x) = 10%. Solução Aqui /a. = 10 e o 2 = 9; logo, Aí = 10 e V = 9. a) P (7 X =£ 12) = P (X ^ 7) — P {X 2* 12). Para calcular P (X S 5 7), entre com 10, 9 e 7 e pressione NMVX: P (X S 5 7) = 0,84134. Para o cálculo de P (X ^ 12), entre com 10, 9 e 7 e pressione NMVX: P (X ^ 12) = 0,25249. Portanto, P( l^X^ 12) = 0,58885. b) Precisamos resolver a equação NMVX (10, 9, X) = 0,1. Para resolvê-la, entre com 10,9 e 0,1 e pressione NMVA para obter: X = 13,84465. (Caso você queira verificar esse valor de X é só entrar com 10, 9 e 13,84465, pressionar NMVX e verificar se o valor obtido é 0,1. OK?) ■ Um outro tipo de equação que você terá que resolver em estatística é do tipo da do pró¬ ximo exemplo. EXEMPLO 5. Considere as variáveis aleatórias, com distribuições normais, X:N( 100, 25) e K: (V(115, 36). a) Determine x de modo que P(X^x) = P(Y^x). b) Sendo x a solução da equação anterior, calcule P (X ^ x) e P (K x). Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 383 Solução a) Sabemos que P(Y^x) = 1 - P(Y^x). Desse modo, a equação que temos para resolver é NMVX (100, 25, AO = 1 -WMVX(115, 36, X). Essa equação deverá ser resolvida no SOLVE EQUATION; a estimativa para a variável X tanto pode ser 100 ou 115. Resolvendo, obtém-se X = 106,818. Conclusão: x = 106,818. b) Para calcular P (X s® 106,818), entre com 100,25,106,818 e pressione NMVX para obter 8,63410207151E - 2. Este E - 2 no final do número significa que a vírgula deverá ir duas casas para a esquerda. Assim, P (X 3® 106,818) = 0,08634 = 8,634%. Como x = 106,818 foi calculado de modo que P (X ^ x) = P (Y =s x), resulta P(E=£ 106,818) = 0,08634. Assim, P (X 2* 106,818) = P (K =£ 106,818) = 0,08634 = 8,634%. ■ A2.2 As Funções UTPC, C2NX e C2NA 2 Sendo X a variável aleatória com distribuição X (n), qui-quadrado com n graus de liber¬ dade, UTPC calcula a probabilidade P (X 3= x). Cálculo de P (X s® x), onde X: X 2 (n) Entre com n e x e pressione UTPC EXEMPLO L Sendo X uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado, com 10 graus de liberdade, calcule. a) P(X^5) b) P(X 3=1) c) P( 1=£X=£5) Solução a) Para o cálculo de P (X s® 5), entre com 10,5 e pressione UTPC para obter 0,89117. Assim, PCX 2 = 5) = 0,89117. b) Entre com 10, 1 e pressione UTPC : P (X S 8 1) = 0,99982. c) P(1 =£ X « 5) = P (X 3= 1) - P (X 3= 5) = 0,10865 ■ A seguir, vamos criar a função C2NX, que é equivalente a NVMX da seção anterior. Criando a variável C2NX Nível 1: «—> N X « NX UTPC » » Digite: C2NX e pressione STO 384 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Na variável C2NX, C2 lembra qui-quadrado e N número de graus de liberdade. Sendo X uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, para o cálculo de P (X *), pro¬ ceda da seguinte forma: entre com n, x e pressione C2NX no menu das variáveis. A seguir, vamos criar o programa C2NA que resolve a equação C2NX (n, x) = a. Criação do programa C2NA Nível 1: <<^>NA « ' C2NX (N, X) = A' ' X ' 10 ROOT » » Digite: C2NA e pressione STO EXEMPLO 2. Sendo X uma qui-quadrado com 12 graus de liberdade, determine x tal que P(X^x) = 5%. Solução Como C2NX ( N, x) = P (X 2 * *), precisamos resolver a equação C2NX (12, jc) = 0,05. Entre com 12 e 0,05 e pressione C2NA para obter 21,02607. Assim, x = 21,02607. ■ A2.3 As Funções UTPT, TNX e TN A Se a variável aleatória X tem distribuição t de Student, com n graus de liberdade, a pro¬ babilidade P(X^ x)é calculada com a função UTPT: é só entrar com n, x e pressionar UTPT. A função TNX e o programa TN A são equivalentes a NMVX e NMVA, respectivamente. Cálculo de P(X *), onde X: t (n) Entre com nexe pressione UTPT A seguir, vamos criar a função TNX. Criando a variável TNX Nível 1: <<^>NX « NXUTPT» » Digite: TNX e pressione STO Da mesma forma, vamos criar o programa TN A que resolve a equação TNX (n, x) = a. Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 385 Criação do programa TNA Nível 1: <<^>NA« ' TNX (N,X) = A' ' X ' 10 ROOT » » Digite: TNA e pressione STO A2.4 As Funções UTPF, FNNX e FNNA Se a variável aleatória X tem distribuição F, com graus de liberdade «| e/i 2 ,a probabili¬ dade P (X 5= x) calcula-se com a função UTPF. Cálculo de P (X s* x), onde X: F («j, n 2 ) Entre com n\,n 2 ,xz pressione UTPF A função FNNX e o programa FNNA são criados da mesma maneira que NMVX e NMVA. Criando a variável FNNX Nível 1: « -» NI N2 X « NI N2 X UTPF » » Digite: FNNX e pressione STO Criação do programa FNNA Nível 1: « -► N\ N2 A « ' FNNX (Nl,N2, X) = A' ' X ' 10 ROOT » » Digite: FNNA e pressione STO A2.5 Menu Personalizado Se você quiser poderá criar um menu personalizado que contenha as variáveis que você mais vai usar. Esse menu será armazenado na variável CST. Para chamar esse menu perso¬ nalizado, é só pressionar a tecla CST. Vamos, então, à criação do menu personalizado, contendo as variáveis que acabamos de criar. Pode-se criar um menu personalizado em cada diretório que você abrir. Criando um menu personalizado „ T , . „ {NMVX NMVA C2NX C2NA Nível 1: TNX TNA FNNX FNNA} Digite CST e pressione STO 386 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Pronto. Está criado o menu personalizado. Para chamá-lo, é só pressionar a tecla CST. (ATENÇÃO. As chaves { } são a função roxa da tecla +. Achou?) Se você estiver no SOLVE EQUATION, para chamá-lo proceda do mesmo modo como para chamar o menu VAR: leve a barra de destaque para o campo de EQ, entre com ' ' e, em seguida, pressione a tecla CST. Para ampliar o menu personalizado ou suprimir alguma variável, proceda assim: pressi¬ one MEMORY (função verde da tecla VAR), leve a barra de destaque para cima da variᬠvel CST, pressione EDIT no menu do aplicativo (tecla branca da letra A), pressione nova¬ mente EDIT (no menu), inclua a nova variável (sempre com espaço entre as variáveis) ou exclua a variável que não mais interessa, e para confirmar as alterações pressione ENTER três vezes. Pronto, você está de volta ao ambiente HOME, com as inclusões ou exclusões realizadas. A2.6 Resolvendo Sistema Linear no Solve System A solução de um sistema linear calculada no aplicativo SOLVE SYSTEM é uma solu¬ ção LSQ. Se houver mais de uma solução, o aplicativo fornecerá apenas a de menor norma. Como sabemos, se o sistema admitir solução no sentido habitual, a solução LSQ será a solução do sistema. Para entrar no aplicativo SOLVE SYSTEM, pressione SOLVE (função verde da tecla 7) e, na caixa de diálogo que se abre, escolha a quarta opção, que é Solve linear System. No campo da variável A, devemos entrar com a matriz dos coeficientes das variáveis. No campo da variável B, devemos entrar com a matriz dos termos independentes. EXEMPLO 1. Resolva o sistema 2x + 3y = 5 x + 2y = 3. Solução Aqui a matriz A dos coeficientes e a matriz B dos termos independentes são Como o determinante A = r 2 3 1 2 e B = 5 3 2 1 3 2 = 1 segue que o sistema é compatível, no sentido habitual, e admite uma única solução. Vamos então à determinação da solução. Para entrar com a matriz A, proceda assim: leve a barra de destaque para o campo da variável A, pressione EDIT no menu do aplicativo (retângulo correspondente à tecla branca da letra A) para abrir o “escrevedor de matrizes”. Digite a matriz e, em seguida, pressione ENTER para mandar a matriz para o campo da variável A. Agora, leve a barra de destaque para o campo da variável B, pressione EDIT, digite a matriz dos termos independentes e pressione ENTER para mandá-la para o campo de B. Leve a Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 387 barra de destaque para o campo de X e pressione SOLVE (último retângulo da direita e correspondente à tecla branca da letra F) para obter a solução X : [ [1] [1] ], ou seja, x = 1 ey = 1. Conclusão: A solução, no sentido habitual, do sistema éjc = ley = 1. ■ Observação AT: [ [1][1]] = j EXEMPLO 2. Resolva o sistema linear í x + y = 2 \2x-y = l [2x + y = 4. Solução Observe que x = 1 e y = 1 é solução do sistema formado pelas duas primeiras equações, mas não da terceira. Logo, o sistema não admite solução no sentido habitual, mas admite uma única solução LSQ, pois, 1 2 ■ r e V 2 = -1 1 2 são linearmente independentes. Aqui a matriz A dos coeficientes das variáveis e a matriz B dos termos independentes são dadas por 1 1 2 ' A = 2 -1 e B = 1 2 1 4 Procedendo como no exemplo anterior, obtemos a solução LSQ : x = — e y = —. ■ 26 26 (ATENÇÃO. O resultado apresentado pela calculadora foi [ [1,19230769231] [1,26923076923]]. Logo a seguir mostraremos qual a mágica para transformar esses números emx= — e 33 388 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Observação. O sistema SA associado ao sistema anterior é e, portanto. Vl X + V2 • V] V2 X + V2 • V2 Vl v 2 SA : (9x + y = 12 + 3y = 5 cuja solução éx = — e >’ = —. (Não é esta a mágica, até que poderia ser! A mágica será 26 26 mostrada a seguir.) Qual a mágica que transforma [ [1,19230769231] [1,26923076923] ] emr = — e y = — ? Quando se resolve um sistema no SOLVE SYSTEM, a solução 26 26 encontrada é automaticamente enviada para o nível 1, lá no ambiente HOME. Então, pres¬ sionando ON para voltar para o HOME, no nível 1, você encontrará a solução: Nível 1: Soluções: [ [1,19230769231] [1,26923076923] ] Bem. Para realizar a mágica, primeiro teremos que desfazer a matriz anterior, sem mexer nos números, OK !!! Para desfazer a matriz, proceda da seguinte maneira: pressione EDIT (função roxa da tecla +/—). Em seguida, apague Soluções: e todos os colchetes (sem mexer nos números) de modo que fiquem apenas os números, e pressione ENTER. Após essas operações, a situação na pilha deverá ser a seguinte: Nível 2: 1,19230769231 Nível 1: 1,26923076923 Agora é que vem a mágica. Para realizar a mágica, pressione: *] (shift roxo) 9 NXT —> Q (no menu do aplicativo) para obter 33/26. Conseguiu? Legal! Anote esse número. Em seguida, pressione a função roxa DROP (na tecla ao lado de DEL) para deletar apenas o conteúdo do nível 1 . Com essa operação, o conteúdo do nível 2 desce para o nível 1. Agora, é só pressionar novamente —» Q (no menu do aplicativo) para obter 31/26. A mágica acaba de ser realizada!!! Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 389 A2.7 Resolvendo Sistema Linear no Ambiente Home. As Funções LSQ , RREF e COL+ Na seção anterior, aprendemos a resolver sistemas lineares no aplicativo SOLVE SYS¬ TEM. Agora, vamos aprender a resolver tais sistemas no próprio ambiente HOME. A vari¬ ável LSQ é que nos possibilitará tal façanha: LSQ é uma variável reservada da calculadora, e, quando ativada, resolve sistema linear no sentido LSQ, ou seja, a solução que ela nos fornece é uma solução LSQ. Para acessar a variável LSQ, digite: MTH MATR (no menu do aplicativo, tecla branca da letra B). Pronto, LSQ é a variável que ocupa o último retângulo da direita do menu do aplicativo e será ativada pela tecla branca da letra F. Para entrar com uma matriz no ambiente HOME, é só pressionar MATRIX (função verde da tecla ENTER) para abrir o “escrevedor de matrizes”. Digitada a matriz, pressione ENTER para mandá-la para o ambiente HOME. Para resolver um sistema linear no ambiente HOME, primeiro entramos com a matriz B dos termos independentes e, em seguida, com a matriz A dos coeficientes das variáveis. Resolvendo sistema linear no ambiente HOME Primeiro entre com a matriz B dos termos independentes; em seguida, com a matriz A dos coeficientes das variáveis. Para resolver o sistema. pressione LSQ (no menu) ou digite LSQ e pressione ENTER EXEMPLO 1. Resolva o sistema linear 4x + 3y = 5 x + 2y = 8. Solução Aqui A = '4 1 3 2 e B = '5 8 Como o determinante da matriz A é diferente de zero (detA = 5), o sistema admite solução única e no sentido habitual. Para determinar a solução, entre no “escrevedor de matrizes” e digite a matriz B. Após digitada, pressione ENTER para mandá-la para o ambiente HOME. 390 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Em seguida, repita o processo com a matriz A. Estando a matriz A no nível 1 e a B no nível 2, pressione LSQ para obter a solução [ [—2,8] [ 5,4] ], ou seja, x = — 2, 8 ey = 5, 4. (ATEN¬ ÇÃO: Se você não mexeu na matriz [ [ — 2,8] [5,4] ] e quiser passar a solução para a forma de fração ordinária, proceda como no final da seção anterior, para obter x= — 14/5 ey = 27/5.) Como prever antecipadamente se um sistema linear admite solução única, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ? Como prever antecipadamente se um sistema linear admite infinitas soluções, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ ? Pois bem, a variável RREF, que é uma variável reservada da calculadora, nos possibilitará decidir ante¬ cipadamente se o sistema admite solução única ou não, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ. O que faz a variável RREF ? Quando ativada, essa variável realiza o escalonamento de Gauss da matriz que se encontra no nível 1. Dado um sistema linear, chamamos de matriz completa desse sistema a matriz obtida, acrescentando à matriz dos coeficientes das variáveis, como última coluna, a matriz dos termos independentes. Por exemplo, a matriz completa M do sistema é M = '3 1 2 1 6 -1 5 3 2 í 3x + y = 6 x~y = 5 [2x + 3y = 2 Sendo M a matriz completa de um sistema linear, chamaremos de matriz escalonada de M a matriz obtida com a aplicação da função RREF. A matriz escalonada da matriz comple¬ ta M será indicada por ME. Solução de sistema linear Consideremos um sistema linear com p incógnitas e n equações. 1. Se a matriz escalonada tiver p + 1 colunas e for da forma ME = 10 0. 0 10.. O O ou da forma ME = O —' o o o b b 0 0 0. .. 1 d n 0 0 0...1dp P 000...00 então (dj, d 2 , ■■■, d p ) será a única solução, no sentido habitual, do sistema. 2. Se a matriz escalonada tiver p + 1 colunas e for da forma 10 0.. . 0 0- 0 10.. .00 ou ME = 0 0 0. .. 1 0 0 0 0. .. 0 1 10 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0 ME = Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 391 o sistema não admitirá solução no sentido habitual, mas admitirá uma única solu¬ ção LSQ. 3. Se ME não for de nenhum dos tipos anteriores e se ME não possuir linha do tipo [0 0 0 ... 0 1], então o sistema admitirá infinitas soluções no sentido habi¬ tual. 4. Se ME não for de nenhum dos tipos 1 e 2 e se ME possuir uma linha da forma [0 0 0 ... 0 1 ], então o sistema não admitirá solução no sentido habitual, mas admitirá infinitas soluções no sentido LSQ. Tudo o que está no quadro anterior, prova-se em álgebra linear. Se você já estudou álge¬ bra linear, sugerimos provar o que acabamos de afirmar. Acho que a essa altura você já deve estar fazendo a pergunta: e onde está essa variável RREF1 Para encontrar RREF, digite: MTH MATR (no menu) FACTR (no menu) Acho, ainda, que você deve estar falando com os seus botões: e eu vou ter que guardar tudo isso na cabeça? Não. O que você precisa é guardar pelo menos os nomes das variáveis. Se você souber o nome da variável, para ativá-la é só digitá-la e pressionar ENTER. Por exemplo, se quisermos escalonar uma matriz, é só entrar com a matriz, digitar RREF e pres¬ sionar ENTER. Como ativar uma variável da calculadora Digite o nome da variável e pressione ENTER ou localize o menu que a contém e pressione a tecla branca correspondente ao retângulo onde está a variável. Outro modo bem mais prático para se ativar uma variável da calculadora ou uma que você tenha criado é incluí-la no menu personalizado. Incluindo variáveis no menu personalizado Abra o arquivo MEMORY, leve a barra de destaque para cima da variável CST, pressi¬ one EDIT (no menu), pressione novamente EDIT (no menu), digite as variáveis que você deseja incluir, lembrando que entre as variáveis deve haver um espaço; pressio¬ ne ENTER três vezes para confirmar as inclusões e retomar ao ambiente HOME. LEMBRE-SE: para chamar o MENU PERSONALIZADO, é só pressionar a tecla CST Para resolver um sistema linear, precisamos obrigatoriamente entrar com a matriz B dos termos independentes e com a matriz A dos coeficientes das variáveis. Agora, se quisermos antecipar como são as soluções do sistema, precisaremos, também, da matriz completa M. Só que não será necessário digitar toda a matriz M: a matriz M poderá ser criada a partir das matrizes At B. Vejamos como realizar essa proeza. Primeiro, para que não aconteça nenhum desastre, vamos colocar na memória as matrizes At B. 392 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Colocando na memória as matrizes AeB Digite no “escrevedor de matrizes” a matriz dos termos independentes e pressione ENTER para mandá-la para o nível 1 da pilha. Em seguida, digite: ' B 'STO (ou B STO se você tiver certeza de que a variável B não consta da memória) Proceda de modo análogo com a matriz dos coeficientes das variáveis, trocando, evi¬ dentemente, o B por A. ATENÇÃO. Quando uma variável, digamos X, já está na memória com um determinado conteúdo e queremos utilizá-la para armazenar um outro conteúdo, é só entrar no nível 1 com o novo conteúdo e digitar: ' X' STO que a substituição será automática. Se a variável X não consta da memória, para arma¬ zenar um conteúdo nela é só entrar com o conteúdo no nível 1 e digitar: X STO Como fazer para colocar na pilha o conteúdo de uma variável que não armazena pro¬ grama? Colocando na pilha o conteúdo de uma variável que não armazena programa Digite o nome da variável e pressione ENTER. Ou, pressione a tecla VAR (para abrir o menu das variáveis) e pressione a variável desejada. Como fazer para criar a matriz M a partir das matrizes A e BI Vamos supor que as ma¬ trizes já estão armazenadas nas variáveis A eB. Como dissemos acima, para entrar com a matriz A na pilha é só digitar A e pressionar ENTER; da mesma forma para a matriz B. Criando a matriz M a partir de A e B Entre na pilha com as matrizes AeB, nessa ordem, e, em seguida, entre com o núme¬ ro da última coluna da matriz M (que é o número de colunas da A mais 1) de modo que a matriz A estará no nível 3, a B, no nível 2, e o número da última coluna de M, no nível 1. Agora, digite: MTH MATR (no menu) COL (no menu) COL+ (no menu). ATENÇÃO. Inclua COL + no menu personalizado (não pode haver espaço entre COL e +). Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 393 EXEMPLO 2. Resolva o sistema linear ' 2* + 3y — z = 8 x + y-z = 4 2x- y+ 4z = -l 5x + 3y+2z = U- Solução Aqui, ■2 3 -1 ■ 8 ■2 3 -1 8 1 1 -1 4 1 1 -1 4 A = 2 -1 4 ’ B = -1 &M = 2 -1 4 -1 5 3 2 11 5 3 2 11 Procedendo como dissemos anteriormente, digite a matriz B e armazene-a na variável B. Digite a matriz A e armazene-a na variável A. Para criar a matriz M, digite A e pressione ENTER para entrar com a matriz A na pilha; em seguida, digite B e pressione ENTER para entrar com a matriz B na pilha. Para criar a matriz M, digite: 4 ENTER COL+ (no menu ou no menu personalizado). Se tudo correu “dentro dos conformes”, a matriz M deve ter aparecido no nível 1 da pilha. Apareceu? Se apareceu (se não apareceu reveja anteriormente qual o procedimento correto) a matriz M, podemos determinar a matriz escalonada ME. Para criar ME, digite: RREF ENTER para obter a matriz escalonada, ME = 1 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 -1 0 0 0 Assim, ME é do tipo 1 acima. Logo, o sistema é compatível e determinado, sendo x = 2, y = 1 e z = — 1 a sua única solução, no sentido habitual. ■ EXEMPLO 3. Resolva o sistema 2x + 3y — z = 8 x + y~ z = 4 2jc - y + 4z = ~ 1 5x + 3y + 2z = 10. 394 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução Aqui '2 3 -1 ' 8 '2 3 -1 8' 1 1 -1 B = 4 e M = 1 1 -1 4 2 -1 4 ’ -1 2 -1 4 -1 5 3 2 10 5 3 2 10 A matriz A é a do exemplo anterior. A matriz B difere da matriz do exemplo anterior apenas na última linha; se você não apagou a matriz B do exemplo anterior, podemos substituir o 11 pelo 10, e para isso, digite: MEMORY (função verde da tecla VAR) Agora, leve a barra de destaque para cima da variável B, pressione EDIT (no menu), pres¬ sione novamente EDIT (no menu), leve o cursor para cima do 11, pressione DEL, digite 10 e pressione ENTER três vezes. Pronto, a matriz B já foi alterada. Como no exemplo ante¬ rior não armazenamos a matriz M, será preciso criá-la, e, para isso, proceda como no exem¬ plo anterior. Estando a matriz M no nível 1, digite: RREF e pressione ENTER para obter a matriz ME = T 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 - 0 0 1 que é do tipo 2 anterior. Assim, o sistema não admite solução no sentido habitual, mas ad¬ mite uma única solução LSQ. Para determinar essa única solução, entre com as matrizes B e A, nessa ordem, e digite: LSQ ENTER ou pressione LSQ no menu personalizado para obter [ [1,7222...] [1,13888...] [—0,8888...] ] e, portanto, x = 1,7222..jy = 1,13888... ez = —0,8888... . Convertendo para fração ordinária, obtemos: x = 31/18, y = 41/36 e z = — 8/9 que é a única solução LSQ do sistema. ■ Na próxima seção, vamos criar um programa que nos permitirá construir rapidamente uma matriz. Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 395 A2.8 Programa para Construir Matriz: A Variável MATR O objetivo desta seção é criar um programa que nos permitirá construir rapidamente uma matriz. Esse programa será armazenado na variável MATR. Para criar uma matriz a partir de seus elementos, vamos precisar da função —» ARRY. Para localizar essa função, digite: PRG TYPE (no menu) Para informar à calculadora qual o número de linhas ( L ) e qual o número de colunas (C), precisaremos entrar com a lista {L C}, onde { } é a função roxa na tecla + . Já es¬ tamos em condições de construir uma matriz sem precisar entrar no “escrevedor de matrizes”. EXEMPLO 1. Entre com a matriz '5 3 4 2 2 1 4 0 2 5 9 7 Solução Primeiro precisamos entrar com os elementos da matriz que devem ser digitados na se¬ guinte ordem: primeira linha, segunda linha etc. Para entrar com a primeira linha, digite: 5 ENTER 3 ENTER 4 ENTER Com a segunda linha, digite: 2 ENTER 2 ENTER 1 ENTER e assim por diante, até entrar com todas as linhas. OK? Agora, precisamos informar à calculadora que a nossa matriz tem 4 linhas e 3 colunas. Para isso, digite a lista {4 3} e pressione ENTER para mandá-la para o nível 1. Agora, digite: PRG TYPE (no menu) —* ARRY (no menu) Pronto: a sua matriz está montada. Seguindo os passos do Exemplo 1, vamos construir um programa que facilitará mais ainda as coisas. 396 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Programa para criar matriz Nível 1: « ' C ' STO ' L ' STO {L C} —» ARRY » Digite: MATR STO ATENÇÃO. Para entrar com —* ARRY no programa não é necessário digitá-la, basta pressioná-la no menu. Também, não é necessário digitar STO, basta pressionar ateclaSTO. Inclua a variável MATR em seu menu personalizado. No próximo exemplo, mostramos como usar o programa que acabamos de criar. ■ EXEMPLO 2. Utilize a variável MATR para entrar com a matriz do Exemplo 1. Solução Primeiro, vamos entrar com as linhas como fizemos no Exemplo 1: 5 ENTER 3 ENTER 4 ENTER 2 ENTER 2 ENTER 1 ENTER 4 ENTER 0 ENTER 2 ENTER 5 ENTER 9 ENTER 7 ENTER Agora, precisamos entrar com o número de linhas e com o número de colunas. Então, digite: 4 ENTER 3 ENTER Para construir a matriz, digite: MATR ENTER ou, simplesmente, pressione MATR no menu personalizado. Gostou? ■ A2.9 Utilizando o Aplicativo Fit Data para Ajuste de Curva pelo Método dos Mínimos Quadrados. As Funções Predx e Predy Para entrar no aplicativo FIT DATA, pressione ST AT (função verde da tecla 5); na cai¬ xa que se abre, escolha a 3. a opção, que é Fit data. .. e pressione ENTER. Nesse aplicativo, você poderá, pelo método dos mínimos quadrados, ajustar aos pontos {x { ,y x ),{x 2 ,y 2 \ y„) Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 397 uma reta, y = mx + q, uma exponencial, y = qe ,nx . uma logarítmica, y = q + m ln x, ou uma potência, y = q x m . Digamos que o diagrama de dispersão dos pontos tenha o jeito do gráfico de uma função exponencial, então, em vez de ajustarmos uma reta, ajustaremos uma exponencial da forma y = qe ,nx . Aplicando ln aos dois membros de y = qe"*, obtemos ln y = ln q + mx. Fa¬ zendo, então, Y = ln y e Q = ln q, teremos a reta Y = Q + mx. O que a calculadora faz, sem a gente ver, é exatamente o seguinte: ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, uma reta Y = Q + mx aos pontos (* 1 > lnxj), (x 2 , ln x 2 ), ..., (x n , \nx n ) calcula o coeficiente de correlação desses pontos e toma q = e®. O raciocínio para os outros tipos de ajuste é análogo. Você pode, também, solicitar à calculadora que ela retome, entre as quatro curvas aci¬ ma, à que melhor se ajusta (Best fit) aos pontos. Nesse caso, ela retomará a curva cujo R 2 estiver mais próximo de 1. (Lembre-se de que R 2 é o quadrado do coeficiente de correla¬ ção.) Para escolher qual o tipo de ajuste que você quer, leve a barra de destaque para o campo de MODEL e, pressionando a tecla +/—, escolha a sua opção. É no campo da variável SZMT que devemos entrar com a matriz dos pontos dados. Para entrar com a matriz, leve a barra de destaque para o campo da variável SZMT e pressione EDIT no menu do aplicativo (tecla branca da letra A) para abrir o “escrevedor de matrizes”; digitada a matriz, pressione ENTER para mandá-la para o campo da variável £ZM7\ Tendo entrado com a matriz e escolhido o tipo de ajuste, pressione OK (no menu do aplicativo, tecla branca da letra F) ou simplesmente pressione ENTER. Automaticamente, volta-se para o ambiente HOME, e na pilha, no nível 3, estará a curva ajustada, no nível 2 a correlação, e no nível 1, a covariância. Para ler os dados que aparecem nos vários níveis, pressione a tecla que move o cursor para cima (A) e leve o triângulo preto que aparece na frente do nível 1 dapilhapara o nível que você deseja ler; em seguida, pressione EDIT (fun¬ ção roxa da tecla +/— ). Após ter lido todos os dados, pressione ON para retirar do visor o tal triângulo preto. Digamos que você queira ver o diagrama de dispersão e o gráfico da curva ajustada. Para isso digite: *1 (shift roxo) 5 No menu que se abre, pressione PLOT (tecla branca da letra D) e, no novo menu, pressione SCATR (tecla branca da letra C). No visor aparecerá o diagrama de dispersão. Para fazer aparecer o gráfico da curva ajustada, pressione STATL (tecla branca da letra D). (Observa¬ ção: SCATR = SCATTER = DISPERSÃO; PLOT = PLOTAR = ESBOÇAR.) Pressio- nando-se ON, volta-se para HOME. Suponhamos, agora, que você queira, na curva estimada, determinar y para um dado valor de x. Para isso digite: *1 (shift roxo) 5 FIT (no menu). Agora, entre com o valor de x e pressione PREDY. Se você quiser o valor de x para um dado valor de y, entre com o valor de y e pressione PREDX. 398 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Para finalizar a seção, vamos mostrar um outro modo de entrar com a matriz no campo de 2ZM7’. Então, para entrar com a matriz dos pontos (x ( -, y),i = 1,2no campo da variável 2ZM7\ proceda da seguinte maneira: estando em HOME, entre com a matriz utili¬ zando a variável MATR. Em seguida, digite ' 1DAT' STO Desse modo, armazenamos a matriz na variável 5.DAT, e, então, ela estará no campo da variável IDAT quando entrarmos no aplicativo FIT DATA. ATENÇÃO: Se a variável 2/M7’ estiver no menu de V AR, não será necessário digitar J.DAT: basta entrar com os dois tracinhos e pressionar 2.DAT no menu das variáveis. (ATENÇÃO: Para digitar 2ZM7’, pres¬ sione 2 (função verde da tecla TAN), apague os parênteses que aparecem na frente de 2 e digite, sem espaço e com letras maiusculas, DAT) A2.10 Ajuste Linear com Duas ou Mais Variáveis Independentes. Ajuste Polinomial EXEMPLO 1. Ajuste, pelo método dos mínimos quadrados, uma função linear z = ax+ by + c aos dados da tabela X y z 1 3 2 4 5 8 3 2 4 5 3 6 7 2 8 Solução O sistema linear associado ao problema é S : a + 3b + c = 2 4a + 5y + c = 8 3a + 2b + c = 4 5a + 3b + c = 6 la + 2y + c = 8 Aqui 1 3 1 T 4 5 1 8 3 2 1 e B = 4 5 3 1 6 7 2 1 8 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 399 Procedendo como na Seção A2.7, obtêm-se: a = 30 -278 — e c = - 29 145 que é a única solução LSQ do sistema. Conclusão: 32 30 278 — x + — v — - 29 29 145 é a função linear que melhor se ajusta aos dados da tabela pelo método dos mínimos qua¬ drados. ■ (Observação. O sistema auxiliar SA associado ao sistema S anterior é: onde SA : a V] • vi + bv 2 ■ V[ + c V3 • V] = b • vj a vi • V2 + í> V2 • V2 + c V3 • V2 = b • V2 a vi • V3 + b V2 • V3 + c V3 ■ V3 = b • V3 T 3 T ■2 4 5 1 8 3 2 » .. 1 —* 4 Vi = 5 v 2 = 3 v 3 = 1 e b = 6 7 2 1 8 A título de exercício, verifique que a solução do sistema SA é de fato 32 , 30 a = —, b = — 29 29 e c = -278 145 ATENÇÃO. Para calcular os produtos escalares v, • v ,• e b • v, utilize a função DOT, e, para acessá-la, digite: MTH VECTR (no menu). Por exemplo, para calcular b ■ v\, entre com b , com vj, e pressione DOT. EXEMPLO 2. Ajuste, pelo método dos mínimos quadrados, a função polinomial de grau dois, y = ax + bx + c, aos dados da tabela X 1 3 4 7 8 10 y 8 2 5 10 16 25 400 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Solução O sistema linear associado ao problema é a + b + c = 8 9a + 3b + c = 2 „ 16a + 4b + c = 5 ò 1 49a + lb + c = 10 64a + 8 b +c = 16 100a + \Qb + c = 25 que admite a única solução, aproximada, LSQ a = 0,50933, b = -3,53305 e c = 10,143511. Conclusão: y = 0,50933 x 2 — 3,53305 x + 10,143511 é a função polinomial de grau dois que melhor se ajusta aos dados da tabela. ■ A2.ll A Função RS D. Distância de Ponto a Plano. Distância de Ponto a Reta A função RSD ( RSD = RESÍDUO) é uma outra importante função da HP-48G. Para acessá-la, digite: MTH MATR (no menu) NXT O que faz a função RSD ? Consideremos o sistema S: '«11*1 + aj2*2 + ... + a\px p = bx «21*1 + «22*2 + ... + a 2p Xp = t>2 ««1*1 "f" ««2*2 3" 3" «np*p bp e seja (x 10 , x 2 q, ..., x^j) uma solução LSQ de S. Pois bem, a função RSD, quando ativada, irá nos fornecer o vetor E \} E\ - b\ - (ai^o + ai2*20 3-.. • ^1 pXp0 ) E = Ei onde < Ei = t>2 - («21*10 3- «22*20 3- . .. + a 2 pX p o) En En — b n (««1*10 3" ««2*20 3" ■ .. + dnpXpÇ)) que em notação matricial se escreve: 'El] b \' «11 «12 -..«1 p *10 E = Ei = h. - «21 «22 • - -« 2 p *20 En bn «nl ««2 • • ■ a np * p0 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 401 Se £| = E 2 = ... = E n = 0, então (jc 10 , x 2 o • • • > x po) sef á uma solução no sentido habitual. O comprimento II E II do vetor E é exatamente a distância do ponto P ao ponto B, onde «11*10 + «12*20 + ■ ■ a \p x pQ rv p = «21*10 + «22*20 + ■ ■ a 2p x p0 e B = ««1*10 + ««2*20 + • ■■ a np x p0 [y Na HP-48G, a função que calcula o comprimento de um vetor é a função ABS (ABS = ABSOLUTO): II E II = ABS (E) Para acessar a função ABS, digite: MTH REAL (no menu) NXT O problema agora é como proceder para calcular E. Cálculo do vetor E e de ABS (£) Sejam A a matriz dos coeficientes das variáveis e B a matriz dos termos independen¬ tes. Armazene na variável X a solução encontrada. Agora, entre com as matrizes Para calcular E, digite: ou ainda B A X (nessa ordem) RS D ENTER pressione RS D no menu X — (vezes menos) Para calcular o comprimento de E digite: ABS ENTER pressione ABS no menu. 'x + 2y = 4 s--r+ y= A 5 x + y = 4 x - y = 2. EXEMPLO. Considere o sistema 402 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 a) O sistema admite solução no sentido habitual? Discuta o sistema com relação ao nú¬ mero de soluções. b) Resolva o sistema. c) Dos pontos (x + 2y, 2x — y, x + y, x — y), x e y reais, qual está mais próximo de (4, 5, 4, 2)? d) Qual a menor distância do ponto (4,5,4,2) aos pontos (x + 2y,2x — y,x + y,x — y), x e y reais? e) Faça “manualmente” o escalonamento de Gauss do sistema. Solução Aqui 1 2 ■4’ A = 2 1 -1 1 e B = 5 4 1 -1 2 a) Entre com a matriz A e armazene-a na variável A; entre com a Be armazene-a na variᬠvel B. Crie a matriz M e determine a matriz escalonada ME de M: M = 1 2 1 1 2 4‘ -1 5 1 4 -1 2 e ME = 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Segue que o sistema não admite solução no sentido habitual. Admite uma única solução no sentido LSQ. b) Entre com a matriz B , entre com a matriz A, pressione LSQ (no menu) ou digite LSQ e pressione ENTER para obter a solução [ [2,857142...] [0,714285...] ]. Armazene-a na variável X, ou seja, digite: ' X 'STO Agora, entre novamente com a solução na pilha (digite X e pressione ENTER) e passe- a para a forma de fração ordinária para obter x = .5 7' c) É só fazer x = 5 7 em (x + 2y, 2x - y, x + y, x - ;y). Assim, p= ( 30 35 25 \ 1 ' 7 ’ 7 ’ 7 ) é o ponto mais próximo de B = (4, 5, 4, 2). Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 403 (Observação. O ponto P poderia, também, ter sido obtido da seguinte maneira: entre com a matriz A , entre com a matriz X e pressione a tecla X, ou seja, obtém-se P multiplicando- se a matriz A pela X.) d) Primeiro, precisamos determinar o vetor coluna E. (Lembre-se de que B — AX = B — P = E, onde X, P cB estão sendo olhados como vetores colunas.) Para determinar E, digite: B ENTER A ENTER X ENTER RS D ENTER para obter •-0,285714...' ■-2/7' 0 _ 0 0,428571... 3/7 -0,142857... -1/7 Para calcular o comprimento de E, digite: ABS ENTER para obter II E II ~ 0,53452. (Observe: II E II Vl4 7 • ) e) Multiplicando-se a primeira equação do sistema S por —2 e somando-se com a 2. a ; multiplicando-se a 1.‘ equação por — 1 e somando-se com a 3. a ; multiplicando-se a l. a equação por — 1 e somando com a 4. a , e, em seguida, permutando-se as posições das 2. a e 3. a equações, resulta: 'x + 2y = 4 2x-y = 5 x + y = 4 •*> x - y = 2. x + 2y = 4 -5y = -3 —y = 0 <=> -3y = -2 'x + 2y = 4 -y = o -5y = -3 -3y = -2 Multiplicando-se, agora, a 2. a equação (do 3. a sistema) por —5 e somando-se com a 3. a ; multiplicando-se a 2. a equação por —3 e somando-se com a 4. a , e, em seguida, dividin- do-se a 3. a por —3 e a 4. a por —2, resulta: x + 2y = 4 0 = -2 'x y 0 0 + 2y = 4 = 0 = 1 = 1 Multiplicando-se a última equação por — 1 e somando-se com a 3.\ multiplicando-se a última por —4 e somando-se com a 1 , a , resulta: 404 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 'x + 2y = 0 y = 0 0 = 0 0 = 1 Multiplicando-se, agora, a 2. a equação por — 2 e somando-se com a 1 , a , obtém-se: S: x + 2y = 4 2x - y = 5 x + y = 4 x - y = 2. x + 2y = 0 y=0 0=0 0 = 1 x = 0 y = l 0 = 1 Observe que a matriz M do último sistema é exatamente a matriz ME de 5. Para finalizar a Seção, deixamos para você a seguinte tarefa: dados um plano (uma reta) em forma paramétrica e um ponto B fora do plano (da reta), estabeleça um processo para determinar o ponto P do plano (da reta) que se encontra mais próximo defiea distância entre Be o plano (reta). A2.12 Cálculo do Coeficiente de Determinação R 2 Suponhamos que z = ax+by + c seja o plano que melhor se ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, aos pontos y t , Zj ), i = 1, 2,.... n. Então (a, b,c) é a solução LSQ do sistema S: ' x\a + y\b + c = z\ x 2 a + > 2 ^ + C = Z 2 X n a + y n b + c= z n Aqui o vetor E é dado por: E = E { = z\ - {x\a + y\b + c) = Ei = Z 2 - (*2 a + yib + c) = E n = Z„- ( x n b + y n b + c) = z l - Z\ Z2 - Z2 Zn ~ Z n R 2 = ^ (Zi - z) 2 1 = 1 _ 2 (Zi - z) 2 i = 1 Sabemos que R 2 é dado por: Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 405 Sabemos, ainda, que ^ (Zi “ z ) 2 = ^ (Zi -z) 2 + ^ (Zi - Zi) 2 - i = 1 1 = 1 i = 1 Segue que R 2 poderá ser colocado na seguinte forma Temos, também, ^ (zi - Zi) 2 = II £ll 2 e ^ ( zí - z) 2 = ^ zf ~ nz 2 = 1 flll 2 - nz 2 i = 1 i = l i = 1 onde B é a matriz coluna dos termos independentes do sistema S. Temos, então, a seguinte fórmula prática para o cálculo do coeficiente de determinação R 2 . ATENÇÃO. Para calcular a média z, proceda do seguinte modo: armazene a matriz B na variável 2,DAT e digite: Shift roxo 5 IV AR (no menu) ME AN (no menu) Ou, então, pressione ST AT (função verde da tecla 5), escolha a 1 . a opção que é Single-var... e pressione ENTER (ou OK no menu). Entre com a matriz B no campo de IDAT. Em se¬ guida, leve a barra de destaque para o campo da variável MEAN e pressione a tecla +/— para confirmar sua escolha (na frente de MEAN deverá aparecer u m vezinho). Confirmada a escolha, pressione ENTER. 406 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 A2.13 Programa que Retorna os Coeficientes do Ajuste e o R 2 O objetivo desta seção é criar um programa, que será armazenado na variável BA/V, que retoma os coeficientes do ajuste, bem como o coeficiente de determinação R 2 , a partir das matrizes B, Aedo número n de pontos dados, onde B é a matriz dos termos independentes e A a matriz dos coeficientes das variáveis do sistema S associado ao problema. Programa BAN Nível 1: «' N' STO ' A ' STO ' B ' STO B A LSQ ' X ' STO B AXRSD ABS 2 a ' Y ' STO BABS 2 a ' U ' STO B ' 2DAT ' STO MEAN 2 a N * ' V STO 1 Y U V - / - ' R2 ' TAG X ' X ' TAG » Agora, digite: ' BAN ' STO Inclua a variável BAN em seu menu personalizado. EXEMPLO 1. Considere a tabela X 3 5 6 9 10 11 y 7 5 3 4 2 3 Determine a reta dos mínimos quadrados dos pontos dados e o coeficiente de determinação. Solução Seja y = mx + q a reta procurada. O sistema associado ao problema é S: 3m + q = 7 5 m + q = 5 6 m + q = 3 9 m + q — 4 10m + q = 2 1 \m + q = 3 Aqui, o número de pontos é n = 6, ’3 1 5 1 5 6 1 e B = 3 9 1 4 10 1 2 11 1 3 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 407 Agora, entre com a matriz B, entre com a matriz A, com 6 e pressione BAN, no menu perso¬ nalizado, para obter R2: 0,6701858 X: [[—0,466216][7,418919]] Ou seja, y = -0,466216a: + 7,418919 e R 2 = 0,6701858. ( Sugestão : Resolva o problema no aplicativo FIT DATA.) ■ EXEMPLO 2. Considere a tabela X 2 3 4 7 2 8 5 y 3 2 6 3 2 5 8 z 7 5 7 6 5 7 10 Determine o plano z = ax + by + c dos mínimos quadrados, bem como o coeficiente de determinação R 2 . Solução O número de pontos én = 7, 2 3 1 T 3 2 1 5 4 6 1 7 7 3 1 e B = 6 2 2 1 5 8 5 1 7 5 8 1 10 Entre com B , entre com A e com 7 e, em seguida, pressione BAN para obter R 2 : 0,8490879 X: [[—6,34715025907E - 2] [0,71567357513] [4,03044041451 ]] Ou seja, z = -0,0634715025907jc + 0,71567357513^ + 4,03044041451 eR 2 = 0,8490879. ■ A2.14 Definindo Função na HP-48G Nesta seção, vamos aprender como definir uma função na HP-48G. Para definir uma função, vamos utilizar a função roxa DEF (DEF = DEFINE = DEFINIR) na tecla STO. Vejamos, então, como definir, por exemplo, a função y = x 2 + 3* + 5. 408 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 Definindo a função y = x + 3x + 5. Na linha de comando, utilizando letras maiusculas para facilitar, digite y(x) = x 2 + 3x + 5, em seguida, tecle ENTER; no nível 1 deveremos ter: Nível 1: ’Y(X) = X A 2 + 3*X+5' Agora, pressione DEF (shift roxo seguido da tecla STO). Pronto! A função já está definida. A variável Y já foi para a memória, isto é, já está ocu¬ pando um dos retângulos do menu das variáveis. Para visualizar a variável Y, pressione a tecla VAR e vá virando as páginas do menu até encontrar Y. Encontrou? Ótimo. No próxi¬ mo exemplo, veremos como calcular o valor de y dado x. Para visualizar o conteúdo da variável Y ou proceder a qualquer alteração, faça como explicado anteriormente. EXEMPLO 1. Sendo y = x +3x+5a função acima definida, calcule o valor de y para Solução Inicialmente, localize a variável Y no menu das variáveis. Então, para calcular o valor de y, digite o valor de x e pressione a tecla branca correspondente ao retângulo ocupado pela variável Y. Para jc = 1, y = ? Digite 1 e pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 9. Assim, para x = 1, teremos y = 9. Para x = — 2, y = ? Digite — 2 e, em seguida, pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 3. Assim, para x = —2, teremos y = 3. Para x = Digite: 4 ENTER 5 -h e, em seguida, pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 8,04. Assim, para x = —, teremos y = 8,04. 2 3 EXEMPLO 2. Defina a função z — x — 3y + 5xy e calcule z para os valores de jc e y dados. < 2 )jt=le;y = 2 b) x = — 5 e z = —6,2 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 409 Solução 2 3 Definindo a função z = x -3 y + 5 xy 2 3 Digite z(x, >’) = x —3 y + 5x>’ e, em seguida, pressione ENTER; no nível 1 devere¬ mos ter: Nível 1: ’Z(X,Y) = X A 2 - 3 * T A 3 + 5 * X * Y' Agora, pressione DEF (função roxa na tecla STO). Pronto. A função já está definida. Agora, localize a variável Z no menu das variáveis. Lembre-se: para abrir o menu das variáveis, é só pressionar a tecla VAR e procurar Z, usando NXT se precisar virar a página do menu. Localizou Z? Ótimo. a) Para calcular z, é preciso entrar com os valores de x e y, nessa ordem. Digite: 1 ENTER 2 e pressione a variável Z no menu das variáveis, para obter —13, que é o valor de z = —13. b) Digite: — 5 ENTER —6,2 e pressione a variável Zpara obter — 844,984, que é o valor de z, ou seja, z = —844,984. ■ A2.15 Ajuste de Curva, pelo Método dos Mínimos Quadrados, no EXCEL 97 Consideremos os pontos ( x k , y k ), k = 1,2,..., n. No EXCEL, podemos obter o ajuste linear, polinomial (até o grau 6), exponencial, logarítmico ou por uma potência. Os próxi¬ mos exemplos mostram como obter tais ajustes. EXEMPLO. Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos pontos dados. X 2 4 5 6 6,5 7 7,5 8 10 y o 5 6,5 8 7 9 10 12 13 Solução Nas células Al a A9, vamos entrar com os valores de x\ nas células B1 a B9 com os valores de y. Após entrar com estes valores, marcamos a matriz A1: B9. Em seguida, clicamos no ícone Assistente de gráfico, para abrir o aplicativo Assistente de gráfico. 410 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 |X Microsoft Excel - Figura 1 fã- ü Hf H ã ; --i ■ ^ | _ ; J 'f •; Assistente de gráfico - etapa 1 de 4 • tip...B Tipos padrão | Toos Derscnaàzados | Tipo de gráfico: . B^jColunas^ ^ ítea Rosca ! I Radar jj Superfície ] •; telhas |1Í 4 5“ S IW jw .1 mm ma ÇJ.ÍM e^.cu%jiu W±\ tpncfcjr |M 4 ►_! ►! \Planl Desenhar * (D AutuFormas » \ \ □ O O Pronto Ji Iniciar Xl.| KyM|[ãw »p| V J K L J UmmmÊM M - = -S»É I f3ÕívT=L*.5 I Rum a # ^ Neste Assistente de gráfico, escolhemos a opção Dispersão (XY) e, como Subtipo de gráfico, escolhemos a primeira opção, que é o diagrama de dispersão. Clicando em Con¬ cluir, obtemos o diagrama de dispersão. Ix Microsoft Excel - Figura 2 K _2 Anui vo Editar Exibir inserir Formatar Ferramentes Gráfico Janela Ajuda □ Hf H ã Q ? í HJ B ' ■ * <(r ' Tipo de gráfico... A.iai * lo - m / £ --lis Qados de origem Aieadc giafuc -■[ c __ Opções de gráfico — 5 5 ? ' ? — Local i2o m i i ~ ^ 4 5 Adiciona* dados . 3 5 6,5 Tipo de gráfico Qados de origem Opções de gráfico L0C3I Adiciona* dados Adiciona* linha de tendência ■fi» icçâòê-© ■ i [H « ► ►! \Planl / Pán2 / Plat3 / j__Desenhar - &j Aut^Formas - ■■ xDOl4 Pronto jfilniciar ^[J ®^[iSÍV^p) VÔÍuOida Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 411 A seguir, selecione o gráfico; na barra de ferramentas, clique em Gráfico e escolha a op¬ ção Adicionar linha de tendência. (ATENÇÃO. O menu Gráfico só aparecerá após selecio¬ nar o gráfico. Se ao lado do menu Ferramentas aparecer a palavra Dados, é porque você não selecionou o gráfico. Para selecionar a região do gráfico, é só dar um clique logo abaixo do retângulo que envolve a palavra Seqüência 1. Para desmarcar, é só clicar fora do retângulo que contém a região do gráfico.) Clicando, então, na opção Adicionar linha de tendência, aparecerá a caixa de diálogo Adicionar linha de tendência, que oferece as várias opções de ajuste. Como o nosso caso é o ajuste linear, clique no quadrado Linear. (Se o ajuste for polinomial, até o grau 6, marque o quadrado polinomial e escolha o grau na caixa ao lado.) Na caixa acima, clique em opções e marque as opções: exibir equação no gráfico e exibir valor do R-quadrado no gráfico. Clique OK para obter no gráfico a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos dados e o valor de R-quadrado. ♦ Seqüêncial -Linear (Seqüêncial) -Linear (Seqüêncial) 412 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 A2.16 Máximos e Mínimos no EXCEL Pontos de máximo ou mínimo de uma função são determinados, no EXCEL, no aplica¬ tivo SOLVER. Para entrar neste aplicativo, clique em Ferramentas e escolha a opção SOL¬ VER. Caso na caixa de diálogo que se abre não apareça a palavra SOLVER, escolha, nessa mesmacaixa, a opção Suplementos, marque SOLVER e pressione OK para incluí-la na caixa Ferramentas. Caso em Suplementos não apareça SOLVER é porque não foram instalados todos os aplicativos do EXCEL. EXEMPLO 1. Determine o ponto de mínimo e o valor mínimo da função z = x 2 + 3xy + 4y 2 - 4x -13 y. Solução Observamos, inicialmente, que, pelo fato de se tratar de uma função polinomial de grau 2, tal função admitirá no máximo um ponto de mínimo. Por quê? Vamos representar as va¬ riáveis x e y, respectivamente, por Al e Bl. Na célula Cl, vamos entrar com a expressão que queremos minimizar. Na célula Cl, devemos digitar: = A1 A 2+3*A1*B1+4*B1 A 2—4*A1 — 13*B1 Como o SOLVER utiliza método iterativo para buscar o ponto desejado, é preciso entrar com estimativas para x e para y (uma estimativa para o ponto de mínimo é qualquer ponto que esteja próximo desse ponto de mínimo). Vamos tentar as estimativas 0 para x e 0 para y. (Como z(0,0) = 0, z(0,1) = —9 e z(0,2) = —10, nesse problema as estimativas 0 para x e 2 para y seriam preferíveis. Por quê? Em todo caso, vamos tentar resolver o problema com as estimati¬ vas 0 para x e 0 para y, se não der certo, tentaremos a estimativa (0, 2).) Entre com zero nas células A1 e B1. Agora, marque a célula C1 e, em seguida, clique em Ferramentas e escolha a opção SOLVER para abrir a caixa PARÂMETROS DO SOLVER. Na caixa que se abre, em célula de destino, digite C1; escolha a opção Min; em células variáveis, digite A1 :B 1. x Microsoft Excel Arquivo Editar Ejibir Jnserír Formatar Ferramentas Qados Janela Ajuda D G* H « L* > 5J II 4* • O . N / | Vx«ÍÉ4T * :l _ - * - A . -JsL 4 * 3 4 5 6 7 j 8 I 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (4 4 Parâmetros do Solver um Qffrè céàia de deAmo: i»«l« r», ffnti rytid,. |5~ ^ááHvarióvw: E»tr« I Ivai twi 3 auflpww « wvvjm: *"•" 1 1 t»i* | 1 ^ Ék | «Ml» I ► wXpianlj^Plan: / PWi 3 / M i ú n Desenhar • b G AutoForm as - \ DOB4 ^ • A» * = - S ■ É Apont» MJM aimcíar Xj|ÜFÍ|5sÍÇjsj VfeítWtfSSA* 11:04 Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 413 Agora, clique em resolver para obter — 1 em A1, 2 em B1 e — 11 em C1. Assim, (— 1,2) é o ponto de mínimo e z = — 11 o valor mínimo de z. (Observe que a função dada admite no máximo um ponto de mínimo, de acordo?) 2 2 Gráfico e curvas de nível de z = x + 3xy + 4y — 4x — \3y Parabolóide elíptico EXEMPLO 2. Determine os pontos de máximo e de mínimo de z = 2x — y com as restri¬ ções xSs 0, x + y*£3eyS!x. Solução Como o conjunto A de todos os pares (x, y) satisfazendo as restrições dadas é compacto (confira) e a função dada é contínua, resulta, pelo teorema de Weierstrass, que tal função assume em A valor máximo e valor mínimo. Tomemos Al (Al =x) e B1 (BI =y) como cé¬ lulas variáveis. Em C1, vamos entrar com a expressão que queremos maximizar ou minimi¬ zar. Em Cl, digitamos: = 2 * Al - Bl. Em D1, digitamos: = Al + Bl. Vamos primeiro determinar o ponto de mínimo. Parece que o ponto de mínimo deve estar próximo (ou é o próprio) de (0, 3). Vamos então entrar com as estimativas 0 em A1 e 3 em B1. Agora, marque a célula C1 e abra o aplicativo PARÂMETROS DO SOLVER, como no exemplo anterior. Em célula de destino, digite Cl. Escolha a opção Mín. Em células vari¬ áveis, digite A1 :B 1. Agora, clique em Adicionar para abrir o aplicativo Adicionar restri¬ ção. Em referência de célula, digite A1; escolha > =; em restrição, digite 0 (é a restrição x 2 = 0), em seguida, clique em Adicionar. Agora, vamos entrar com a restrição y 2 = x. Em referência de célula, digite Bl; escolha > = ; em restrição, digite Al, em seguida clique em Adicionar. Para entrar com a restrição x + y 3, em referência de célula digite Dl; escolha < =; em restrição, digite 3, em seguida, clique em Adicionar. Agora, feche o apli¬ cativo para voltar para PARÂMETROS DO SOLVER, que deverá ter a seguinte “cara”: 414 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 | X Microsoft Excel - Pastai , ejx| Arquivo Editar Eabir inserir Eormatar Ferramentas Qados Janela Ajuda DaíBSQi 4* íi n t a i°o* • © * : ' * M / S ^ H =§ ü ® % mo •£ ."S •:*= f* _ - y • a . Cl = =2*A1-B1 Desenhar - C> AutflFormas » \ x □ O H .4 A . = = g | | Pronto 1 I ACM | | T aainiciarl x| gyj C|[g-rl 14:21 Finalmente clique em resolver, para obter 0 em Al, 3 em BI e —3 em Cl. Assim, — 3 é o valor mínimo da função e que ocorre para x = 0 ey = 3. (A nossa estimativa já era o ponto de mínimo.) Vamos, agora, determinar o ponto de máximo que deverá estar próximo do ponto (3, 3); entremos, então, com as estimativas 3 em Al e 3 em Bl. Marque Cl e abra novamente o aplicativo PARÂMETROS DO SOLVER. Escolha a opção Máx. (Observe que os dados com os quais entramos anteriormente não foram apagados.) Para determinar o ponto de máximo, é só clicar em Resolver, para obter 1,5 em Al, 1,5 em Bl e 1,5 em Cl. Ou seja, 1,5 é o valor máximo e que ocorre para x = 1,5 e y = 1,5. (Veja Exemplo 2, da Seção 16.1.) ■ EXEMPLO 3. Resolva o sistema íx 2 +y= 3 jx 2 4- 2ry + 5y 2 = 4. Solução Resolver o sistema é equivalente a determinar os pontos de mínimo global da função j{x, y) = (x 2 + y- 3) 2 + (x 2 + 2x>- + 5/ - 4) 2 . De fato, se (xq, >’ 0 ) for solução do sistema, deveremos ter/jxg, >' 0 ) = 0, e, então, (x 0 , >’q) será ponto de mínimo global de/, pois, para todo par (x, y), temos J(x, y) 2* 0. Reciprocamente, se Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 415 (xq, >’q) for ponto de mínimo de/e tal queyfx 0 , y 0 ) = 0, então (x 0 , y 0 ) será solução do sistema. (Você concorda?) O gráfico da primeira equação é uma parábola com concavidade voltada para baixo, intercepta o eixoy no ponto (0, 3) e o eixox nos pontos (—V3 , oj e (>/3, o). O gráfico da segunda equação é uma elipse com centro na origem, intercepta o eixo x nos pontos (2,0), (—2,0) e o eixo y nos pontos (o, 2 / -j5 j e (o, — 2 / \'5j. O sistema deverá ter 4 soluções. Estimati¬ vas para as soluções são: ( 2 ,2/ Võj *» (2,1), ( 2 , —2/^5 j = (2,-1), (—2, 2 / V5 j «= (—2,1) e (-2,-2/V5)» (-2,-1). j Solução próxima de (2, 1) Em Al, digite 2; em Bl, digite 1; em Cl, digite: = (Al A 2+B1 —3) A 2 + (A1 A 2+2*A1*B1 +5*B1 A 2—4) A 2 Marque Cl e entre em PARÂMETROS DO SOLVER. Escolha a opção Mín. Em célula de destino, digite C1; em células variáveis, digite Al: B1. Clique em Resolver para obter: 1,6514 em Al, 0,2727 em Bl e 4,49 -10 11 = 0 em Cl. Assim, x = 1,6514 e y = 0,2727 é uma solução, com 4 casas decimais, do sistema. Solução próxima de (2, — 1) É só digitar 2 em A1, — 1 em B1, entrar em PARÂMETROS DO SOLVER e clicar em Re¬ solver para obter a solução x = 1,9557 e y = -0,8247, com quatro casas decimais. Deixamos a seu cargo verificar que as outras duas soluções são: x = — 1,4232 e y = 0,9745; x =-1,7839 ey =-0,1824. ■ ATENÇÃO. Observe que nesse problema o que estamos fazendo nada mais é do que resol¬ ver a equaçãoyfx, y) = 0. Então, em vez de escolher a opção Mín., poderiamos ter escolhido a opção Valor de e entrado com 0 no retângulo ao lado de Valor de e proceder como se estivéssemos determinando o ponto de mínimo. Ou seja, a opção Valor de é a que resolve a equação. Resolva o problema com esta opção e compare com os resultados obtidos com a opção Mín. Determinar estimativas, em geral, não é tarefa fácil. Quando o problema de máximo ou mínimo está ligado a um problema prático, é, às vezes, possível estimar, com margem de erro razoável, o ponto de máximo ou de mínimo. Mas, em geral, a tarefa não é nada fácil. Se a estimativa não for boa, o aplicativo poderá não retomar valor algum! Se a função for de uma variável e definida em um intervalo limitado, a tarefa será bem mais fácil: é só cons¬ truir uma tabela com a variável independente percorrendo o domínio e variando, digamos, de 1 em 1 ou de 0,5 em 0,5. Olhando para a tabela, é, então, possível determinar estimativa para o ponto de máximo ou de mínimo. Se a função for de duas variáveis, z = fix,y), e de¬ finida em um conjunto limitado, um processo para determinar estimativa é o seguinte: Con¬ sidere o menor Xq tal que a reta x = x 0 intercepte o domínio da função, considere a função z — /xq, y) e construa uma tabela com y variando de 1 em 1 (ou de 0,5 em 0,5) e de modo que o ponto (x 0 , y) permaneça dentro do domínio da função. Em seguida, construa a função z = Ttx,, >’), com X| = x 0 + h, h > 0 e tal que a reta x = X] intercepte o domínio da função e assim por diante. Olhando para as tabelas construídas, é possível obter boas estimativas para o ponto de máximo ou de mínimo. Bem, esse é um caminho. Faço votos que você des¬ cubra um bem melhor! No exemplo anterior, xq = Oez =7(0,}') = —y; assim o menor valor 416 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 de z = fiO, >’) será — 3 e ocorrerá em (0, 3) e o maior será 0 e ocorrerá em (0, 0). Tomemos, agora, Xj = 1; o menor valor dez = = 2x t — y = 2 — y será — 1 e ocorrerá em (1, 3), e o maior valor será 1 e ocorrerá em (1, 1) e assim por diante. Para encerrar a seção, sugerimos ao leitor resolver todos os problemas de máximos e mínimos propostos no Cap. 16. Por favor, se alguma resposta não estiver correta, avise-me e ficarei muito grato a você. A2.17 Brincando no Mathcad Para trabalhar no Mathcad é muito simples. A partir do programa instalado, se sua ver¬ são for o Mathcad 2000, ao abrir o programa verá a seguinte tela:* [»] Eile Edit Yiew Insert Fermat Math Symbolics \3fmdow Help JaljSj DtfQãQy Po- ■li v ||Notmal ^ ÜAiial ~Z\ B 1 D £ * m :i 1= Pres* F 1 for h«lp 3Blnlclar| Xl...| [ÇM.. gyM.J AUTO NUM Page 1 í3dÜiíl é só clicar no símbolo >. EXEMPLO 3. Determine o ponto de máximo de z = 2x — y com as restrições x > 0, Solução x = 3 ey = 3 é uma estimativa para o ponto de máximo. Digite: J[x,y)-= 2-x-y x := 3 y := 3 given x 5= 0 x + y ^3 y 2* x Maximize (/, x, y) = ^ ^ . Assim, o valor máximo da função ocorre parax = 1,5 ey = 1,5. ■ ATENÇÃO. É indispensável a palavra given após as estimativas e antes das restrições. EXEMPLO 4. Resolva o sistema (x 2 + y = 3 j* 2 + 2 xy + 5;y 2 = 4. Solução Inicialmente, observamos que este sistema é o mesmo que o da seção anterior. Vamos apenas determinar a solução próxima de (2, 1). Digite: Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 419 x:= 2 y:= 1 given x 2 + y = 3 x 2 + 2-x-y + 5-y 2 = 4 Find (^y)= ( 0 . 2727 ) Assim, x= 1,6514 e>’ = 0,2727 é a solução, com 4 casas decimais, que está próxima de (2,1). (Caso queira mais casas decimais, clique ao lado de y, em seguida, na barra de ferramentas, clique em Format, escolha a opção Result, escolha o número de casas decimais e clique em OK.) ■ EXEMPLO 5. Esboce o gráfico de/x, y) = x 2 + y 2 Solução Digite: j{x, y) := x 2 + y 2 . Clique no ícone assinalado na figura a seguir para abrir a caixa Graph e clique na superfície verde (ou então, na barra de ferramentas, clique em Insert, clique em Graph e escolha surface plot). Em seguida, no pequeno retângulo preto situado à esquerda logo abaixo do sistema de coordenadas, digite/, como na figura abaixo. Para obter o gráfico, clique fora do maior retân¬ gulo que contém o sistema de coordenadas. Com o mouse, você pode colocar a figura na posi¬ ção que desejar. Para outras opções, dê dois cliques em cima do gráfico e brinque à vontade. Mathcad Professional - [Untitled: 1] [a] Eite Edil Insen Format Matti Syrribchcs fflmdow Help Ds#H#ar •• ; *í D ■ «k K> JÇ |ttm jlI 0) T 7=T J _d " ' LMxj t(x,D « ^ «V Prt** F1 for h*lp AUTO NUM P»g* 1 JUIniclarl |ÇM„ HyM.jgjj j V Ê tó jj H * A * ia£|uj.3 18:35 420 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 EXEMPLO 6. Calcule dx. Solução Clique no ícone integral para abrir a caixa que contém o símbolo de integral. Entre com a integral de modo a obter J* exp(-x 2 )cfa Para calcular a integral, proceda da seguinte forma. Se você quiser apenas o valor numéri¬ co, digite =. Se você quiser o valor exato, na barra de ferramentas, clique em Symbolics, em seguida clique na opção Simplify. Escolhendo a segunda opção, o resultado será Vir . (Para calcular limites, derivadas e somatórias, utilize sempre a segunda opção, e divirta-se.) ATENÇÃO. Para entrar com o símbolo de integral definida, clique no símbolo respectivo na caixa ao lado; para entrar com o símbolo °°, proceda da mesma forma. O ângulo que en¬ volve a expressão é controlado pela barra de espaço: se ele estiver envolvendo somente o último x, basta ir pressionando a barra de espaço que ele acabará envolvendo toda a expres¬ são. Para encerrar, vamos exibir alguns gráficos construídos no Mathcad. Uso da HP-48G, do Excel e do Mathcad 421 2x 2 y f(x ' y) ~ x 4 + y 2 + 0,000000000000000000000000000000000000000000001 (Foi para enganar o Mathcad!!!!) Referência Bibliográfica para a HP-48 G Guia do Usuário da HP-48 Série G Hewlett-Packard Edição 1, novembro de 1994 Respostas, Sugestões ou Soluções CAPITULO 1 1.2 a) Sim. pois, é contínua. b) Sim, pois. é contínua. c) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em.t= 1. d) Sim, pois, é contínua em [0, 1], e ) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = 0. f) Não, pois, não é limitada em l n \ g) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = 0. h) Não, pois, não é limitada em [—1, 1]. CAPITULO 2 2.1 1. a) 2 + In 2 4 — 1 s x € 1, 2x -se x > 1. 3 d) 1 x se 0«t:Sl 1 se x > 1 424 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 4. a) F (x) = se x =£ 1; —I- 2 ln x se x > 1 3 Í x z se x < 1 2 — se x > 1 „ XT - F(x)-F(l) , F(x)~F( 1) „ b) Nao: hm - --1 e lim - --2 * — r x -1 *-M + x - 1 5. a) F(x) = x, x G IR; F' ( x) = f(x) para x 1 b) F'(l)= l */( 1) 2.4 1. a) F' (x) 3x 1 + x 6 b) F' (x) = sen x z c) F' (x) = -cos x* d) F' (x) = 2x sen x 4 e) F' (x) = 2 cos 4x 2 f) F' (x) = 3x2 2x 5 + x 12 5 + . g) F' (x) = 3x 2 J^ e s2 ds + x 3 e * 2 h) F' (x) = 2x J"* e s2 ds + í) F' (x) = - arctgx 3 j) F' (x) = f e~‘ 2 dt. 2. Crescente em ] — —2] e em [0, +°°[; decrescente em [—2, 0]. 2 — r 2 x 2 e 3. 7 21 J I) + °° m ) — ln 3 2 426 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 3.3 L a) ! d) -1 3. a) — 2 b) 2^2 c) +°c <0 1 5. a) 0 b) +00 1. a) converge c) converge e) converge g) converge í) converge 1 ) converge b) diverge d) converge f) converge h) converge j) converge m) converge 3. a) diverge c) converge b) converge d) diverge _ . 12 ,, 2 1 .. 4 , 1 2 , 7. a) — e 2 ' -cos t H-sen t b) e H— e 5 5 5 3 3 Respostas, Sugestões ou Soluções 427 CAPITULO 4 4.1 1 -6 2 L o) 2 «y 75? 77 2. a) 400 b) 0,6 c) 0,12 d) 384 4.2 x 1. a) F(x) = 0 para x < 0, F(x) = ~ para 0 =£ x 5 e F(x) = 1 para x > 5 b) F(x) = 0 para i?0 e F(x) = 1 - e xl2 para x > 0 e x 1 _ c) F(x) = — para x =s 0 e F(x) = 1 — — e r para x > 0 3. 1/2 1/3 4.3 1. a) E(X) = ^-^~ e Var(X)=- b a) 12 b) E(X) = ~ e Var(X) =2 2 4 c) E(X) = 2 e Var{X) = 2 4.4 3. a) VTir b) x < 10 I 2tt J- x-50)/4 _ 2 z L !2 dz l Xx—60)/5 2 e z 2 dz, logo, x=10 VTir J- /X[CT 2 - /X 20 -! 4 . x = —- para cr 2 * cri o - 2 -a-i 5 , —_ L^\ e -(a-p) 2 /2cr 2 _ e -(b-p) 2 12o 2 4.5 dp, ct42tt f(^) 1 . g(y)= \rJ ,y*0. 2. g(y) = 3 >17 _ /(ln y) para y > 0 e Xy) = 0 para y =s 0, onde /(x) = - g -(x -p) 2 /2o 2 0-V27T 2. (-0,5)! = T(1 +(-0,5)) = T(0,5) = Jn , r /2Wi+^=ir^=iW2W/i+2\=2iV2\=2.i.v^ 3 ‘ \ 2^ l 2 ) 2 \ 2 ) 2 V ’ \ 2 ) \ 2 ) 2 \ 2 > 2 2 V 4.6 428 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 4 r(^±l)= , (2 "~ 1)! ^ \ 2 ) 2 2 "“'(«-!)! 4.7 3. E(X)=J o e~ x ^ dx e VorCX) =j^ 2^“^ íit-[£(X)] 2 . .. \2tT .... 4 77 4. b) E(X) = —^— e Var(X) = - CAPITULO 5 5.1 1 . a) a; = &e 3 '-e' b) x = ke' - 2t — 3 c) x = ke' - cos t + — sen t 2 2 2 _j t 12 2t t d) x = ke n — — cos t + — sen t e) x = e [k + t\ f) x = kè — 5 g) x = ke~' + — cos 2t + — sen 2 1 h) x = ke~ 2t + — i) y = ke 3 * + — x — — 6 55 4 J 39 j) s = ke 2 ’ + te 2 ' [) q = ke ' + — cos 3í + — sen 3í m) y = ke x — — cosa: ——sen x J 10 10 2 2 _2 _J_ n) y = ke 3 +— o) x = ke 2 + t — 2 p) y = ke 2x1 + — e 3 * 2 5 q) T = &e 3r — — r) y = ke x - —cos 3a: + —sen 3a: s) x = ke 2 ' + — e ' 3 10 10 4 2. 8 p 0 , onde p 0 é a população no instante I = 0. dT 3. A equação que rege o resfriamento é — = ot(T — 20), onde a é a constante de proporcionalida¬ de de. T ( t ) = 90e“ f + 20 onde a = — ln —. 20 3 4. a) i = £o R ( \ \ ) 5.2 b ) i = — -7- [264 77 e 5í — 264 77 cos 120 777 + 11 sen 120 77í] 1 + 576jt 2 1. a) x = Ae 2 ' + Be ' d) x = A + Be 4 ' g) y = Ae 2 * + Be~ x j) y = Ae~^ x + Be^ x 1 —t n) x = Ae ' + Be 2 2 . a) x = — e 3 ' + — e~ 3 ' 3 3 b ) x = e' (A + Bt) e) x = Ae^ 3 ' + Be~^' h) y = e~ 2x (A + Bx) /) x = A + Be 21 __5 o) x = A + Be 3 b) x — —— + — e 2 ' 2 2 c) x = Ae 2 ’ + Be 2 ' f) x = e~'(A + Bt) í) y = A + Be~ 5x m) x = A + Bt c) y = (1 - t) e' Respostas, Sugestões ou Soluções 429 a) x = Ae^ 2 ' + Be b) x = Ae 21 + Be 31 c ) y = A + Be d) y = e 3 ' [A + Bt ] A equação que rege o movimento da partícula é: mx = — 2x — x ou x + 2x + x = 0, pois, m = 1 . a) x(t) = e ' (1 + t). Desenhe o gráfico. b) x (í) = (1 - t) e '. Desenhe o gráfico. x(t) = (2 - e)e~ 2t + (2e - 3)e~' a) a = — 2 e b = 2 b) a = — 5 e ò = 12 c) a = — e b = — — 5 5 . 1 , 2 a) a = — — e b = — 5 5 , 10 . 15 g) a = — e b = — 13 13 e ) a = —■4 e b = 0 1 . 1 h) a = — e b = — 2 2 f) a = — 1 e b = 0 1 V3" 1 — a) ± i b )-±- i c) — 1 ± i d) -1 ± V2 1 2 2 1 J 7 e) ±wi f) ± 2í g) -±- i h) ± v/5 i 2 2 í) ± V 2 i j) ± 2 1) 2 ± i a) e ' (A cos 2 1 + B sen 2 1) b) A cos t + B sen t 1 nr nr c) e 2 (A cos- t + B sen - t) d) Ae^ 1 + Be~ ^ 1 2 2 e ) A cos 3 1 + B sen 3 1 f) e l (A cos t + B sen t) g) e 2t (A + B\ — S/ _T. I -J 11 -\j 11 h) A + Be i) e ' (A cos t + B sen t) j) e 2 A cos- t + B sen . t 2 2 f) e ! (A cos t + B sen t) g) e 2 ' (A + Bt) D Ae 5 '+ Be' m) e st (A + Bt) sÍ3 V3 o) e 2 A cos- t + B sen - t 2 2 n) A cos 2 1 + B sen 2 1 p) A cos sfâ t + B sen 'fã t q) Aé^~~° ' + Be ' r) e l [A cos fs t + B sen fs t\ s) e 41 [A cos 2 1 + B sen 2r] a) x = —sen 2 1 2 b) —e (cos t + sen t) c) e 2 cos -t— t H —-— sen —— t d) —cos t + 2 sen t 2 7 2 x (t) = —2 sen 2 1 — cos 2 1 4. x (t) = e 1 sen t f(.\ — 2V3 V3 - sen - t 3 2 430 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 6. x = e' sen t 7. d)c> 2 b)c = 2 c) 0 < c < 2 5.5 1. a) Ae^' + Be ' -cos 3 t 12 c) Ae’ + Bte' + ^-r 2 e f e) e ’ {A cos t + B sen t) + 2 g) A cos t + B sen t - t cos t b) Ae 2t + Bte 2t + - t - - 2 4 d) Ae ' + Be 2 ' + — e 2 ’ 15 f) A + Be 21 +21 h) Ae 2 ' + Be + — t 2 + — t + — i) A + Be 2 ’ — — í 3 —- t 2 — — t 3 3 9 l) Ae ' + Bte ’ —— cos 2 1 + — sen 2 1 /■) A cos 3 1 + B sen 3t + — sen t + — cos t 8 4 25 25 m) A cos 3 1 + B sen 3 1 - 1 cos 3 1 6 n) Ae 2 ' + Be~ 2 ' + - te 2 ' 4 7 , 2 1 p) A + Be H- cos 3 1 — —sen 3 1 39 13 r) A + Be 2 '+ -te 2 ' 2 o) Ae 2 ' + Be~ 2 ’ - |cos t q) A + Be 2 ' - e s) A + Be 2 ' - -t 2 2. A cos wt + B sen wt — — t cos wt 2 w 2 1 1 3. a) —cos 2t — — sen 2 1 + — cos t 3 2 3 c) — t sen 2 1 4 b) te -3t 1 +-t 2 . 5 ^ 15 ^ 5 3 í d) - cos 2 1 - — sen 2t H - e 13 26 13 Ô ? 2 4. x p = — - — - [-2yw cos wt + ( wg - w ) sen wt}. (wq — w^Y + 4y w* 5. Sugestão. Considere os casos w = vv 0 e w # vv 0 . CAPITULO 6 6.3 I. (x.y) = (1,2) + A (-1,1), AER 3. « = (-2,3) 5. a) « = (2, 1) b) u = (-1, 1) 6. a) n = (2, 1) b) n = (3,-1) 7. a) (x, y) = (2, -5) + À (1, 1), A e IR 8. a) (x, y) = (1, 2) + A (2, 1), A e R 2. (x,y) = (1, -1) + A (2, 1), A e IR 4. (x, y) = (i l) + A (-2, 3), A £ IR c) u = (5,2) d) u = (-2, 1) c) n = (1,3) d) n = (2, -3) 6) (jcj) = (1, -2) + A(-1,2),A e IR 6) (x, y) = (2, -2) + A (1, 3), A E IR Respostas, Sugestões ou Soluções 431 a) (2, 1.3)- [(aí, y, z) — (1, 1,1)] = 0 ou 2x + y + 3z = 6 b) (-2, 1,2)- [(jc. y, z) - (2, 1, -1)] = 0 ou 2x - y - 2z = 5 o) (x,y,z) = (0, 1, -1) + A (1, 2, -1), A E IR b) (x, y, z) = (2, 1, — 1) + A (2, 1, 3), A E IR {x,y,z) = (1,2,-1) + A (3,0, -3), A £ IR (tal reta é paralela à direção de u A v=(3,0, -3)). a) u A v = (5, —4, —3) b ) u A v = (4, - 2 , 8 ) a) ( u A v )• [(x, y, z) — (1, 2, 1)] = 0 ou x — y + z = 0 b) ( u A v )■ [(*, y, z) — (0, 1,2)] = 0 ou — 4x + y + 3z = 7 a) V5 b) VÍ4 c) V5 II u II = -y Wj + «2 + w 3 ^ V M i = * w i Kveja: «I + «3 > 0 => «j 2 + & m , 2 => ^/tt 2 + m| + -Jãf"). De modo análogo. tem-se: II « I I « 2 I e II u I a) II u II = II ( u — v ) + v II s II u — v II + II v II, ou seja, II u — v II ^ II u II — II v II. w = a u + 1 3 v => u ■ w = u ■ (a u+/3v)=a(u-u) + f)(u-v)=>u-w = a, pois, u ■ u = II u II 2 = 1 e u • v = 0. De modo análogo, obtém-se v ■ w = (3. Sejam ae|3 dois reais quaisquer tais que a u + (3 v = 0 . Segue que u ■ (a u +(3v) = u ■ 0; da í a( u • u ) + /3( u • v) = 0e, portanto, a = 0. Do mesmo modo, v • (a u +(3v) = v • 0e, portanto, a(v • u) + \3 ( v • v) = 0; logo, /3 = 0, pois, v • u = 0e v ■ v = 1. Fica provado, assim, que quaisquer que sejam os reais aep,au+/3v= 0 => a = f3 = 0. Portanto, u e v são linearmente independentes. u ■ v 2 (« • v ) 2 cos 0 =-, 0 *£ d =s tt, sen 0=1 - «Mv II U II 2 II V II 2 H II 2 II V II 2 ~ (u ■ 7 ) 2 _ y(«j 2 +«| +«|)(Vi 2 + vl +V 3 2 )-(«lVi +« 2 V 2 +« 3 V 3 ) 2 /(m 2 V 3 - M3V2) 2 + («3V) - M1V3) 2 + («[V2 - «2 v l) 2 II tt A V I 1. a) É aberto b) Não é aberto c ) É aberto (conjunto vazio) e) É aberto (conjunto vazio) f) É aberto g) É aberto d) Não é aberto h) Não é aberto 432 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 . a) {(x,j)e ^|_ c 2 + > 2 ^ 1} c) {(0, 1)} d) {(x, y)SR\x + y»l} e) {(x, y) E R I x = 1, 1 =£ y « 2} /)IR 7. a) É fechado b ) Não é fechado c) É fechado d) Não é fechado e) É fechado f) É fechado g) É fechado h) Não é fechado CAPITULO 7 7.1 (1,0 'l X 434 Um Curso de Cálculo — Vol.2 2 . a) 0 0 tal que II F (í) II =£ Aí em [a, b). 1 . a) dF dt d 2 F / 2 — 0,2 d + 2 1 2 \ t 2 ) 2 I , d F 2 — , -* — d 2 F — 2 — , , , è) -= , i — 2t sen t 2 j + 3 k\ —— = —i — (2 sen t 2 + 41 2 cos t 2 ) j dt 3 % dt 2 9 tift dF - - d 2 F - - c) = 5cos5í t -4sen4í 7 +2e ' k\ —— = -25sen5í i -16cos4í j-4e k dt dt 2 U 2. «) ix,y,z)- + a (--y-.y.l)"* 1 b) (X,y) = (1, 1) + A (2, 1), A e IR d) (*,y,z,w) = (l, 1 , 1, 1) + A (1,2, 1,2), A e IR 3. Seja F = (F ( , F^, ..., F sendo F' (t) = 0 em I, resulta F '(t) = 0 em/, para i = 1, 2, Segue que existem constantes k ^,..., k n , tais que F. (t) = k., para todo t em I, (i = 1,2,..., n). Portanto, F(t) = k em /, onde k = (A ( , k^, ..., £ ). 4. Verifique que — dt dF F (/) A - (t) dt = 0 em /, e use o Exercício 3. 5. Sugestão: para t 0, II r (t)i = 4~t r (t) ■ r (t) = t. * d r — — — d v ‘ 7. a) v (r) = -= i +21 j; a (t) = - = 2 j dt dt b ) v (í) = -sen t i + cos t j + k; a ( t ) = d v dt -cos t i — sen t j — d r — — d v — — * c) v (r) = - = vo; a (t) = - =0 d) v (t) = vo + aof; a (t)= ao dt dt - - - dT - - dT 9. a) II T ( t ) II = 1, T (í) • T (t) = 1, daí 2 - • T = 0, ou seja, T e-são ortogonais. _ _ dt dt b) Sugestão, v (r) = v (t) T (t). 436 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 12 . a) r (í) = | — + 1 | i + j + 2tk b) r (f) = (2 - cos t) i + ( — sen 2t — 1 ) j + (2 + ln (t + 1)) k 1 ^ — sen 2 1 - 1 j j c) r (t) = — arctg 2 ti + (1 — e ) j + (f + 1) k 7.6 í. a) r 1 J 0 [f I + e' j] dt = í t dt i + b) — j +2 k 2 í '' * c) 3 í + 2 j + k j = — i + (e - 1) j 2. a) (2 — e) i +{ e - \ j — — k b) -(- e \ 2 / 2 2 3. Observe que G (t) = { ( F\ (s) ds . f F n (s) ds \ e aplique o teorema fundamental do l ) cálculo. 4 . d) 2 i + 2 j + — k 3 b) ln 2 i + — j + k 3 7.7 1. a) ?rVl + 4 jt 2 H-ln (2?r + Vl + 4jt 2 ) 6) VI v 2 v c) X -^1 + e -2 ' dt = f 4 -1- (cos 0) 2 sen 6 J arctg e _jr sen 8 = = ln 1 + -\fl + e 1 + VI 1 + V2 1 + V 1 + e 2 rf) V3 [1 - e -1 ] c) ln -2® + VI + Ji - t/i + e -2 * + 1 + -^/l + e 2 — VI /) 4 g) / 2j 3í 6. a) <5 (í) = + 1, -j— - 1 W13 V13 b) ô (s) = ^2 cos —, 2 sen — j c) ô (í) = |cos — "j=r, sen j s s VT sen VT VT ^ \ s + -J 2 ( ( s + VI \ ( s + -J 2 a) o (s) = -;=— cos ln-— , sen ln VI VI fcW2 438 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 g ) A) 4. f(x,y) = ax + by, onde aeb devem ser determinados de modo que/(l, 0) = 2 e/(0, 1) = 3. Tem-se a = 2 e b = 3. Assim: /(x, >>) = 2x + 3>’. 5. a) homogênea de grau zero. b) homogênea de grau 2. c ) não é homogênea. d) homogênea de grau -2. 6. a) f( 4V3, 4) = / = 64 r — = 32 V3. ( I Observe que í ^ 2 í -^ 2 ^ 2 j + V 2 / = 1 e que / *)/(O, 3) = 3 2 /(0, 1) =0 2 ’ 2 } c) f(x,y)=^x 2 +y 2 ) 2 / x 2 + y 2 . _ ^ _ WJ = x-/ x 2 + y 2 8.2 1. a) 1 - x 2 - y 2 = c ou x 2 + y 2 = 1 - c (c =£ 1) z c = 0 1 Respostas, Sugestões ou Soluções 439 b) x + ~$y = c y c) z z d) As curvas de nível são circunferências com centros na origem. z e) As curvas de nível são retas paralelas a x + y = 0. z 2 2 2 f) As curvas de nível são as circunferências x + y = 1 — c , com 0 s c s 1. 440 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 2 2 2 O gráfico de g é a parte da superfície esférica x + y +z = 1, correspondente a z & 0. z g) x 2 = c (0 =£ c =£ 1); x = — Vc 2 2 2 i) As curvas de nível são as circunferências x + y = c , c s 0. i j) y = x é a curva de nível correspondente a c = 0. Para c > 0, a curva de nível é o par de retas y=x + ^ey=x — -Jc. Respostas , Sugestões ou Soluções 441 z 2 2 2 D As curvas de nível são as elipses x + 4 y = 1 — c (O^c^l). z 2 2 1 m) As curvas de nível são as circunferências (c 5= 1) x + y =1-—. n *• 2 2 / n) As curvas de nível são as circunferências x +y =tgc Oíc< E\ Respostas, Sugestões ou Soluções 443 Imagem de/= R e) xy = c (cEl) c = 0 Imagem de / = R g ) 4* 2 + y 2 = c (c 5* 0) Imagem = [0, + =°[ i) cy 2 = (1 — c) x 2 (0 c 1) Se c = 0, x = 0 J) x 2 - y 2 = c (c e IR) h) c = 3x 2 - 4xy + y 2 y = 2x ± + c (c e IR) Imagem = IR j) Se c = 0, x = 0 ou y = 0 „ 1 ± J1 - 4c 2 Se c + 0, y — --- 2c 444 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Se c + 0, y = ± Imagem = [0,1] Imagem = ’_I I 2 2 4 a) f( 1, 1) = 3 é o valor mínimo de /. Não admite valor máximo. b) Não admite valor máximo, nem mínimo. c) Zero é o valor mínimo de/, este valor é atingido nos pontos (x, 0), x 3= 0, ou (0, y), y S 5 0. Não há valor máximo. d) Valor máximo: 1; este valor é atingido nos pontos (x, 0), x =/= 0. O valor mínimo é zero; que é atingido nos pontos (0, y), y i= 0. e) /f , —'j = — é o valor mínimo de /em A; /não admite valor máximo em A. \5 5) 5 /) 2 é o valor máximo, que é atingido em (0, 0):/(0,0) = 2. Não há valor mínimo. , A 1 1 \ 1 , . , . .( 1 1 ' \ 2V2 VlJ 4 l 2V2' V2, =-é o valor mínimo. 4 Sugestão. g(x) = x-JT— 4x 2 , — — x =s —, fornece os valores de/sobre o conjun¬ to 4x 2 + y 2 = 1, y S* O.j 5. a) /(0, 0) = 3 é o valor mínimo e/(2, 0) = 7 o valor máximo. A) /(l, 3) = 4 é o valor máximo e/(0, 0) = 0 o valor mínimo. c)/( — 1 , 1) = — — éo valor máximo e /(0, 2) = —2 o valor mínimo. d) /(3, 0) = 0 é o valor mínimo e/ /II 8 \ 4 . 1 1 —, — = — e o valor máximo. \5 5 1 3 Respostas, Sugestões ou Soluções 445 6. O que se quer são os valores máximo e mínimo de z = (5 — t) (r + 3) em [0, 4]. Altura 392 máxima: 24. Altura mínima:-. 7. (L I L\ \ 2 ’ 2 ’ 2 )' 11 . y b) (9_ ±\ 113 ’ 13^ 13. a) b) Ponto de mais alta temperatura: 4V5 2S\ „ . . . . -,- .Ponto de mais baixa temperatura: | 4V5 2V5j Respostas, Sugestões ou Soluções 447 4. 0 5. Não existe. 6. De lim g (u) = L segue que para todo e > 0, existe > 0, tal que u -* a © 0 < Ik - al < ô] =»• lg (w) - L I < e. De lim /(x, y) = a, segue para o Sj > 0 acima, existe 5 > 0 tal que (x, y) — (* 0 , y 0 ) 0 < ll(x, y) - (x 0 , y 0 )ll < ô => l/(x, y) - a I < 5, Como a Dg e I m f C D g , resulta f(x, y) a para todo (x, y) £ Df. Assim, © 0 < II(jc, y) - (x 0 , y 0 ) II < 8 => 0 < l/O, y) — a I < 5,. De © e ©: 0 < II (x, y) - (x 0 , y 0 ) I < S =*• lg (x, y) — L I < e. 7. 1 8. 0. 9.2 1. o) IR 2 b) {(x, y) £ IR 2 I 2x 2 + 3y 2 =£ 6} c) {(x, y) £ IR 2 I x > y} d) {(x, y) £ IR 2 I x 2 + y 2 < 1} e) {(x, jy) £ IR 2 I (x, y) * (0, 0)} f) IR 2 g) IR 2 , y 2 2. É contínua em (0, 0): lim / (x, y) = lim x • —--— = 0 = / (0, 0). (x, y) — (0, 0) (x, y) -» (0, 0) X 2 + y 2 2 5. Seja B = {(x, y) £ IR I/(x, y) < c}. Precisamos provar que para todo (x 0 , y 0 ) £ B existe uma bola aberta, de centro (x^, y 0 ), contida em B. Como fé contínua em (x^, y 0 ), tomando-se e > 0, com/(xQ, y 0 ) + e < c, existe r > 0 (como A é aberto, podemos tomar r de modo que a bola aberta de centro (x^, y 0 ) e raio r esteja contida em A) tal que II (x, y) - (x 0 , y 0 ) II < r =>/(x, y) 0.) CAPITULO 10 10.1 dj_ = dx ™ 3 2, 3 20x y + y e ii l 'íí 10x 4 y + 3xy 2 dz _ d x —y sen xy e I v; 1 ím II —x sen xy dz _ x 4 + 3x 2 y 2 - 2xy 2 dz _ 2x 2 y (1 - x) dx (x 2 + y 2 ) 2 e dy (x 2 + y 2 ) 2 ÉJL = d x -2xe~ x2 -y 2 e Qj I II 1 1 (N 1 448 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 e ) — = 2x ln (1+ x 2 + y 2 ) + d X 2x J 1 + x 2 + y 2 f) — = ye xy (l+xy) âx g) 12y (4xy - 3y 3 ) 2 + 10ry> d x h) ü dx x 2 + y 2 dz dy dz dy dl dy dz dy ,1 d x dg dy J) ^=2x[l + ln(;t 2 +y 2 )] d x dz . dy l) ^ = d x ^/(JC 3 + y 2 + 3) 2 dj_ dy . dz sen y [cos (x 2 + y 2 ) + 2x 2 sen (x 2 + y 2 )\ m) -=--- —z - x—i --- d x [cos(x 2 + y 2 )] 2 dz _ x cos y cos(x 2 + y 2 ) + 2yx sen y sen (x 2 4 dy [cos(x 2 + y 2 )] 2 3. a) 4 b) - 4 6 . IL. dV nRT dp _ nR dT 7. = e y (x - y) e — = è* (x — y) - è* ' (x - dx dy — + —= e y (x - y) = z. dx dy 10. dz - X ~ yz c dz - XZ âx xy + 3z 2 dy xy + 3z 2 13. 17 ( dw , , -= y + 4z 3 — dx dx ) 15. df d x = 2xe~< x2+ y 2 ) 2 e HL = 2y e-( x2+ y 2 '> 2 dy 16. df dX = -2xe ~ x4 e ii - 2ye~l - 2x2y 1 + x 2 + y 2 = xe^ (1 + ;ty) = 3 (4xy - 3y 3 ) 2 (4x - 9y 2 ) + 5x 2 — x x 2 + y 2 = 1 ln x -- 2y [1 + ln (x 2 + y 2 )] 2y 3 ^j(x 3 + y 2 + 3) 2 ■ y 2 ) y); logo, Respostas, Sugestões ou Soluções 449 18. 4>(y) = ^ln (1 + y 2 ) 19. jt 3 y 2 - 6ry + jln (1 + y 2 ) d f v 2 - x 2 - 2xv 4 20. -=-—-——, (x, y) + (0, 0) I -Y- (0, 0) não existe âx (x 2 + y 2 ) 2 0, Q)[—< \ d x dy 21. a) d f 4x 2 y 3 + 2y 5 - 2xy df ~ y se (x, y) * (0,0) e ^-(0,0) = 0 dy 2\2 {x 4 + y z ) z b) ÊL dy àf_ dy -2x íx 1 +f -l) (x 2 + y 2 - l) 2 -2y x ! +y ! -1/ se x 2 + y 2 < 1 i j : 2 + y 1 - 1 ) (x 2 + y 2 - l) 2 0 23. a) z(t)=f(t,t) = 2t z c) (x, y, z ) = (1, 1, 2) + A (1, 1, 4), À £ IR. d) Verifique que (1, 1,2) pertence ao plano e que y (1) é ortogonal ao vetor se x 2 + y 2 & 1 se x 2 + y 2 < 1 se x 2 + y 2 & 1 b) íf (1.1). ^(1. ( dx dy D,-l. (Observe que f (1,1), ^LL. [)_ — i \ dx dy é normal ao plano.) 24. z ( t ) = (x ( t )) 2 + (y (r)) 2 => z' (t) = 2x (r) x' ( t ) + 2y (t) y' ( t ). Segue que ■y' (0) = (x (0),y' (0), 2x' (0) + 2y (0)). Verifique que (1,1, 2) pertence ao plano e que y (0) é ortogonal a (1,1), (1,1), - 1 ( dx dy 25. O plano determinado por T\eT 2 passa pelo ponto (x 0 , y 0 ,/(x 0 , y 0 )) e é normal ao vetor yíCvo) A y ' 2 ( xo ) = i j k d f 0 1 — (x 0 ,y 0 ) dy df 1 0 — (x 0 ,y 0 ) d x = df “* df “* ^ — (*o. yo) i + — (x 0 , y 0 ) j - k . dx dy A equação do plano é, então: 450 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 — (-*0. yo). (-*0. ^o). - 1) • [(•*. y- Z ) - C*0’ W(-*<)> »)))] = 0 âx dy d f df ou seja, z ~ f(x 0 , y 0 ) = — U 0 , y 0 ) (x - a*,) + — U 0 , y 0 ) (y - y 0 ). d x 3 ” 29. a) (0,0) , (- 1 - 0 ) 10.2 1. a) = (1 + x) e dx dy b) Não há d) ( 1 , 1 ),( 1 ,- 1 ), (- 1 , 1 ), (- 1 ,- 1 ) f) (0, 0), (1, —1) e (—1, 1) dj__ dy = -xe x - y ~ z e d f x - y - z —— = —x e dz dw n y — 2x arcsen —, z dw x 2 Izl d w d x dy ziz 2 -y 2 d Z dw yz(y + z) dw xz(x + z) dw dx (x + y + z) 2 ' dy (* + y + z) 2 dz 2 x y \z\yjz 2 - d) — = 2* cos (* 2 + y 2 + z 2 ), — = 2y cos (* 2 + y 2 + z 2 ) e dx dy df —— = 2z cos (x 2 + y 2 + z 2 ) dz 2x 2 ds e ) — = w dx ds x 2 + y 2 + z 2 + w 2 2xzw dZ ds _ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 dw + ln (x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) 2w 2 ds 2xyw x 2 + y 2 + z 2 + w dy x 2 + y 2 4- z 2 + w 2 + ln (x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) 4. c) (x,y, z) =f(x + y 2 + z 4 ) • 4z 3 ; ^-(1, 1, 1) =16 a) 4 ’■ dz dz 6. a) 8 CAPITULO 11 11.1 b) 8 b) 8 c) 8 1. a) E (h, k) = f(x + h,y+ k) - f(x, y) - — (x, y) h - — (x, y) k = hk. Então, dx dy lim E(h, k) lim nm-uni n (h, k ) -H. (0,0) II (h, k) II (h, k ) - (o, 0) jh 2 + k ■ = 0 Portanto f(x, y) é diferenciável em todo (x, y) £ R , ou seja / (x, y) = xy é uma função diferenciável. d) E (h, k) = 1 1 h k _ h 2 y 2 + h 2 ky + k 2 x 2 + hkxy + hk 2 x ~ 2 ,, „,2 / — i _ _ i _ i .\ - 2.,2 (x+h)(y + k) xy x 2 y xy 2 (* + h)(y + k ) * 2 y 2 Respostas, Sugestões ou Soluções 451 E(h,k) hm -= lim 1 h 2 y 2 + h 2 ky + k 2 x 2 + hkxy + hk 2 x (/I,*)—(0,0) ll(/i,&)ll (/»,*)—»(0,0) (x + h)(y + k ) x 2 y 2 pois, 1 1 lim lim V * 2 + * 2 h 2 y 2 = 0. (A, O - (0, 0) (x + /!)(>’ + £) x 2 ;y 2 x 3 ;y 3 ’ (h. A) - (0, 0) ^jh 2 + k 2 •, h t k - lim hy l -r------ — = 0, lim h l y , — = 0 etc. (a,a>-( 0,0) ^ \h 2 + k 2 (A,*)-(0,0) ^ /i 2 + A 2 1 „ Segue que /é diferenciável em todo (x, y) # (0, 0), ou seja,/(x, y) = —é uma função •*y diferenciável. 2. a) lim /(r, 0) = 1 e lim /(0, t) = -1, logo,/não é contínua em (0, 0), portanto,/não é r -» 0 t — 0 diferenciável em (0, 0). 6) lim E(h, k) (h, k) — (0,0) II (h, k ) II lim (A, A)-(0, 0) / (0 + h, 0 + *) — / (0, 0) — — (0,0) h - — (0, 0) k _ dx _ dy _ > 2 + k 2 h 2 k h 2 + k 2 lim , — = lim /- h 2 k ■mi , -—— um j , - (A, k) -(0,0) 2 + *2 (*,*) — (0, 0\(/,2 + k 2 )y]h 2 + k 2 G (h, k) não existe, pois, lim G (0, k) = 0 e lim G(t,t) = —L. Portanto,/não é diferenciável a-o t — o + 2/2 em (0, 0). E(h,k) c) lim -= lim h 2 + k 2 (A, A)-(0,0) ll(A, *)ll (A, A)-(0,0) ^jf ,2 + *2 limitada lim ~J + A^, -1, -1 2. x + 6y - 2z = 3 3. z = 2x + y~ — 4 4. -^-(1, 1) = 2 e -^-(1, 1) = 1. dx dy 5. «)4^0.1)= e — (1, l) = -i 6) Uy,z) = (1,1,1) + A (2, 1,3) dx 3 dy 3 8. z = 2x + 3y + 3 (1 + a 2 + f> 2 ) 3 9 . z = 0 e z = 6x + 6y-18 11. a) K(a, b) =■ 24 ab 12. z = 2 f2y e z = — 2 V2 y ., 1 ,1 b) a = — e p = — 2 2 2 2 XnC VnC , 14 . Z - Zo = - -7— (* - Xo) - —— (y - y 0 ); segue que a 2 Z 0 ^ zo ou seja, y^y . yp b 2 b 2 ’ *0* , yoy , zqz _ a 2 b 2 c 2 pois Respostas, Sugestões ou Soluções 453 Observação. As derivadas parciais e — foram obtidas diretamente da equação dx dy x 2 y 2 z 2 -T + TT + _ 7 = *■ a 2 b 2 c 2 11.4 1. á) dz = 3x 2 y 2 dx + 2t?y dy b) dz = arctg (x + 2y) + 1 + (x + 2 y) 2 c) dz = y cos xy dx + x cos xy dy d) du = 2s e s2 ~ ‘ 2 ds — 21 e sl ~ ‘ 2 dt 2p . 2V dx + 2x 1 + (x + 2y) 2 dy e) dT = f) dx = 1 + p 2 +V' v V 1 - « 2 ■ dp + du + 1 + p l + V 2 u dV \/l - u 2 ■ dv 2. a) Az = dz e dz = (e* 2 y2 + 2x 2 e x2 yl )dx — 2xye x2 y2 dy. Fazendo x = 1, y = 1, dx = 0,01 e dy = 0,002, resulta Az = 0,03 - 0,004, ou seja, Az = 0,026. b) Para* = 1 ey = 1 tem-se z = 1. Assim, 1 + 0,026 = 1,026 é um valor aproximado para Z correspondente a 1,01 e 1,002. 3. a) dz = - dx + — dy b) 2,9966 2 12 ' c ) Az = —— + 0^1 ou seja, Az = -0,049166 2 12 4 . A = xy\ dA = y dx + x dy. Assim, A A = y dx + x dy onde x = 2, y = 3, dx = 0,01 e dy = -0,03, ou seja, A A = -0,03. 2 2 5. V = Ttr héo volume d o cilindro de altura h e raio da base r,dV= 2nrh dr + nr dh. Sendo A V 2 o volume do material utilizado na caixa, A V = 2 nrh dr + nr dh, onde r = 1, h = 2, dr = 0,03 edh = 0,03, ou seja, AV = 0,157r. 6. AP = -5 watts. 7. AV= — nrh dr -I— nr 2 dh, onde r = 12, h = 20, dr = —0,1 e dh = 0,2. 3 3 8. (1,01 ) 2,03 = 1 + dz, onde dz é a diferencial de z = a^, no ponto (1,2), relativa aos acréscimos dx — 0,01 e dy — 0,03. Ou seja, (1,01) 2 ’ 03 = 1,02. 9. Az = dz onde dz é a diferencial de z = ^jx 2 + y 2 , no ponto (3, 4), relativa aos acréscimos dx = 0,01 e dy = -0,1. 11 . a) dw = yzdx + xzdy + xy dz b) dx = e 2u + 2v - ,2 (2 du + 2 dv - 2 1 dt) c) dw = 2x 1 + z 2 dx + 2 y 1 + z^ dy 2 z(x 2 + y 2 ) (1 +Z 2 ) 2 dz d) ds = 2xyz (1 + * 2 )^ 1 dx + (1 + x 2 y z ln (1 + x 2 ) [zdy + y dz] 454 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 12. -^(0,01) 2 + (3,02) 2 + (3,97) 2 = 5 + dw, onde dwé a diferencial de w = ~Jx 2 + y 2 + z 2 no ponto (0, 3, 4), relativa aos acréscimos dx = 0,01, dy = 0,02 e dz = —0,03 V(0,01) 2 + (3,02) 2 + (3,97) 2 = 4,988. 11.5 1. a) (2xy, x ) c) b) e* 2 -y 2 (2x7 -2y~j) (l-7. d) x 2 + y 2 x 2 + y 2 ^ 2. a) x i + y j + z k t]x 2 + y 2 + z 2 b ) (2x, 2y, 2z) c) (2xz 2 (x 2 + y 2 + l)’ 2 ', 2yz (x 2 + y 2 + l) z2 ', 2z (x 2 + y 2 + l) z2 ln (x 2 + y 2 + 1)) d) yz -xz x -f . -5-7’ arc l § _ * + y z x z + y z y 3. V/(x, y) = (2x, — 2y) a) V/( 1, 1) =2? -27 6) V/(—1, 1) = —2 i -2 j ^ 7 * 1 4. V/(xg, y 0 ) = yo i - x 0 J ■ Observe que V/(x 0 , y 0 ) é normal ax 0 i + y 0 j :V/(xg, y 0 ) é 2 2 tangente em (x 0 , y 0 ) a circunferência x + y =1. 2 2 Observe, ainda, que para todo (xg, yg) na circunferência x + y = 1, II V/(xg, y 0 ) II = 1. 2 2 5. Derivando e m relação a í os dois membros de (x (r)) + (y (t)) = 1, resulta: 2x(r) x' (t) + 2y(t)y’ (t) = 0. Respostas , Sugestões ou Soluções 455 Para t = t 0 , (2x 0 , 2 >’q) • •/ (r 0 ) = 0, ou seja, V/(x 0 , y 0 ) • y' (r 0 ) = 0. y(t) = (cos r, sen t) é uma 2 2 curva cuja imagem está contida na curva de nível x + y = 1 . 7. a) f {x, y) = (y, x) b)f'(x,y) = 2 x y ln 2(1, -1) c ) /' (x, y) = tg —l- — sec^ —,-— sec^ — y y y y y, d) r (x, >o = I \-x 2 y 2 Jl~x 2 y 2 11 . b ) V/(x 0 , >- 0 , zo)' tU. y. z) - Uò, yo> zo)] = 0 c) (2,8, 18) • [(x, y, z) - (1, 1, 1)] = 0 CAPITULO 12 l. a) 9 1 2 cos 3r 3 b ) -4 sen t cos t 2. a) 3 — (3r, 2r 2 - 1) + 4r^(3r, 2 1 2 - 1) b) 1 d x dy 3. a) 2r— (r 2 , 3r) + 3 ^(r 2 , 3r) X ^ v r) jn f b ) 3 cos 3r^- (x, y) - 2 sen 2t (x, y), onde x = sen 3f e y = cos 2t âx dy 4. 2r —(í 2 , 2r) + 2 — (r 2 , 2r) = 3r 2 - 3; faça agora t = 1. í?X (?y S s 11 5. a) - — 6 b)z-- = ~^(x-3)+2(y- 1) 4 6 6 . *'« = - 1 . X 9 7. x = 2 cos t, y = sen r é uma parametrização da elipse-1- y = 1. Basta mostrar que g' (t) = 0 4 em IR, onde g (t) = / (2 cos r, sen r). Observe que a função g fornece os valores de /sobre a elipse dada. 8. y (r) = (2, 2f, z' (r)) e z 1 (r) = (x, y) ^ (x, y) ^; y' (1) = (2, 2, 0) e âx dt ây dt •y (1) = (2, 1, 3). A reta tangente é: (x, y, z) = (2, 1, 3) + A (2, 2, 0), A £ IR. — = (u + 2v, u 2 - v) + 2 u (u + 2v, u 2 - v) âu âx ây — = 2 (x, y) - (x, y), onde x = u + 2v e y = u 2 - v. í?v âx ây 10 . 456 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 14. — =2 tf(?,t 3 ) + t 3 dt 2 — (t 2 ,t 3 ) + 3t — (t 2 ,t 3 ) d x dy 16. z = uf (x, y), x = u - v e y = u + v. Então: — = /(■*. y) + « âu d f df — (x. y) + — U y) d x dy ãz e — = u ãv df , ..df , -(x, y) +- (x, y) dx dy Portanto, ãz ãz df u —— + u —— = z + 2 u 2 ——. ãu ãv ãy 18. d- \f(x, g (x))] = ~ [0]; ^/-(x, g (x)) + ~~{x, g (x)) g' (x) = 0. dx dx dx dy Jx (í. / (0) 19. Y ( t ) = (1,/' (í)) e/' (í) = — —-. A equação da reta tangente é: ;-(',/(/)) (tj) = (0, 1) + A(l, -)• A 1 20 . — [/ (x, >■, g(x, >■))] = — [0]; —(x, >', g(x, >■)) + — (x, >', g(x, >))• — = 0, ou seja, ãx ãx ãx ãz ãx dg , v —(*>y) dx ã x (x, y, g(x, y)) — (x, y, g(x, y)) ãz então, — (1, 1) = dx ;^<1, ■)■ 5 df ãx 9f '9 ãf ãz 9f 9} ãz Observe: -[/(x,y,g(x, y))] =-:-+-;-(y):+-=-+-■ ãx ãx ãx ãy ãx , ãz ãx ãx ãz ãx 21. a) g' (t) = 6 1 -d-(x, y, z) + 3r 2 -d-( x , y, z) + 2e 2í —^-(x, y, z) ondex = 3r 2 ,y = t 3 e z = e 2! ãx ãy ãz b) g' (0) = 8. 22 . — (x, y) = /(x 2 + y, 2y, 2x—>■) + x ãx 2x ?l(x 2 + y, 2y, 2x- y) + 2 — (x 2 + y, 2y,2x - y) ãx ãz dg. . -(x,y) = x dy ——-{x 2 +y,2y,2x-y)-\-2—^-(l+y i 2y,2x-y) - -f-{x 2 +y,2y,2x-y) ãx J ãy ãz Respostas, Sugestões ou Soluções 457 2 Observação. Poderia ter feito g (x, y) = xf (u, v, w), u = x + y, v = 2y e w = 2x - y. Tería¬ mos, então: = /(«, v, h>) + x dx df du df dv d f dw du dx dv dx âw dx 30. f(x, y) = ()) ( — Londe 4> (u) é uma função diferenciável qualquer. y) 32. Para cada (x, y) fixo, — [/ (tx, ty)] dt t = o = f(x, y). ou seja, x H {0 , 0) + y lL (o, 0) = / (x, y). dx d y 12.2 1. SejaF(x, y) = y 3 + xy + j? - 4; Fé de classe C 1 em R 2 , F(0, $[à ) = 0e-(0, V?) * 0. *y , Pelo teorema das funções implícitas, a equação define uma função y = y (x) de classe C num dy y + 3x 2 intervalo aberto I contendo 0. — =----. dx 3y 2 + x 2 2. a) Seja F (x, y) = x y + sen y — x\ observe que F (0, 0) = 0 e que d F dy 2 xy - 1 -( 0 , 0 ) * 0 ; — = - —- dy dx x A + cos y b) dy _ Ixy 2 + 4x 3 dx 4y 3 + lx 2 y 3. a) Seja F (x, y, z) = e x + y + z + xyz - 1 ; note que F(0,0,0) = 0 e —(0,0,0) *0; — dZ dx yz dz e + y + i + xz e x + y + z + e x + y + z + xy " dy ~ e x + y + z + xy â x dy_ dx 3x 2 — 1 dz e 3y ,2 _ 3z 2 1 dy dF 3z 2 1 - 2x - (x 2 + y, y 2 ) du âF i dF i - (x 2 + y, y 2 ) + 2y - (x 2 + y, y 2 ) du d v 4 . 458 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 10 . dz dx â(u , v) d(x, y) 11. a) 2(x-y) X — e dy_ _ z dx du du d X dy dv d\ dx dy b) -2 xy l b) y = x e z = sj 1 — . 'iH)- c) -2[s + 3r] .. . . , d . . . íx t?y 12. a) —(v) = — (xy);0 = y — + x—. (2x + y), com

> 4 z 4 +8. b) x- ly- 16z = -28. 9. -5* + 16y - 9z = 0. 10. x — 2y + 2z = 1 ou x + 2y + 2z = 1 ■ 13.4 1 . c) 0 d) 42 2. a) 3 i + 3 j e — 3 i — 3 j b ) i — j e — i + j c)- j e i + j 13 6. a) (1,3) b) 242 7. x = e 4( e y = 2e 2l , 1 3= 0. 8. = +3Xí»l. 9. V/(l, 2) = (2, 1). Seja y(í) = (1 + 2í, 2 + í,/(l + 2í, 2 + í)). A tangente em •y(O) = (1, 2,/(l, 2)) é a reta procurada: (x, y, z) = (1, 2, 2) + A (2, 1, 5), A £ IR. 10 . (x, y, z) = (1, 1,4) + A (1,2, 5). 11 . Seja P' a projeção de P sobre o plano xy\ P' move-se sempre na direção e sentido de máximo crescimento de/. Sendo ( x (r), y (r)), uma parametrização para a trajetória de P', y (t) = (x (t), y (í), Z (t)), onde z (t) =f(x (r), y (r)), será uma parametrização para a trajetória de P : y(t) = (r 4 , t, 4 1 8 + t 2 ). 12. (0,V3). (Sugestão. Aproveite a solução do problema 8.) Respostas, Sugestões ou Soluções 461 13. y (r) = (t, t 4 , 5 - t 2 — 4f 8 ), 0 r s l. 14. a) x + 2y 2 = 17 b) -6 i - 8 j c ) 0,1°C 15. a) - 3 16. CAPITULO 14 14.1 b) 2V6 3 à 2 f 1. a) : -^ r =6xy 1 ,^ r = 2x 3 d 2 f b) dx 2 d 2 z dx 2 dy 2 (1 + 2x z ), = 2e %1 ~ yl n -J- T- 2 X = 5t e y = 4r; g' (/) = 5 - (x, y) + 4 — ( x, y). Então: dx dy d 2 f , d 2 } g" (í) — 25- y (a:, y) + 40 dx dx dy (x,y) + 16 d 2 f dy 2 (X, y). 9. f(x, y) = 0, onde y = g (jc); — [f(x, y)] = 0, daí, dx df. .,xy 2 -5 2 + y + k b) f{x,y) = szs\xy + x i -xy+y i + k c) f (x, y) = e* 1 + y2 + arctg y + k 2. f(x, y) = x 2 y 3 - x 2 + y 2 - y - 8 . 3. f(x, y) = -ln (1 + x 2 + y 2 ) +-«>’+ 2 2 2 4. Não, pois, — (x 2 + y 2 + 1) # —(x 2 - y 2 + 1). dy dx 5. 0 y 2 y arctg-f- x se x < 0. x 8. a) Sim, pois admite função potencial (p (x, y) = b) Não, pois, JL (y) * J- (- *). dy dx 2 ~* c) tp (x, y) = xy + y é uma função potencial, logo, F é conservativo. d) Admite função potencial

x = A\ cos 2t + B | sen 2r; y + y = 0 => y = A 2 cos t + B 2 sen Tendo em vista as condições iniciais, y 2 (r) = (cos 2r, cos r). Como cos 2r = 2 cos í - 1, a imagem de y está contida na parábola x ~ 2y 2 1 . .V 2 Como y = cos í, a imagem de y é arco de parábola x = 2y — 1 , — 1 =£ y =£ 1 . 13. a) F (x,y) = ~ x i — y j . b) y (t) = (cos t - sen t, cos t + sen t) = sl2 (cos t + , sen {^ t + — j. A trajetória é : circunferência de centro na origem e raio -J2. 2 y 14. y (t) = (cos t, 2 sen t). A trajetória é a elipse x H-- 1. 4 15.4 1. a) 1 + x + 5y b) 5 + (x - 1) + 7 (y - 1) c) 3x + 4y 2. b) Inferior a 10 2 Respostas, Sugestões ou Soluções 465 3. \f(x, y) - P l (x , y) I = ■ 1 í/ f í/ f —f (x, y)(x - l ) 2 + 2 - J —(x, y)(x - 1 ) (y - 1 ) + ây 2 â 2 f dy 2 {x, y) (y - l ) 2 dx dy = — I (63c — 2) (jc — l ) 2 + 6 y(y- l ) 2 I. De0 0 para todo (h, k) =£ ( 0 , 0 ). 15.5 1 . a) xy b) 6 + 8 (x - 1) + 10 (y - 1) + 5 (x - l) 2 + 4 (x - 1) (y - 1) + 9 (y - l) 2 2. 6 + 8 (x - 1) + 10 (y - 1) + 5 (x - l) 2 + 2 (x - 1) (y - 1) + 9 (y - l) 2 + (x - l) 3 + + 2(x-1) 2 Cv-1) + 3Cv-1) 3 . CAPITULO 16 16.2 1 . (O, é candidato a ponto de mínimo local. 2. Não admite extremante local: é o único ponto crítico e não pode ser extremamen- l 13 13/ F F , , . d 2 f / 1 5 \ „ d 2 f / 1 5 \ te local, pois,-^-,— =2 e -^-,— = dx 2 \ 13 13/ dy 2 \ 13 13/ 3. (0,0) e - —'j candidatos a ponto de máximo local. 4. ^ é candidato a ponto de mínimo local. O ponto crítico (0, 0) não é extremante local, pois x = 0 não é extremante local de g (x) = f(x, 0 ) = x . 5. (— 1, -1) é candidato a ponto de mínimo local. 6 . ( 1 , 1 ) é candidato a ponto de mínimo local; (— 1 , — 1 ) é candidato a ponto de máximo local. Os pontos críticos (1, — 1) e (— 1, 1) não são extremantes locais. 466 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 16.3 / 54 22 \ 1. a) , —~j ponto de mínimo local. (Conforme Exercício 2, é ponto de mínimo global.) •2 b ) (1, 1) é ponto de mínimo local, mas não global (/XO, y) =y - 4y + 5 tende aquando , / 23 5\ , J , y —» —oo). —,-e ponto de sela. V12 6) c) (-1,1) é ponto de sela. ^j é ponto de mínimo local, mas não global (f(x, 0) = x 3 - 5x d) tende a —<» para * —> —oo). / 3 1\, J , —,-e ponto de sela. \2 2 ) K / 3\ / 3\ e) ^ 3, —j e ^ - 3, — —j são pontos de sela. f) Não admite ponto crítico. g) Os extremantes locais de /coincidem com os extremantes locais de 8 (*. y) = x 1 + 2ry + 4>' — 6x — 12y; (2, 1) é ponto de mínimo local. (Conforme Exercício 2, é ponto de mínimo global.) h) ( 0 , 0 ) ponto de máximo local; ( 0 , 1 ),( 0 , -l),(l, 0 )e(-l, 0 )pontosdesela;(l, 1 ), ( 1 , - 1 ), (— 1 , l)e(— 1 , — 1 ) pontos de mínimo locais (verifique que são pontos de mínimo globais). í) ( 1 , 2 ) é ponto de mínimo local. j) (- 1 , - 1 ) é ponto de mínimo local. I) ( 1 , 1 ) é ponto de mínimo local; ( 1 , — 1 ) e (— 1 , 1 ) pontos de sela; (- 1 , - 1 ) ponto de mᬠximo local. 3. a) 1 2, — ^j ponto de mínimo global. 2 [aa,- + B - b.]. (a, fi) é a solução do sistema d P A 1 = I Respostas, Sugestões ou Soluções 467 n n n a 2 + P 2 a ' = ^ a ‘ b ‘ 1 = 1 1 = 1 i = 1 n n a ^ a, + n /3 = y b t i = 1 i = 1 6 . a) y = — x + 1 [Sugerimos desenhar a reta encontrada e marcar os pontos dados.] ., 9 ,14 b) y = — x H- 10 10 1 a i bi a i a i b i 5 100 25 500 6 98 36 588 7 95 49 665 8 94 64 752 26 387 174 2.505 b ) 89,4 (a, P) é solução do sistema f 26 a + 4 p = 387 1 174o + 26/3 = 2.505 y = 1.104 10 8 . (À, 2À, 2) e (p, p, 4 + p) são pontos arbitrários de r e s, respectivamente; Vã - M) 2 + (2A - m) 2 + (2 + /i) 2 é a distância entre eles. Basta, então, determinar (À, u) que minimiza g (A, u) = ( A — u) 2 + (2A - u ) 2 + (2 + «) 2 . P = (-1, -2, 2) e £ = (--V l 3 3 3/ 9. (1,2, 1). 10. L = p l x + P 2 )’ - [x 2 + 2> 2 + 2xy] = I20x + 200y - 3x 2 - 3y 2 - 2xy. A produção que maximiza o lucro éx = 10 e y = 30. 11. L = 5z — (2x + y). A produção z que maximiza o lucro é a correspondente a x = 15,8 ey = 20,4, ou seja, z = 1576,2. 13. (34 25 16j V14 ’ 14’ 14/ ' 14.x + y + z = —. 2 15. a) (1, 0, 2) ponto de mínimo local (verifique que é ponto de máximo global). b) ( 1 , 1 , 1 ) ponto de mínimo local: (— 1 , — 1 , - 1 ) ponto de máximo local; ( 1 , 1 , - 1 ), ( 1 , — 1 , 1 ); ( 1 , — 1 , - 1 ), (- 1 , 1 , 1 ), (- 1 , 1 , - 1 ) e (- 1 , — 1 , 1 ) não são extremantes (veja Exercício 16). c) ( — 1 , 1 , 2 ) não extremante; 13’ 3’ ) ,2 é ponto de mínimo local. d) (3, —2, — 1) não é extremante. 468 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 16.4 1. a) Valor máximo é 6 e é atingido em (2, 0); valor mínimo é — 3 e é atingido em (0, 3). ^ I 3 VÍÕ M\ , . , . . {tf IÕ -JÍÕ\ , . , o) -,- e ponto de máximo; -,- e ponto de mínimo. { 10 10 ) { 10 10 ) c) d) Valor máximo é 0 e é atingido nos pontos (0, y), 0 =£ y =£ 1.0 valor mínimo é — 2 e é atingido em ( 1 , 0 ). Valor mínimo é 0 e é atingido nos pontos (0, y), 0 =£ y =£ 5, (x, 0), 0 =£ x =£ — .O valor ' ■ ' 25 . . .. / 5 5 máximo e — que e atingido em ^ —, — e) O único ponto crítico no interior de A é (0, 0) que não é extremante. Assim,/assumirá os 2 2 valores máximo e mínimo na fronteira x + y = 4 de A ; g (t) = f(2 cos t, 2 sen f) fornece os valores de/na fronteira. O valor máximo é 4, sendo atingido nos pontos (0, 2) e (0, —2). O valor mínimo é —4, sendo atingido nos pontos (2, 0) e (—2,0). f) Valor mínimo é 0, sendo atingido em (0,0). Valor máximo é 2, sendo atingido nos pontos ( 0 , 1 ) e ( 0 , - 1 ). /4VÍ7 yi7 \ 1 17 34 y (0,2) 1-x 2 ) , -1 « JC« 1. V 2 ' / 4. Valor máximo é 25, sendo atingido em (0, 5). 5. O problema consiste em maximizar o lucro L = 10jc + 6 > (xé quantidade do produto / ey do produto II) com as restrições: x =£ 20, y =£ 45, 5x + 4y ss 200, 10x + 4y =s 240, x 3= 0 e y 3= 0. O lucro será máximo para x = 8 e y = 40. / 4 1\ 6 . ( 0 , 1 ) maximiza; —, — minimiza. \9 9) 7. Observe que Q ( at, bt) = t 2 Q (a, b), onde a 2 + b 2 = 1. 16.5 1 . a) b ) /_ 6 _ 1 _\ 1/38’ /38 j 6 (— —\ W38 V38 / ponto de máximo; (. \ V38 ’ V38/ -—^ é ponto de mínimo. é ponto de máximo; 6 V38 é ponto de mínimo. , / 6 1 \ t . c) —, — ponto de mínimo. \19 19 ) d) ponto de mínimo. (^4) e) ( 2 , 1 ) e (— 2 , — 1 ) pontos de máximo; (— 2 , 1 ) e ( 2 , — 1 ) pontos de mínimo. f) ( — 1 , 1 ) ponto de mínimo. g ) í—4 4_) ponto de mínimo; (—— —4) e | —pontos de máximo. \y[2 -ã) v lV2 -ã) \ -ã -ã) F Respostas, Sugestões ou Soluções 469 (2 2 -\[ 2 \ (2 2 j 2 \ h) ( 2 , 0 ) ponto de máximo; — - e —, — —— | pontos de mínimo. \ 3 3 \ 3 3 í) ( 1 , 1 ) ponto de mínimo local; l 7 ’ 7 ) ponto de máximo local. „ ( 1 M / 1 1 \ J 2 l \ ( 2 J) — r=-, — —e-p=-, — f=- ponto de máximo, e — W3 VêJ l Vê S) lVê Vê ponto de mínimo. VêJ l Ve’ Vê x 2 + 16y 2 = 8 ; o ponto de tangência é ^ 2 , — j 1 1 &?)■ 2 2 2 (2, 4). [Sugestão. Minimize /(x, y) = (x - 14) + (y — 1) com a restrição y = x .] J_ 1 _ 1 Vê ’ 2 Vê ’ Vê J' * 2 , 2 , ~ 2 32 . . ,/8 16 12\ 6 . x +y + 2y = —. O ponto de tangência e—,—,— . 19 V19 19 19^ 7. Valor máximo é 4, sendo atingido em (1, 1, 1). O valor mínimo é —4, sendo atingido em (- 1 .- 1 ,- 1 ). / 2 4 6 \ 222 8. y—’—’ — J ■ [Sugestão. Minimize /(x, y, z) = x + y + z com a restrição x + 2y - 3z = 4]. 10 . 11 . / 24 9 5 \ 2 2 2 ^ • [Sugestão. Minimize x +y +z com as restrições x + 2y + z = 1 e 2x + y + z = 4.] 2-V66 1 2 + V66\ . . , ---, —,---1 maximiza/. ( 1 , 1 ) e (—1 , — 1 ) são os mais próximos da origem; (V3, — -J3) e (— V3, v3) são os mais afas¬ tados. (-v/I.r/T) 470 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 Observação. Sejam u = ^ —j= , -^=-j e v = ; sejam u e v as componen¬ tes de (x, y) na base ( u , v ); isto é: (x, y) = u u + v v, ou seja, (x, y) = u { —— 7 =^ + v [ -= , —. Verifique que a mudança de coordenadas ^V2 V2/ l V2 -ã) 1 1 X = —= u - —= V V 2 V 2 1 . 1 y = —=■ u + —= v l V 2 V 2 u 2 v 2 transforma a equação dada na equação + — = 1 . / 1 1 \ 1111 12. ^ ~ > ~ j • Verifique que a mudança de coordenadas x = u — ~j= v, y = -j=- u + -j=- v, transforma a equação dada na equação 2 v 2 — 2 -J2 u + 1 = 0 que é uma parábola. % 1 ✓ v 1 ' \ 13. (1, 3) e (- 1, - 3). A mudança de coordenadas * VTõ “ VTõ v y = 7Ío u + lW v °u(x, y) transforma a equação dada na equação ——— — = 1 que é uma hipérbole: Respostas, Sugestões ou Soluções 471 Observe que u (VTõ ’ VTõ) v (- — —\ VÍÕ’ y/lÕ) são os versores de (1, 3) e (—3, 1). 14. (1, 1, 1). 15. 12 cada um. 16. Equilátero. 18. Cubo. 19. Cubo de aresta 1 m. 5V2 20. Cubo de aresta ——. V3 4 6 8 21. Paralelepípedo de arestas—=, —=■ e V3 V3 4 22. x = 4, y = 2 e z = — ■ 3 23. Temperatura máxima 200. Temperatura mínima: —200. 24. 6x + 4y + 3z = 12V3. 25. P = (2, 1) e Q -(ff) CAPITULO 17 14 1 . a) 15 f 39 T3 26^ 2 ‘ (14 ’ 14 ’ 14) (1_ 2 13\ 3 ' ( 6 ’ 6 ’ 6 ) 17.1 472 Um Curso de Cálculo — Vol. 2 17.3 /II 9 ) . i. a) (y-ü);"- (36 _3_ 23y 3i/l4 2 ‘ \ 14 ’ 14 ’ 14 /’ 14 3. a) z = 0 17.4 1. fl) 6 4 2 0 -2 c) l? 2 = 0,86532 (aproximado) c) R 2 = 0 -J | vo Bibliografia 1. APOSTOL, Tom M. Analisis Matemático. Editorial Reverté, 1960. 2. APOSTOL, Tom M. Calculus, 2“ edición. Vol. 2. Editorial Reverté, 1975. 3. ÁVILA, Geraldo. Cálculo, Vols. 1 (6. 3 ed.), 2 e 3 (5 a ed.). LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1995. 4. BUCK, R. Creighton. Advanced Calculus, Second Edition, McGraw-Hill, 1965. 5. BUSSAB, Wilton O. e MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica, Atual Editora, 1995. 6. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa, 1958. 7. CARTAN, Henri. Differential Forms. Hermann, 1967. 8. CATUNDA, Ornar. Curso de Análise Matemática. Editora Bandeirantes. 9. COURANT, Richard. Cálculo Diferencial e Integral, Vols. 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LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, Vol. 2. Projeto Euclides — IMPA, 1981. 22. MEYER, Paul L. Probabilidade — Aplicações à Estatística. Ao Livro Técnico S.A. e Editora da Universida¬ de de São Paulo, 1969. 23. PISKOUNOV, N. Calcul Différentiel et Integral. Editora Mir, 1966. 24. PROTTER, Murray H. e MORREY, C. B. Modern Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 1969. 25. RUDIN, Walter. Principies of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1964. 26. SPIEGEL, Murray R. Análise Vetorial. Ao Livro Técnico S.A., 1961. 27. SPIVAK, Michael. Calculus. Addison-Wesley, 1973. 28. SPIVAK, Michael. Cálculo en Variedades. Editorial Reverté, 1970. 29. WILLIAMSON, Richard E. e outros. Cálculo de Funções Vetoriais, Vol. 2. LTC — Livros Técnicos e Cien¬ tíficos Editora S.A. Índice A Ajuste de curva pelo método dos mínimos quadrados, 351 na HP-48G, 3% no EXCEL, 397, 409 Ajuste linear com duas ou mais variáveis independentes, 398 Ajuste polinormal, 363, 398 Amortecimento crítico, 90 Amortecimento forte ou supercrítico, 90 Amplitude, 86 Ângulo, 109 Aplicativo FITDATA da HP48G, 396 Argumento, 81 B Bola aberta, 112 c Cálculo de integral de f unção limitada e descontínua em um número finito de pontos, 8 Campo conservativo, 296 Coeficiente de determinação, 353, 361, 363, 404, 405 Coeficientes da reta dos mínimos quadrados, 356 Combinação linear, 111 Comprimento de curva, 139, 141 Conexo por caminhos, conjunto, 291 Conjugado de número complexo, 80 Conjunto aberto, 113 compacto, 317 conexo por caminhos, 291 fechado, 115, 317 limitado, 115, 317 Conservação do sinal, 167 Conservativo, campo de forças, 296 Contínua, função, 126, 169 Correlação, 362 Coseno hiperbólico, 24 Critério de comparação na integral imprópria, 38, 39 Curva definição de, 139 de nível, 152 eqüipotencial, 159 parametrizada pelo comprimento de arco, 143 Curvatura, 144 raio de, 144 D Definindo função na HP-48G, 407 Derivação de função definida implicitamente, 226 Derivada(s), 127 direcional, 257 parciais, 173, 186 parciais de ordens superiores, 274, 278 Desigualdade de Schwarz, 108 Desigualdade triangular, 109 Desvio padrão, 52 Determinante jacobiano, 232 Diagrama de dispersão, 352 Diferenciabilidade, uma condição suficiente para, 195 Diferencial, 205 Diferenciável, função, 190 Distribuição de variável aleatória de Rayleigh, 70 de Weibull, 70 exponencial, 67 F de Snedecor, 70 gama, 68 normal ou de Gauss, 55, 56 normal padrão, 62 qui-quadrado, 69 t de Student, 69 uniforme, 67 E Energia cinética, 84 potencial, 84 Equação diferencial linear, de 1.‘ ordem, com coeficiente constante, 71 diferencial linear homogênea, de 2/ ordem, com coeficientes constantes, 74 diferencial linear, de 3. a ordem, com coeficientes constantes, 376 diferencial linear não-homogênea, 92 do plano, 106 Equação amostrai, 46 Espaço vetorial, 101 F Fase, 86 índice 475 Fatorial, 67 Forma polar de número complexo, 80 Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, 288, 305, 306 Função(ões) com gradiente nulo, 290 dada implicitamente por uma equação, 176 dada por integral, 12,25 dada por integral imprópria, 33 de distribuição, 50 de duas variáveis reais a valores reais, 147 de uma variável real a valores complexos, 365 de uma variável real a valores em IR", 116, 119, 121 de variável aleatória, 60 densidade de probabilidade, 45 diferenciável, 190 energia potencial, 297 gama, 64 homogênea, 150 integráveis, 6 não-integráveis, 1 polinomial, 149 potencial, 296 G Gradiente, 207, 245 relação entre funções com mesmo gradiente, 292 Gráfico de função de duas variáveis reais, 152 H Hessiano, 312 HP-48G (veja, também, variáveis d a HP-48G) aplicativo FTTDATA, 396 corrigindo ou visualizando o coeficiente de uma variável, 380 menu personalizado na HP-48G, 385 incluindo variáveis no, 391 I Imagem de função, 116, 147 Imagem ou trajetória de uma curva, 116, 139 Impulso de uma força, definição de, 138 Integral de Riemann, 136 extensões do conceito de, 28 imprópria, 28, 36 Isotermas, 159 L Laplace, transformada de, 44 Limitada, função, 5, 172 Limite, 123, 163 M MathCad, 416 Matriz completa, 390 Matriz escalonada, 390 Máximos (mínimos), 307 Máximos e mínimos no EXCEL, 412 Média aritmética, 51, 356 Método dos mínimos quadrados, 315 Momento de inércia, 316 Movimento harmônico simples, 86 Movimento oscilatório amortecido ou subcrítico, 90 Multiplicadores de Lagrange, 324 N Norma de um vetor, 108 Normal reta, 201, 253 vetor, 250, 253 Número complexo, 78 adição, 79 multiplicação, 79 puro, 79 real, 79 P Parabolóide de rotação, 154 elíptico, 154 Parametrização, 139 Perpendicularismo ou ortogonadismo, 102, 103 Plano dos mínimos quadrados, 363 Plano tangente, 201,253 Polinómio de Taylor, 298, 302, 304, 306 Ponto crítico ou estacionário, 310, 313 de acumulação, 114 de fronteira, 310 de máximo (mínimo), 156, 307 de máximo (mínimo) global ou absoluto, 307 de máximo (mínimo) local, 185, 307 de sela, 310 interior, 112, 309, 313 Princípio de superposição, 98 Probabilidade, 46, 47 Produto escalar, 102 na HP-48G, 399 Produto vetorial, 107, 107, 122 Pulsação, 86 R Raio de curvatura, 144 Regra d a cadeia, 212 Relação de Euler, 225, 368 Relação entre funções com mesmo gradiente, 292 Reparametrização de curva pelo comprimento de arco, 144 Ressonância, 96, 100 Reta dos mínimos quadrados, 351 Reta normal, 201 s Seno hiperbólico, 24 Sistema auxiliar, 346, 350 Solução LSQ ou dos mínimos quadrados de sistema linear, 341, 343, 346, 390 Solução particular, 92-93 Solve System da HP-48G, 386 Soma de Riemann, 136 Superfície de nível, 161 T Teorema das funções implícitas, 239-240 de Pitágoras, 340 de Schwarz, 276 de Weierstrass, 172, 318 do confronto, 166 476 índice do valor médio, 289 do valor médio para integral, 16 fundamental do cálculo, 19 Transformada d e Laplace, 44 V Valor esperado de variável aleatória, 52-53 máximo, 156,307 mfnimo, 156 Variação da quantidade de movimento, 139 Variância, 52-53 Variável aleatória contínua, 48 aleatória discreta, 46 Variáveis da HP-48G ABS.401 BAN.406 C2NA, 384 C2NX, 383 CST, 391 DOT, 399 FNNA, 385 FNNX, 385 LSQ, 389 MATR, 395 MEAN, 405 NMVA, 382 NMVX, 380 PREDY, 397 RREF, 390 RSD, 400 TN A, 385 TNX, 384 UTPC, 383 UTPF, 385 UTPN, 378 UTPT, 384 Versor, 144, 264 Vetor(es) linearmente independentes, 111 perpendiculares ou ortogonais, 104 tangente, 129 Pré-impressão, impressão e acabamento GRÁFICA SANTUÁRIO grafica@editorasantuario.com.br www.editorasantuario.com.br Aparecida-SP